1.2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax2的图象与性质 课件(共24张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级下册

(共24张PPT)
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数 y = ax 的图象与性质
学习目标
1．会用描点法画二次函数y=ax 的图象.
2．能结合图象直观，初步地了解函数y=ax 的性质.
重难点：
二次函数y=ax 的图象的画法及其函数性质的归纳.
知识回顾
你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
1. 一次函数y=kx+b(k ≠ 0)
x
y
o
b<0
b>0
b=0
x
y
o
b<0
b>0
b=0
2. 反比例函数
0
x
y
课时导入
探究：画二次函数y=x2 的图象.
1.列表：对于二次函数 y = x2 ，其自变量x可以取任意实数. 因此让x取0和一些互为相反数的数，并算出相应的函数值，列成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
2.描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点. 如图.
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
y=x2的图象关于y轴对称，
y轴就是它的对称轴.
-3
3
o
3
6
9
x
y
图象在 y 轴右边的部分，函数
值随自变量取值的增大而增大，
简称为“右升”.
A
A'
B
B'
问题1：观察图象，点A和点A'，点B和点B'，…，它们有什么关系？由此你可以做出什么猜测？
问题2：从图象还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？
3.连线：根据前面的分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分(把y轴左边的点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来)，这样就得到了y=x2的图象.
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
观察
函数 y=x2 的图象除了具有关于 y 轴对称和“右升”外，还具有哪些性质？
x
o
y=x2
y
1. y=x2的图象是一条曲线；
2. 开口向上；
3. 图象与对称轴的交点为原点(0，0)；
4. 当x<0时，y随x的增大而减小，简称为“左降”；
5. 当x=0时，函数值最小，最小值为0．
例1
x 0 1 2 3 ···
···
0
4.5
2
0.5
列表：
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如图1.
利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了y=x 的图象. 如图2.
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
图1
图2
知识讲解
一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
例2
x 0 1 2 3 4 ···
y=-x ···
0
-2.25
-1
-0.25
-4
请同学们在草稿纸上画一下试试~
知识讲解
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
随 堂 小 测
A
1.二次函数y＝2x2的图象大致是(　　)
2.关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点，下列说法中错误的是(　　)
A．有共同的顶点和对称轴
B．两抛物线的开口方向相反
C．两抛物线关于x轴成轴对称
D．两抛物线都过点(－3，9)
D
3.下列说法：①二次函数y＝x2有最大值，最大值为0；
②二次函数y＝x2有最小值，最小值为0；
③二次函数y＝－x2有最大值，最大值为0；
④二次函数y＝－x2有最小值，最小值为0.
其中，正确的是(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
C
C
4.已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数
y＝x2的图象上，则(　　)
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
5. 若抛物线 y = ax2 (a≠0)，过点(-1，2).
(1)则 a 的值是 .
(2)对称轴是 ，开口 .
(3)与对称轴的交点是 ，该点是图象上的最 值 .
(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1 < x2 <0，则y1 y2.
2
y 轴
向上
（0，0）
小
>
6.m为何值时，函数 的图象是开口向下的抛物线？
解：由题意得
解得m=-1，
∴当m=-1时，函数 的图象是开口向下的抛物线.
7.已知函数y=(m+2)xm2+m-4 是关于x 的二次函数.
(1)求满足条件的m 的值.
(2)当m 为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
(3)当m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y 随x 的增大而减小？
解：(1)由题意，得
解得m=2 或m=－3.
∴当m=2 或m=－3 时，函数为二次函数.
(2)若图象有最低点，则抛物线的开口向上，
∴ m+2>0，即m>－2，∴ m=2.
∵这个最低点为抛物线的顶点，
∴最低点的坐标为(0，0).
当x>0 时，y 随x 的增大而增大.
(3)若函数有最大值，则抛物线的开口向下，
∴ m+2<0，即m<－2，∴ m=－3.
∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，顶点坐标为(0，0)，
∴当m=－3 时，函数有最大值0，
当x>0 时，y 随x 的增大而减小.
小结
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质
小结
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
先画对称轴一边的部分，再根据对称性画出另一边
图象
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
与对称轴的交点
增减性