贵州省黔东南州凯里市凯堂中学2023-2024学年度七年级下册数学第八章 二元一次方程组 单元测试卷(含解析)

人教版七年级下册数学单元测试卷
第八章 二元一次方程组
（本试卷3个大题，25个小题。满分150分，考试时间120分钟。）
姓名 班级 学号 成绩
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；A、B、C、D四个选项中，只有一项符合题意。）
1．二元一次方程2x+3y＝18的正整数解有（　 　）
A．2组 B．3组 C．4组 D．无数组
2．已知是方程的一个解，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x，y的方程xm+1+yn-2=0是二元一次方程，则m+n的和为（　 　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．是下列哪个方程的一个解（ ）
A．x+2y=1. B．3x+2y=-8 C．5x+4y=-3 D．3x-4y=-8
5．已知点P（x，y）的坐标满足二元一次方程组，则点P所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．用代入消元法解方程组，将①代入②可得（　　）
A．5x﹣2（2x+1）＝7 B．5x﹣（2x+1）＝7
C．5x﹣4x+1＝7 D．5x﹣4x+2＝7
7．一个三位数，各位数上数字之和为10，百位数字比十位数字大1，如果把百位数字与个位数字对调，所得的新数比原数的3倍还多61，那么原来的三位数是（ ）
A．215 B．216 C．217 D．218
8．某校七年级（1）班同学为“希望工程”捐款，共捐款 206 元，捐款情况如下表所示：
捐款（元） 2 4 5 10
人数 6 5
由于不小心被墨水污染，表格中捐款 4 元和 5 元的人数已经看不清楚．根据已有的信息推断，捐款 4 元和 5 元的人数不可能为（ ）
A．6，24 B．8，22 C．11，20 D．16，16
9．已知下列方程组：①②③④其
中属于二元一次方程组的是（ ）
A．③ B．①③ C．②③ D．①③④
10．如表中给出的每一对x，y的值都是二元一次方程ax﹣y＝7的解，则表中m的值为（ ）
x 0 1 2 3
y ﹣7 ﹣4 ﹣1 m
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
11．把某一段公路的一侧全部栽上银杏树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔米栽棵，则树苗缺棵；如果每隔米栽棵，则树苗正好用完．设原有树苗棵，公路长为米．根据题意，下面所列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为（ ）
（1），；
（2）若，，则；
（3）若，则、有且仅有3组整数解；
（4）若对任意有理数、都成立，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．已知x＝2，y＝2是方程ax－2y＝4的解，则a＝ .
14．如果是方程组的解，那么 ， ．
15．已知x、y满足方程组，则的值为 ．
16．某公司向银行申请了甲 、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出8.42万元利息．已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为 .
三、解答题（9个小题，共98分。）
17．（10分）（1）计算：﹣12020+|1﹣|﹣； （2）解方程组
18．（8分）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值．
19．（10分）关于，的二元一次方程组，，是常数），，．
(1)当时，求c的值； （5分）
(2)若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解． （5分）
20．（10分）某商场用6600元购进甲、乙两种节能灯共100只.甲种进价60元/只，售价80元/只；乙种进价70元/只，售价100元/只.
(1)甲、乙两种节能灯各进了多少只 （5分）
(2)全部售完这100只节能灯后，该商场获利多少元 （5分）
21．（12分）已知关于的方程组和有相同的解．
(1)求出它们的相同解； （6分）
(2)求的值． （6分）
22．（12分）近日，全国各地陆续发布消息调整优化疫情防控政策，不再查验核酸阴性证明．为有效落实好个人防护措施，当好自己健康的第一责任人，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾．小明从药店得知，购买2包口罩和3包酒精湿巾，共需19元，购买5包口罩和1包酒精湿巾，共需28元．
(1)求每包口罩和每包酒精湿巾的价格；（6分）
(2)妈妈给了小明50元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），小明有哪几种购买方案？
（6分）
23．（12分） （1）已知的平方根是，的立方根是1，c是的整数部分，令，则求m的值； （4分）
（2）在（1）的条件下，判断以关于x、y的方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中所在象限； （4分）
（3）善于研究的小明同学发现，无论m取何值，（2）中方程组的解x与y之间都满足一个关系式是___________．（4分）
24．（12分）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．问题：
（1）请你直接写出方程的正整数解___________．（4分）
（2）若为自然数，则求出满足条件的正整数的值． （4分）
（3）关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．（4分）
25．（12分）在直角坐标系中，已知点、的坐标是，，满足方程组，为轴正半轴上一点，且．
(1)求、、三点的坐标；（3分）
(2)是否存在点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；（3分）
(3)若点沿轴负半轴方向以每秒个单位长度平移至点，当运动时间为多少秒时，四边形的面积为个平方单位？求出此时点的坐标．（3分）
(4)连接、，若为上一动点（不与、重合）连接、，探究点在运动过程中，、、之间的数量关系并证明．（3分）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由方程变形得x＝9y，根据x、y都是正整数，且y是2的倍数确定y的值，由此得到x的值，即得方程的正整数解的组数．
【详解】由2x+3y＝18，得x＝9y．
∵x，y都是正整数，
∴y＝2，4；
相应的x＝9，3；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了求二元一次方程的正整数解，解决问题的关键是熟练掌握把二元一次方程变形为用一个未知数的代数式表示为另一个未知数，根据方程的解的要求赋值计算．
2．B
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握方程的解是解题的关键．
由题意知，将代入得，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，将代入得，，
解得，，
故选：B．
3．D
【详解】根据题意，得，解得．
∴m+n=3．
故选D
4．D
【详解】分析: 将代入以下选项中的方程，方程左右相等的即为所求.
详解: A、当时，左边=-2+2×=-1，右边=1，左边≠右边，则不是该方程的解．故本选项错误；
B、当时，左边=3×(-2)+2×=-5，右边=-8，左边≠右边，则不是该方程的解．故本选项错误；
C、当时，左边=5×(-2)+4×=-8，右边=-3，左边≠右边，则不是该方程的解．故本选项错误；
D、当时，左边=3×(-2)-4×=-8，右边=-8，左边=右边，则是该方程的解．故本选项正确.
故选D
点睛: 本题考查了方程的解的定义．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．
5．A
【分析】解方程组求出x、y的值，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：
①+②得，2x=4，
解得x=2，
②-①得，2y=2，
解得y=1，
所以方程组的解是
点P为（2，1），在第一象限．
故选A．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解二元一次方程组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
6．A
【分析】根据代入消元法的定义，把①代入②就是把②中的y换成用x表示，即可求解.
【详解】解：
把①代入②得：，
故选A.
【点睛】本题主要考查了代入消元法，解题的关键在于能够熟练掌握代入消元法的定义.
7．C
【分析】设原来三位数的个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，则原来的三位数表示为：100z+10y+x，新三位数表示为：100x+10y+z，故根据题意列三元一次方程组再求解即得．
【详解】解：设原来三位数的个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，
根据题意得： ，
解得： ，所以，原来的三位数字是217．
故选C．
【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程组的解法，解题的关键是掌握三位数的表示方法，根据题意列出方程组.
8．B
【分析】根据题意，设捐款4元的人数为x人，捐款5元的人数为y人，从而列式对x，y取正整数值即可得解.
【详解】设捐款4元的人数为x人，捐款5元的人数为y人
，解得
∴y是4的倍数
∵x，y均为非负整数
∴，，，，，，，
∴捐款4元和5元的人数不可能是8，22，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，通过题目等量关系准确列出方程并对x，y取非负整数值进行逐一对照是解决本题的关键.
9．C
【详解】分析：根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组进行分析即可．
详解：①含有3个未知数，不是；②③是二元一次方程组，④是二元二次方程组.
故选C.
点睛：考查二元一次方程组的定义，熟记定义是解题的关键.
10．C
【分析】把代入方程ax﹣y＝7得出2a+1＝7，求出a，即可得出3x﹣y＝7，再把代入3x﹣y＝7，即可求出m．
【详解】解：由表可知：方程的一组解为，
代入方程ax﹣y＝7得：2a+1＝7，
解得：a＝3，
即3x﹣y＝7，
当x＝3时，3×3﹣m＝7，
解得：m＝2，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．
11．A
【分析】设原有树苗棵，公路长为米，由栽树问题“栽树的棵数=分得的段数+1”，建立方程组即可．
【详解】设原有树苗棵，公路长为米，
由题意，得，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．
12．B
【分析】
由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确．
【详解】解：∵，，
∴，
解得，故（1）正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故（2）正确；
∵，
∴，
当时，则不成立，
∴，
∴，
∵m、n都是整数，
∴或或，
∴或或0或或或，
∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵对任意有理数、都成立，
∴，故（4）错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，正确理解题目所给的新定义是解题的关键．
13．4
【详解】试题分析：把x＝2，y＝2代入方程ax－2y＝4得，
2a－4＝4，
解得a＝4，
故答案为4．
点睛：本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是把x、y的值代入方程ax－2y＝4求解．
14．
【分析】将代入方程组，解方程组即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程组得：，
解得，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义（一般地，使二元一次方程组中两个方程的两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解）是解题关键．
15．3
【详解】试题分析：先解出方程组的解，再代入代数式中求得，∵∴解得x=1,y=0.∴原式=4.
考点：二元一次方程组的解法．
点评：用加减或代入消元法解得x,y的值代入即可求之，本题属于基础题，难度不大．
16．42万元、26万元
【详解】设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元、y万元，
由题意得,
，
解得：
，
所以该公司甲、乙两种贷款的数额分别为42万元、26万元．
故答案为42万、26万．
17．（1）；（2）．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及立方根性质计算即可求出值；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1）原式＝﹣1+﹣1﹣(﹣2)
＝﹣1+﹣1+2
＝；
（2）由①得：2x﹣3y＝12③，
由③+②得：x＝4，
把x＝4代入②得：y＝，
∴二元一次方程组的解为．
【点睛】本题考查实数的混合运算、相反数、加减法解二元一次方程组等知识，是常见考点，掌握运算顺序、运算定律及解方程组的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等是解题的关键．
18．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先解方程组得到，再把代入方程组中得到，解之即可得到答案．
【详解】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∵方程组和方程组有相同的解，
∴是方程组得解，
∴，
解得．
19．(1)
(2)见解析
【分析】（1）将，值代入方程，得到关于，，的方程求解．
（2）先表示方程的解，再确定．
【详解】（1）解：代入方程得：，
，，
，，
．
；
（2）证明：由题意，得，
整理得，①，
、均为正整数，
是正整数，
是正整数，
是正整数，
，
把代入①得，，
，
此时，，，，方程的正整数解是．
仅当时，该方程有正整数解．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键．
20．(1)甲种节能灯进了40只，乙种节能灯进了60只
(2)2600元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用：
（1）设甲种节能灯进x只，乙种节能灯进y只，根据“商场用6600元购进节能灯100只”再结合甲乙两种节能灯的进价可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可；
（2）利润为甲、乙两种节能灯的售价减去进价乘以数量之和．
【详解】（1）解：设甲种节能灯进x只，乙种节能灯进y只，
根据题意得，
解得，
甲种节能灯进了40只，乙种节能灯进了60只．
（2）解：（元），
全部售完这100只节能灯后，该商场获利2600元．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键．
（1）求出的解，即可解答；
（2）将代入到中，求出a、b的值，再代入，求出即可．
【详解】（1）由题意，得
，
，得
，
∴，
把代入②得
，
∴，
解得；
（2）将代入，得，
解得．
∴
∴．
22．(1)每包口罩5元，每包酒精湿巾3元．
(2)一共有三种方案，分别为：1包口罩和15包酒精湿巾、4包口罩和10包酒精湿巾、7包口罩和5包酒精湿巾．
【分析】（1）设每包口罩x元，每包酒精湿巾y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可．
（2）设购买口罩a包，酒精湿巾b包，由题意得，，又a，b均为正整数，由此求得所有的方案．
【详解】（1）解：设每包口罩x元，每包酒精湿巾y元，
由题意得，，
②×3得，，
③-①得，，
解得，
将代入①得，，
故原方程组的解为，
答：每包口罩5元，每包酒精湿巾3元．
（2）解：设购买口罩a包，酒精湿巾b包，
由题意得，，
∵a，b均为正整数，
∴或或，
答：一共有三种方案，分别为：1包口罩和15包酒精湿巾、4包口罩和10包酒精湿巾、7包口罩和5包酒精湿巾．
【点睛】本题考查了与销售问题相关的二元一次方程及二元一次方程组的应用，充分理解题意列出正确的方程或方程组是解题的关键．
23．（1）1；（2）点P在第三象限；（3）
【分析】（1）先根据平方根和立方根算出的值，再结合，得出c的值，分别代入，再进行来开立方运算，即可作答．
（2）把代入方程，得出，再运用代入消元法解出，，结合点的坐标特征，即可作答．
（3）通过加减消元法解出，整理得，结合化简后的式子没有，进行作答即可．
【详解】解：（1）∵的平方根是，
∴，
解得，
∵的立方根是1，
∴，
即，
，
∵，
∴，
∵c是的整数部分，
∴，
∴；
（2）∵，
∴由得，
即，
把代入，得出，
解得，
则，
∴，
则点P在第三象限；
（3）∵
∴
则，得出
∴
则善于研究的小明同学发现，无论m取何值，（2）中方程组的解x与y之间都满足一个关系式是．
【点睛】本题考查了平方根、立方根，以及无理数的整数部分，二元一次方程组，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
24．（1）；（2）4，5，6，9；（3）
【分析】（1）根据二元一次方程的解的定义求出即可；
（2）根据题意得出或3或2或1，求出即可；
（3）先求出y的值，即可求出k的值．
【详解】解：（1）由方程得，（、为正整数）．
要使为正整数，则为正整数，
可知：为2的倍数，从而，代入．
所以的正整数解为，
故答案为：；
（2）若为自然数，则的值为6，3，2，1，
则满足条件的正整数的值有9，5，6，4；
（3），
：，
解得：，
∵，是正整数，是整数，
∴．．
但时，不是正整数，故．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解释解此题的关键．
25．(1)
(2)存在，或
(3)t=6，点的坐标为
(4)，证明见解析
【分析】（1）解二元一次方程组求得的坐标，根据为轴正半轴上一点，且即可求得点的坐标；
（2）设，且，根据三角形面积公式建立一元一次方程，解方程求解即可；
（3）四边形的面积的面积的面积，得出，即可得出结果；
（4）作，则，由平行线的性质得出，，即可得出结论．
【详解】（1）方程组，
解得：，
，，
，，
，
为轴正半轴上一点，．
，
；
（2）存在点，使；理由如下：
，且，
，
解得：，
或
（3）如图所示：
由题意得：，，，
四边形的面积的面积的面积，
，
即运动时间为秒时，四边形的面积为个平方单位；
点沿轴负半轴方向以每秒个单位长度平移至点，
点的坐标为；
（4），理由如下：
作，如图所示：
则，
，，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了坐标与图形性质、方程组的解法、三角形面积公式、平移的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，难度适中．
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