1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 课件(共26张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级下册

(共26张PPT)
第1章 二次函数
*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
学习目标
1．掌握用待定系数法确定二次函数的表达式.（重点）
2．知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.（难点）
知识回顾
问题1 一次函数 y = kx+b( k ≠ 0 ) 有几个待定系数？通常需要已
知几个点的坐标求出它的表达式？
2个
2个
只要求出k和b的值，就可以确定一次函数表达式.
！
问题2 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
待定系数法：
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
课时导入
问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )中有几个待定系数？
需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格
的一部分，要求这个二次函数的表达式.
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
解：设这个二次函数的表达式是y = ax2+bx+c，
把 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)代入y = ax2+bx+c得
① 选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c=-3，
解得
a=-1，
b=-4，
c=-3.
∴所求的二次函数的表达式是 y = -x2-4x-3.
待定系数法步骤：
1.设：(表达式)
2.代：(坐标代入)
3.解：方程(组)
4.还原：(写表达式)
例1
已知一个二次函数的图象经过三点 (1，3)，(-1，-5)，(3，-13) ，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c，将三点坐标 (1，3)，(-1，-5)，(3，-13) 分别代入函数表达式，得
a-b+c=-5，
9a+3b+c=-13，
解得
因此，所求的二次函数的表达式是y = -3x2+4x+2.
a+b+c=3，
a=-3，b=4，c=2.
已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？
(1) P(1，-5)， Q(-1，3)， R(2，-3)；
(2) P(1，-5)， Q(-1，3)， M(2，-9).
例2
解：(1)设有二次函数 y = ax2+bx+c，它的图象经过 P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：
a + b + c= -5，
a - b+ c = 3，
4a + 2b+c = -3，
因此，二次函数 y = 2x2-4x-3的图象经过P，Q，R 三点.
(2) 设有二次函数 y = ax2+bx+c 的图象经过点P，Q，M 三点，则得到关于 a，b，c 的三元一次方程组：
a + b + c = -5，
a - b + c = 3，
4a + 2b + c = -9，
解得 a =0，b = -4，c = -1.
因此，一次函数 y = - 4x -1 的图象经过 P，Q，M 三点. 这说明没有一个这样的二次函数，它的图象能经过 P，Q，M 三点.
解得 a = 2，b = -4，c = -3.
例 2 说明了什么？
若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.
二次函数 y = ax2+bx+c 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上.
交点法求二次函数的表达式
选取点(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.
解：∵(-3，0)，(-1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点，∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2)，(其中x1、x2为交点的横坐标)
因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点(0，-3)代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1)，即y=-x2-4x-3.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
顶点法求二次函数的表达式
选取顶点(-2，1)和点(1，-8)，试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 +k，
把顶点(-2，1)代入y = a(x - h)2 +k 得
y = a(x + 2)2 +1，
再把点(1，-8)代入上式得
a(1+2)2 + 1 = -8，
解得a = -1.
∴所求的二次函数的表达式是y = -(x + 2)2 +1或y = -x2 - 4x -3.
知识讲解
这种已知任意三点坐标求二次函数表达式的方法叫作一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a，b，c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的方法
知识讲解
这种已知抛物线与x轴的交点求二次函数表达式的方法叫作交点法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1，x2代入，得到关于a的一元一次方程；
③将第三点坐标代入方程求出a的值；
④把a用数字换掉，写出函数表达式.
交点法求二次函数表达式的方法
知识讲解
这种已知抛物线的顶点坐标求二次函数表达式的方法叫作顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入方程求出a的值；
④把a用数字换掉，写出函数表达式.
顶点法求二次函数表达式的方法
随 堂 小 测
1.一个二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)
三点，则这个二次函数的表达式为( )
A．y=－10x2+x
B．y=－10x2+19x
C．y=10x2+x
D．y=－x2+10x
D
2. 一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过点(0，－4)，则这个二次函数的表达式为(　　)
A．y＝－2(x＋2)2＋4
B．y＝2(x＋2)2－4
C．y＝－2(x－2)2＋4
D．y＝2(x－2)2－4
C
3.已知一条抛物线经过E(0，10)，F(2，2)，G(4，2)，H(3，1) 四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线表达式的为(　　)
C
A．E，F
B．E，G
C．E，H
D．F，G
4.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
2
1
3
4
5
注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
注意
5.过点(2，4)，且当x=1时，y有最值为6，则其表达式为
.
顶点坐标是（1，6）
y=-2(x-1)2+6
6.如果抛物线 y = x2 - 6x + c -2 的顶点到 x 轴的距离是 3，那么 c
的值等于___________.
8或14
7. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A(－1，0)，B(1，0)，且过点 M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点 A(－1，0)，B(1，0) 是图象与 x 轴的交点，所以设二次函数的表达式为 y＝ a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点 M(0，1)，
所以1＝ a(0＋1)(0－1)，解得 a＝ －1，
所以所求抛物线的表达式为 y＝ －(x＋1)(x－1)，
即 y＝－x2 ＋1.
8.已知抛物线y＝a(x－1)2＋h经过点(0，－3)和(3，0)．
(1)求a，h的值；
(2)将该抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线对应的函数表达式．
（2）新的抛物线对应的函数表达式为y＝(x－2)2－2.
小结
特殊位置抛物线的表达式的设法技巧：
1. 顶点在原点，可设为y=ax2；
2. 对称轴是y 轴( 或顶点在y 轴上)，可设为y=ax2+k；
3. 顶点在x 轴上，可设为y=a(x－h)2；
4. 抛物线过原点，可设为y=ax2+bx.
小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1，x2为交点的横坐标)
待定系数法
求二次函数的表达式