8.2.3 整式乘法-----多项式与多项式相乘 课件 (共21张PPT) 2023-2024学年数学沪科版七年级下册

(共21张PPT)
第八章 整式乘法与因式分解
8.2 整式乘法
8.2.3 多项式与多项式相乘
学习目标
1.理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.（重点）
2.会利用多项式与多项式相乘的法则进行乘法运算，并能解决实际问题.（重点）
知识回顾
1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2. 幂的乘方，底数不变，指数相乘
(am)n=amn(m,n为正整数)
am·an=am+n（m,n为正整数)
3. 积的乘方等于各因数乘方的积.
(ab)n=anbn(n为正整数)
知识回顾
4.单项式与单项式的乘法法则
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
5.单项式与多项式的乘法法则
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.
情境导入
一块长方形的菜地，长为a，宽为m.现将它的长增加b，宽增加n，求扩大后的菜地面积.
根据题意，画图如下：
①
m
a
②
b
③
n
④
情境导入
方法一：扩大后菜地的长是a+b,宽是m+n，
所以它的面积是______________.
①
m
a
②
b
③
n
④
方法二：先算4块小长方形的面积，
再求总面积，扩大后菜地的面积是______________.
a+b
m+n
(a+b)(m+n)
(am+bm+an+bn)
am
bm
an
bn
根据上面的两种方法，有(a+b)(m+n)=(am+bm+an+bn).
情境导入
上面的运算还可以把(a+b)看作一个整体运用分配律，
再根据单项式与多项式的乘法法则，得
(a+b)(m+n)=(am+bm+an+bn)
(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n
=am+bm+an+bn
1
2
3
4
(a + b)(m + n)
=
am
1
2
3
4
+ an
+ bm
+ bn
知识要点
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.
多项式与多项式的乘法法则
用字母表示为（m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba（m,n,a,b都是单项式）.
多乘多顺口溜
多乘多，来计算，
多项式各项都见面，
乘后结果要相加，
化简、排列才算完.
教材例题
例1 计算:
(1)(-2x-1)(3x-2);　　　　 (2)(ax+b)(cx+d).
解：(1)(-2x-1)(3x-2)
=(-2x)·3x+(-2x)·(-2)+(-1)·3x+(-1)×(-2)
=-6x2+4x-3x+2
=-6x2+x+2.
(2)(ax+b)(cx+d)
=ax·cx+ax·d+b·cx+b·d
=acx2+adx+bcx+bd
=acx2+(ad+bc)x+bd.
注意：多项式乘多项式的结果仍是多项式，运算结果要化成最简形式，不能含有同类项.
教材例题
例2 计算:
(1)(a+b)(a2-ab+b2);　　　　 (2)(y2+y+1)(y+2).
解：(1)(a+b)(a2-ab+b2)
=a·a2-a·ab+a·b2+b·a2-b·ab+b·b2
=a3+b3.
(2)(y2+y+1)(y+2)
=y3+2y2+y2+2y+y+2
=y3+3y2+3y+2.
直接合并同类项
直接计算出每一项的积
例题解读
例1 计算:
(1)(1-x)(0.6-x);　　　　 　(2)(2x+y)(x-y).
解：(1)(1-x)(0.6-x)
=0.6-x-x(0.6-x)
=0.6-x-0.6x+x
=0.6-1.6x+x .
单项式乘多项式
合并同类项
（2）(2x+y)(x-y)
=2x·x-2x·y+y·x-y·y
=2x -2xy+yx-y
=2x -xy-y .
单项式乘单项式
合并同类项
例题解读
例2 已知(x2+px+q)(x2-3x+2)的结果中不含x3项和x2项,
求p和q的值.
解:因为(x2+px+q)(x2-3x+2)=x4-3x3+2x2+px3-3px2+2px+qx2-3qx+2q
=x4-(3-p)x3+(2-3p+q)x2+2px-3qx+2q,
且(x2+px+q)(x2-3x+2)的结果中不含x3项和x2项,
所以3-p=0,2-3p+q=0,
解得p=3,q=7.
所以p和q的值分别为3,7.
x3项和x2项的指数为0.
例题解读
例3 解方程:2x(3x-5)-(2x-3)(3x+4)=3(x+4).
解：利用多项式乘法法则，得
(6x -10x)-(6x +8x-9x-12)=3x+12,
去括号，得
6x -10x-6x -8x+9x+12=3x+12,
移项、合并同类项，得
-12x=0,
所以x=0.
利用多项式乘法法则化简.
利用解一元一次方程的步骤求解.
例题解读
例4（烟台经开区期中）已知一个多项式除以多项式a2+4a-3，所得商式是2a+1，余式为2a+8，求这个多项式.
分析：题干是“一个多项式除以多项式……，求这个多项式”，也就是求被除数.根据“被除数=除数×商+余数”，可以将问题转换为多项式乘多项式，计算即可.
解：由题意知，这个多项式为
(a2+4a-3)·(2a+1)+（2a+8）=2a3+8a2-6a+a2+4a-3+2a+8=2a3+9a2+5.
随堂练习
1.下列多项式相乘结果为a2-3a-18的是(　　)
A．(a-2)(a＋9) B．(a＋2)(a-9)
C．(a＋3)(a-6)　　 D．(a-3)(a＋6)
C
2.若P=（x-2)(x-3），Q=（x-1)(x-4），则P与Q的大小
关系是（ ）
A. P>Q B. PC. P=Q D. 由x的取值而定
A
随堂练习
2.计算:
(1)(2x+1)(3x-2); (2)(m-2n-3)(m+2n+3).
解:(1)(2x+1)(3x-2)
=2x·3x+2x×(-2)+1×3x+1×(-2)
=6x2-4x+3x-2=6x2-x-2.
(2)(m-2n-3)(m+2n+3)
=m·m+m·2n+m×3+(-2n)·m+(-2n)·2n+(-2n)×3+(-3)·m+(-3)·2n+(-3)×3
=m2-4n2-12n-9.
随堂练习
3.小轩计算一道整式乘法的题：(2x＋m)(5x-4)，由于小轩将第一个多项式中的“＋m”抄成“-m”，得到的结果为10x2-33x＋20.
(1)求m的值；
解：由题知(2x-m)(5x-4)
＝10x2-8x-5mx＋4m
＝10x2-(8＋5m)x＋4m
＝10x2-33x＋20，
所以8＋5m＝33，4m＝20，解得m＝5.
故m的值为5；
(2)请计算出这道题的正确结果．
解：(2x＋5)(5x-4)
＝10x2-8x＋25x-20
＝10x2＋17x-20.
随堂练习
4.小明想把一长为60 cm,宽为40 cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子,于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形.
(1)若设小正方形的边长为x cm,求图中阴影部分的面积;
解:(1)S阴影=(60-2x)(40-2x)=(4x2-200x+2 400)cm2.
所以阴影部分的面积为(4x2-200x+2 400)cm2.
(2)当x=5时,求这个盒子的体积.
解:这个盒子的体积为V=S阴影x=(4x2-200x+2 400)x=(4x3-200x2+2 400x)cm3,
当x=5时,V=4×53-200×52+2 400×5=7 500(cm3).
所以这个盒子的体积为7 500 cm3.
课后提升
观察上面四个等式，你能发现什么规律？
5 6
(-3) (-4)
2 (-8)
(-5) 6
口答：
5. 填空：
应用这个规律解决下面的问题：
课时小结
整式的乘法
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.
课时小结
整式的除法
单项式除以单项式
多项式除以单项式
单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数作为商的一个因式.
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.