8.4.2(2) 因式分解-----分组分解法 课件(共16张PPT) 2023-2024学年数学沪科版七年级下册
文档属性
| 名称 | 8.4.2(2) 因式分解-----分组分解法 课件(共16张PPT) 2023-2024学年数学沪科版七年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 177.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-08 23:40:52 | ||
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文档简介
(共16张PPT)
第八章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
8.4.2 公式法（分组分解法）
学习目标
1.理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤．(重点)
2.能熟练运用分组分解法进行因式分解并解决问题．(难点)
提公因式法
第一步找公因式；
第二步提公因式。
公式法
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
知识回顾
因式分解的方法
知识回顾
因式分解：
思考：
四项式 又如何分解？
新课导入
利用分组法因式分解
法1 原式
法2 原式
因式分解：
总结：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，再提取公因式，且分组没有固定格式.
教材例题
例 把下列各式分解因式：
（1）x2-y2+ax+ay;
解：x2-y2+ax+ay
=(x2-y2)+(ax+ay)
=(x+y)(x-y)+a(x+y)
=(x+y)(x-y+a).
分析：在(1)式中，把第一、二项作为一组，可以用平方差公式分解因式，其中一个因式是(x+y)；
把第三、四项作为另一组，在提取公因式a后，另一个因式也是(x+y).
教材例题
例 把下列各式分解因式：
(2)a2+2ab+b2-c2.
解：a2+2ab+b2-c2
=(a2+2ab+b2)-c2
=(a+b) -c2
=(a+b+c)(a+b-c).
分析：在(2)式中，把前三项作为一组，它是一个完全平方式(a+b)2；
把第四项-c 作为另一组，那么(a+b)2-c 是平方差形式的多项式，可再次利用公式分解因式.
总结：从本例可以看出，因式分解有时需要先分组，分组后利用提取公因式或运用公式进行分解.
例题解读
例1 分解因式a2＋4ab＋4b2－2a－4b.
分析：前三项是完全平方形式，与－2(a＋2b)再提取公因式，分解因式即可.
原式＝(a＋2b)2－2(a＋2b)
＝(a＋2b)(a＋2b－2)
例题解读
例2 分解因式x3＋4x2＋5x＋2.
分析：把式子化成x3＋4x2＋4x＋x＋2的形式，前三项首先提公因式x，即可利用完全平方公式分解，后边的两项可以提公因式，然后继续提公因式法分解，最后利用完全平方公式分解即可．
原式＝x3＋4x2＋4x＋x＋2
＝x(x＋2)2＋(x＋2)
＝(x＋2)[x(x＋2)＋1]
＝(x＋2)(x2＋2x＋1)
＝(x＋2)(x＋1) ．
例3 已知x＋y＝7，x－y＝5，求x2－y2－2y＋2x的值.
例题解读
解：x2－y2－2y＋2x
＝(x＋y)(x－y)－2(y－x)
＝(x＋y)(x－y)＋2(x－y)＝(x－y)(x＋y＋2)，
将x＋y＝7，x－y＝5代入上式得
原式＝(x－y)(x＋y＋2)＝5×9＝45.
解析：首先将前两项分组利用平方差公式分解因式，进而再提取公因式得出即可．
例题解读
例4 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，
得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
所以a－b＝0，b－c＝0，
所以a＝b＝c，
所以△ABC是等边三角形．
随 堂 小 测
1.分解因式：
(1) 5m2a4－5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b.
＝(a＋2b)(a－2b－1).
解：原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
解：原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解.
随 堂 小 测
2. (1)已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值；
(2)已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.
得原式＝2×52＝50.
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
由 a－b＝3，得原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
由 ab＝2，a＋b＝5，
随 堂 小 测
3. 如图，在边长为6.8 cm 正方形钢板上，挖去4个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得
6.82－4×1.62
＝6.82－(2×1.6)2
＝6.82－3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8－3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2).
答：剩余部分的面积为 36 cm2.
随 堂 小 测
他们做对了吗？若不对，请你帮忙纠正过来.
4.分解因式：(1) 4x2 + 4x + 1；(2)
小聪和小明的解答过程如下：
x2 - 2x + 3.
(2)原式＝ (x2 - 6x + 9)＝ (x - 3)2.
解:(1)原式＝(2x)2 + 2×2x 1 + 1＝(2x + 1)2.
小聪: 小明:
×
×
课时小结
分组法
因式分解
步骤：
一分：先分组；
二提：公因式；
三套：公式；
四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
第八章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
8.4.2 公式法（分组分解法）
学习目标
1.理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤．(重点)
2.能熟练运用分组分解法进行因式分解并解决问题．(难点)
提公因式法
第一步找公因式；
第二步提公因式。
公式法
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
知识回顾
因式分解的方法
知识回顾
因式分解：
思考：
四项式 又如何分解？
新课导入
利用分组法因式分解
法1 原式
法2 原式
因式分解：
总结：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，再提取公因式，且分组没有固定格式.
教材例题
例 把下列各式分解因式：
（1）x2-y2+ax+ay;
解：x2-y2+ax+ay
=(x2-y2)+(ax+ay)
=(x+y)(x-y)+a(x+y)
=(x+y)(x-y+a).
分析：在(1)式中，把第一、二项作为一组，可以用平方差公式分解因式，其中一个因式是(x+y)；
把第三、四项作为另一组，在提取公因式a后，另一个因式也是(x+y).
教材例题
例 把下列各式分解因式：
(2)a2+2ab+b2-c2.
解：a2+2ab+b2-c2
=(a2+2ab+b2)-c2
=(a+b) -c2
=(a+b+c)(a+b-c).
分析：在(2)式中，把前三项作为一组，它是一个完全平方式(a+b)2；
把第四项-c 作为另一组，那么(a+b)2-c 是平方差形式的多项式，可再次利用公式分解因式.
总结：从本例可以看出，因式分解有时需要先分组，分组后利用提取公因式或运用公式进行分解.
例题解读
例1 分解因式a2＋4ab＋4b2－2a－4b.
分析：前三项是完全平方形式，与－2(a＋2b)再提取公因式，分解因式即可.
原式＝(a＋2b)2－2(a＋2b)
＝(a＋2b)(a＋2b－2)
例题解读
例2 分解因式x3＋4x2＋5x＋2.
分析：把式子化成x3＋4x2＋4x＋x＋2的形式，前三项首先提公因式x，即可利用完全平方公式分解，后边的两项可以提公因式，然后继续提公因式法分解，最后利用完全平方公式分解即可．
原式＝x3＋4x2＋4x＋x＋2
＝x(x＋2)2＋(x＋2)
＝(x＋2)[x(x＋2)＋1]
＝(x＋2)(x2＋2x＋1)
＝(x＋2)(x＋1) ．
例3 已知x＋y＝7，x－y＝5，求x2－y2－2y＋2x的值.
例题解读
解：x2－y2－2y＋2x
＝(x＋y)(x－y)－2(y－x)
＝(x＋y)(x－y)＋2(x－y)＝(x－y)(x＋y＋2)，
将x＋y＝7，x－y＝5代入上式得
原式＝(x－y)(x＋y＋2)＝5×9＝45.
解析：首先将前两项分组利用平方差公式分解因式，进而再提取公因式得出即可．
例题解读
例4 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，
得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
所以a－b＝0，b－c＝0，
所以a＝b＝c，
所以△ABC是等边三角形．
随 堂 小 测
1.分解因式：
(1) 5m2a4－5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b.
＝(a＋2b)(a－2b－1).
解：原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
解：原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解.
随 堂 小 测
2. (1)已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值；
(2)已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.
得原式＝2×52＝50.
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
由 a－b＝3，得原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
由 ab＝2，a＋b＝5，
随 堂 小 测
3. 如图，在边长为6.8 cm 正方形钢板上，挖去4个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得
6.82－4×1.62
＝6.82－(2×1.6)2
＝6.82－3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8－3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2).
答：剩余部分的面积为 36 cm2.
随 堂 小 测
他们做对了吗？若不对，请你帮忙纠正过来.
4.分解因式：(1) 4x2 + 4x + 1；(2)
小聪和小明的解答过程如下：
x2 - 2x + 3.
(2)原式＝ (x2 - 6x + 9)＝ (x - 3)2.
解:(1)原式＝(2x)2 + 2×2x 1 + 1＝(2x + 1)2.
小聪: 小明:
×
×
课时小结
分组法
因式分解
步骤：
一分：先分组；
二提：公因式；
三套：公式；
四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.