(共24张PPT)
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数 y = ax 的图象与性质
学习目标
1.会用描点法画二次函数y=ax 的图象.
2.能结合图象直观,初步地了解函数y=ax 的性质.
重难点:
二次函数y=ax 的图象的画法及其函数性质的归纳.
知识回顾
你还记得一次函数与反比例函数的图象吗?
1. 一次函数y=kx+b(k ≠ 0)
x
y
o
b<0
b>0
b=0
x
y
o
b<0
b>0
b=0
2. 反比例函数
0
x
y
课时导入
探究:画二次函数y=x2 的图象.
1.列表:对于二次函数 y = x2 ,其自变量x可以取任意实数. 因此让x取0和一些互为相反数的数,并算出相应的函数值,列成下表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … …
2.描点:在平面直角坐标系内,以x取的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出相应的点. 如图.
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
y=x2的图象关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
-3
3
o
3
6
9
x
y
图象在 y 轴右边的部分,函数
值随自变量取值的增大而增大,
简称为“右升”.
A
A'
B
B'
问题1:观察图象,点A和点A',点B和点B',…,它们有什么关系?由此你可以做出什么猜测?
问题2:从图象还可看出,y轴右边描出的各点,当横坐标增大时,纵坐标怎样变化?
3.连线:根据前面的分析,我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来;然后利用对称性,画出图象在y轴左边的部分(把y轴左边的点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来),这样就得到了y=x2的图象.
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
观察
函数 y=x2 的图象除了具有关于 y 轴对称和“右升”外,还具有哪些性质?
x
o
y=x2
y
1. y=x2的图象是一条曲线;
2. 开口向上;
3. 图象与对称轴的交点为原点(0,0);
4. 当x<0时,y随x的增大而减小,简称为“左降”;
5. 当x=0时,函数值最小,最小值为0.
例1
x 0 1 2 3 ···
···
0
4.5
2
0.5
列表:
描点和连线:画出图象在y轴右边的部分.如图1.
利用对称性,画出图象在y轴左边的对称点,并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来,这样就得到了y=x 的图象. 如图2.
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
图1
图2
知识讲解
一般地,当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小.
例2
x 0 1 2 3 4 ···
y=-x ···
0
-2.25
-1
-0.25
-4
请同学们在草稿纸上画一下试试~
知识讲解
一般地,当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最高点,a越小,抛物线的开口越小.
随 堂 小 测
A
1.二次函数y=2x2的图象大致是( )
2.关于抛物线y=x2和y=-x2的异同点,下列说法中错误的是( )
A.有共同的顶点和对称轴
B.两抛物线的开口方向相反
C.两抛物线关于x轴成轴对称
D.两抛物线都过点(-3,9)
D
3.下列说法:①二次函数y=x2有最大值,最大值为0;
②二次函数y=x2有最小值,最小值为0;
③二次函数y=-x2有最大值,最大值为0;
④二次函数y=-x2有最小值,最小值为0.
其中,正确的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
C
C
4.已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数
y=x2的图象上,则( )
A.y1<y2<y3
B.y1<y3<y2
C.y3<y2<y1
D.y2<y1<y3
5. 若抛物线 y = ax2 (a≠0),过点(-1,2).
(1)则 a 的值是 .
(2)对称轴是 ,开口 .
(3)与对称轴的交点是 ,该点是图象上的最 值 .
(4)若A(x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上,且x1 < x2 <0,则y1 y2.
2
y 轴
向上
(0,0)
小
>
6.m为何值时,函数 的图象是开口向下的抛物线?
解:由题意得
解得m=-1,
∴当m=-1时,函数 的图象是开口向下的抛物线.
7.已知函数y=(m+2)xm2+m-4 是关于x 的二次函数.
(1)求满足条件的m 的值.
(2)当m 为何值时,其图象有最低点?求出这个最低点的坐标,这时当x 为何值时,y 随x 的增大而增大?
(3)当m 为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时当x为何值时,y 随x 的增大而减小?
解:(1)由题意,得
解得m=2 或m=-3.
∴当m=2 或m=-3 时,函数为二次函数.
(2)若图象有最低点,则抛物线的开口向上,
∴ m+2>0,即m>-2,∴ m=2.
∵这个最低点为抛物线的顶点,
∴最低点的坐标为(0,0).
当x>0 时,y 随x 的增大而增大.
(3)若函数有最大值,则抛物线的开口向下,
∴ m+2<0,即m<-2,∴ m=-3.
∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标,顶点坐标为(0,0),
∴当m=-3 时,函数有最大值0,
当x>0 时,y 随x 的增大而减小.
小结
二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
小结
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
先画对称轴一边的部分,再根据对称性画出另一边
图象
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
与对称轴的交点
增减性