8.4.2(1) 因式分解-----公式法 课件（27张PPT） 2023-2024学年数学沪科版七年级下册

(共27张PPT)
第八章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
8.4.2 公式法（运用完全平方公式和平方差公式）
学习目标
1.完全平方公式和平方差公式，理解其形式和特点.
2.掌握完全平方公式和平方差公式分解因式的方法，能正确运用其进行多项式的因式分解．(重点、难点)　
知识回顾
1.什么叫多项式的因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
2.下列式子从左到右哪个是因式分解 哪个整式乘法？它们有什么关系？
（1） a(x+y)=ax+ay
（2） ax+ay=a(x+y)
整式乘法
因式分解
它们是互为方向相反的变形.
知识回顾
3.已学过哪种因式分解的方法？
提公因式法
4.回忆完全平方公式和平方差公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a-b)(a+b)=a2-b2
完全平方公式
平方差公式
a 米
b 米
b 米
a 米
(a-b) 米
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
新课导入
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式.
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
讲授新知
讲授新知
这样就可以把形如完全平方式的多项式因式分解.
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
=
（ a ± b)
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
类比平方差公式，把整式乘法的完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2
的等号两边互换位置，就可以得到
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.
讲授新知
1.用平方差公式进行因式分解
a2-b2=(a+b)a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2
2.用完全平方公式进行因式分解
运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫做公式法.
教材例题
例1 把下列各式分解因式：
（1）x2+14x+49; (2)9a2-30ab+25b2；
解：x2+14x+49
=x2+2·x·7+72
=(x+7)2.
解：9a2-30ab+25b2
=(3a) -2×3a×5b+(5b)2
=(3a-5b)2.
完全平方式的特点：
（1）必须是三项式(或可以看成三项的)；
（2）有两个同号的数或式的平方；
（3）中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
教材例题
例1 把下列各式分解因式：
（3）x2-81; (4)36a2-25b2.
解：x2-81
=x2-92
=(x+9)(x-9).
解：36a2-25b2
=(6a)2-(5b)2
=(6a+5b)(6a-5b).
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
例2 把下列多项式分解因式：
（1）ab2-ac2; (2)3ax2+24axy+48ay2.
(1)解：ab2-ac2
=a(b2-c2)
=a(b+c)(b-c).
(2)解：3ax2+24axy+48ay2
=3a(x2+8xy+16y2)
=3a[x2+2·x·4y+(4y)2]
=3a(x+4y)2.
教材例题
24a=3a×8
48a=3a×16
（提取公因式）
（用平方差公式）
（提取公因式）
（用完全平方公式）
教材例题
解：3ax2+24axy+48ay2
=3a(x2+8xy+16y2)
=3a[x2+2·x·4y+(4y)2]
=3a(x+4y)2.
（提取公因式）
（用完全平方公式）
在因式分解的过程中,有时提取公因式与利用公式两种方法要同时使用.
例题解读
例1 分解因式：
（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3 ,
所以16x2+24x+9是一个完全平方式；
(2)首项有负号，先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2),
再利用公式分解因式.
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2；
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2)=－ (x -2y)2.
例题解读
例2 分解因式：
(a + b)
(a - b)
a2 - b2 =
解:（1）原式=
（2）原式
整体思想
例题解读
例3 把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2 ；
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2；
分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
（2）（a+b)2-12(a+b)+36.
(2)中，将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
例题解读
例4 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
所以x－y＝－2②.
解：因为x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
总结：在与x2－y2，x±y有关的求值问题中，通常先因式分解，再整体代入或联立方程组求值.
例5 计算下列各题：
(1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 - 46.52×4.
解：(1) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.
(2) 原式＝4(53.52－46.52)
＝4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7 ＝ 2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
例题解读
例6 求证：当n为整数时,多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n 2=8n，
因为n为整数，
所以8n被8整除，
例题解读
随 堂 小 测
1.分解因式：
（1）(a＋b)2－4a2； （2）9(m＋n)2－(m－n)2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：（1）原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)
（2）原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
分解后的结果中若出现公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
随 堂 小 测
2.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36； （2）4a2-4a+1.
（2）原式=（2a） － 2·2a·1+（1）
=（2a － 1）2.
解：（1）原式 =x2－2·x·6+（6）2
=（x－6）2
随 堂 小 测
3.把下列多项式因式分解.
(1) ax2 ＋2a2 x ＋ a3； (2) － 3x2 ＋ 6xy －3y2；
（2）原式=－ 3（x2 -2xy +y2）
=－3(x－y )2.
解：（1）原式 =a（x2 ＋2a x ＋ a2）
=a(x ＋a)2.
3.分解因式：
（3）5m2a4－5m2b4； （4）a2－4b2－a－2b.
＝(a＋2b)(a－2b－1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
解：（3）原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
（4）原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
随 堂 小 测
随 堂 小 测
4.利用完全平方公式简便计算：
(1) 1002 - 2×100×99 + 99 ； (2) 342 + 34×32 + 162.
解：(1) 原式 = (100 - 99)
(2) 原式 = (34 + 16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.
= 1.
= 2500.
5.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)，
当4m+n=40，2m-3n=5时，
随 堂 小 测
6.（1）992-1能否被100整除吗？
解：（1）因为 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
因为n为整数，所以(2n+1)2-25能被4整除.
（2）n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
所以992-1能否被100整除.
（2）原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3)×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
随 堂 小 测
课时小结
因式分解
提公因式法
第一步找公因式；
第二步提公因式。
公式法
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
课时小结
检查是否分解彻底，若没有则继续分解
一提
考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式
二套
看有无公因式，若有应先提取公因式
因式分解的一般步骤：
三查
不能直接套公式时可适当变形整理.