9.3 分式方程 课件 (共30张PPT) 2023-2024学年数学沪科版七年级下册

(共30张PPT)
第九章 分 式
9.3 分式方程
9.3.1 分式方程及其解法
学习目标
1.理解分式方程的概念.
2. 掌握解分式方程的基本思路和解法．（重点、难点）
情境引入
问题 为了满足经济高速发展的需求，我国铁路部门不断进行技术革新，提高列出运行速度.在相距1 600 km的两地之间运行一列车，速度提高25%后，运行时间缩短了4 h，你能求出列车提速前的速度吗
解：设列车提速前的速度为x km/h，那么提速后的速度应为（1+25%）x km/h.列车提速前后走完1 600 km所需时间分别为h和h，根据题意，得-=4.
讲授新课
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
讲授新课
思考 如何解分式方程
=4？
解：方程两边同乘以最简公分母
2 000-1 600=5x，解这个整式方程，得x=80.
把x=80代入上述分式方程检验：
左边=-=4=右边.
所以x=80是该分式方程的解.因而，列车提速前的速度为80 km/h.
新课讲授
分式方程的解法
一般地，解分式方程时，先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化成整式方程，然后再解这个整式方程.
讲授新课
探究 解方程-2，把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？
解方程-2，可得x=3.
把x=3代入检验时，方程中分式的分母为零，分式无意义，所以x=3不是原方程的根，原方程无解.
讲授新课
x=3是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原方程的根，像x=3这样的根，称为增根.解分式方程时可能产生增根，所以必须验根.
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
分式方程解的检验------必不可少的步骤
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
讲授新课
教材例题
例 解方程：
解:方程两边同乘以最简公分母（x+3）（x-3），得（x-1）（x-3）-2（x+3）（x-3）=-x（x-3）.
展开，得x -4x+3-2x +18=-x -3x.
解方程，得x=21.
检验：当x=21时，（x+3）（x-3）≠0.
因而，原方程的根是x=21.
解分式方程时，通常要在方程两边同乘以最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根及为增根，应舍去.
例题解读
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
否
是
是
否
例1 判断下列方程是不是分式方程。
例题解读
例2 关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是_______________．
解析：去分母得 2x＋a＝x - 1，解得 x＝-a - 1.
因为关于 x 的方程 的解是正数，
所以 x＞0 且 x≠1.
所以 -a -1＞0 且 -a -1≠1，
解得 a＜-1 且 a≠-2.
a＜-1 且 a≠-2
解：方程两边同时乘以x(x+2)，得5x=4(x+2).
解这个整式方程得x=8.
经检验，x=8是原方程的解.
例3 解方程： .
例题解读
1.解分式方程： .
解：方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得2(x+1)=4，
解得x=1.
检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，
所以x=1不是原分式方程的解，
则原分式方程无解.
随堂小测
2.解分式方程： .
解：方程两边同乘3(x-1)，得3x-3(x-1)=2x，
解得x=1.5.
检验：当x=1.5时，3(x-1)=1.5≠0，
所以原分式方程的解是x=1.5.
3.解分式方程： .
解：原分式方程可化为 = - ,
方程两边同乘(2x+1)(2x-1)，得x+1=3(2x-1)-2(2x+1) ，
解得x=6，
检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0，
所以原分式方程的解是x=6.
解：方程两边都乘(x－1)(x＋2)，
得x(x＋2)－3＝(x－1)(x＋2)，
所以x2＋2x－3＝x2＋x－2，
解得x＝1.
经检验，x＝1是方程的增根，
所以原方程无解．
4.解分式方程：-=1.
课堂小结
分式方程
分式方程
的概念
用分式方程表达实际问题的数量关系
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
分式方程的解法
一去
基本思路
二解
三验
步骤
四写
去分母
分式方程
整式方程
转化
第九章 分 式
9.3 分式方程
9.3.2 分式方程的应用
学习目标
1.会列分式方程解决实际问题.（重点）
2. 能根据题意找出正确的等量关系，列出分式方程并求解，会根据实际意义验证结果是否合理．（难点）
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:清题意，并设未知数；
2.找:相等关系；
3.列:出方程；
4.解:这个分式方程；
5.验:根（包括两方面 :(1)是否是分式方程的根； (2)是否符合题意）；
6.写:答案.
新课讲授
教材例题
例1 有一并排电路，如图，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者关系为：=+.若已知R1，R2，求R.
解:方程两边同乘以R1R2R，得
R1R2=RR2+RR1，即R1R2=R（R1+R2）.
因为R，R2都是正数，所以R1+R2≠0.
两边同除以（R1+R2），得R=.
教材例题
例2 七年级甲、乙两班师生前往郊区参加义务植树活动，已知甲班每天比乙班多种10棵树，如果分配给甲、乙两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？
解:设乙班每天植树x棵，那么甲班每天植树（x+10）棵，甲班完成任务需天，乙班完成任务需天.要求同时完成任务，即x应满足下列等式：
=.解得x=40.检验：x=40是原方程的根.此时x+10=50.因而，当乙班每天植树40棵，甲班每天植树50棵时，两个班能同时完成任务.
例题解读
例1 某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费涨价1/3.小丽家去年12月份的水费15元,而今年7月份的水费是30元.已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米,求该市今年居民用水的价格.
解：设去年用水的价格为x元/m3，则今年的水价为
解这个方程，得
经检验， 是所列方程的根.
答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.
根据题意，得
(元/m3)
例2 小明和同学去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书。科普书的价格比文学书高出一半，他们所买的科普书比文学书少1本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
解:设文学书的价格是本x元/本，则科普书1.5x元/本.
根据题意，得-=1.
解得 x = 5.
答:文学书的价格是每本5元，科普书每本7.5元.
经检验 x = 5是所列方程的根.
此时1.5x=1.5×5=7.5（元）.
例题解读
随 堂 小 测
1.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵所用的时间相等，问：甲、乙两班每小时各种多少棵树？
解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵，根据题意，得=.解这个方程，得x＝20.
经检验：x＝20是原方程的根．
所以当x＝20时，x+2＝20+2＝22．
所以甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．
随 堂 小 测
2.甲、乙两火车站相距1200千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3倍，从甲站到乙站的时间缩短了10小时，求列车提速后的速度．
解：设列车提速前的速度为xkm/h，
由题意，得-=10，解得x＝80.
经检验：x＝80是原分式方程的解，
3×80＝240（km/h），
答：列车提速后的速度是240km/h．
3.甲做90个零件所用的时间和乙做120个零件所用的时间相同，又知每小时甲、乙两人共做35个机器零件．求甲、乙每小时各做多少个零件．
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（35﹣x）个零件．
根据题意，得=，解得x＝15．
经检验，x＝15是原方程的解．
答：甲每小时做15个零件，乙每小时做20个零件．
课堂小结
分式方程的应用
找出正确的等量关系
步骤：审、找、列、解、验、写