2.2 圆心角、圆周角 2.2.2 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论1 课件 (共29张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级下册

(共29张PPT)
第2章 圆
2.2 圆心角、圆周角
2.2.2 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论1
学习目标
1．理解圆周角的概念及圆周角与它所对的圆心角之间的关系.
2．经历探索圆周角与圆心角之间关系的过程，加深对分类讨论和由特殊到一般的转化等数学思想方法的理解.
3．会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.
重点：圆周角定理.
难点：圆周角定理的证明过程(分类讨论，由特殊到一般的转化).
知识回顾
1.顶点在圆心的角叫作圆心角.
在同圆或等圆中，
2.弧、弦与圆心角的关系定理及推论：
相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
课时导入
C
A
E
D
B
在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的位置 C 对球门 AE 的张角( ∠ACE )有关.
问题 图中的∠ABE、∠ACE 和 ∠ADE 的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？
知识讲解
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. (如 ∠BAC )
我们把 ∠BAC 叫作 所对圆周角， 叫作圆周角 ∠BAC 所对的弧.
活学活用
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
下列各图中的 ∠BAC 是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
（4）
图中的∠ABE、∠ACE 和∠ADE 都是 所对的圆周角，我们知道在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，那么图中的三个圆周角有什么关系？
探究
为了弄清楚这三个角的关系，我们先来研究一条弧所对的圆周角和圆心角的关系.
我们猜测也相等
问题1 如图，点 A，B，C 是☉O 上的点，请问图中哪些是圆周角？哪些是圆心角
圆心角：∠BOC
圆周角：∠BAC
问题2 分别量出这些角的度数，你有什么发现？
∠BOC = 2∠BAC
问题3 变动点 A 的位置，看看上述结论是否依然成立？
A
A
A
变动点 A 的位置，圆周角的度数没有变化，它的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.
下面我们来证明上述结论：
已知：在圆 O 中，弧 BC 所对的圆周角是∠BAC，圆心角是 ∠BOC.
求证：∠BAC = ∠BOC.
圆心 O 在∠BAC 的内部
圆心 O 在∠BAC 的一边上
圆心 O 在∠BAC 的外部
圆心 O 与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.
圆心 O 在∠BAC 的一边上(特殊情形)
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
圆心 O 在∠BAC 的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
O
A
B
D
O
C
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
圆心 O 在∠BAC 的外部
知识讲解
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
动脑筋
如图，∠A、∠A1、∠A2 和 ∠A3 都是弧 BC 所对的圆周角，那么它们相等吗？
连接OB，OC.
因为∠A、∠A1、∠A2 和∠A3所对弧上的圆心角均为 ∠BOC，
由圆周角定理可知
∠A = ∠A1 = ∠A2 = ∠A3.
A1
A2
A3
知识讲解
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
如图，OA，OB，OC 都是☉O 的半径，∠AOB = 50°， ∠BOC=70°. 求 ∠ACB 和 ∠BAC 的度数.
B
C
O
.
A
∴∠ACB =∠AOB = 25°，
同理 ∠BAC =∠BOC = 35°.
解：∵圆心角 ∠AOB 与圆周角 ∠ACB 所对的弧为 ，
例
随 堂 小 测
1. 判断下列各图形中的角是不是圆周角.
图1
图2
图3
图4
图5
2. 指出图中的圆周角.
A
O
B
C
∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABC
×
×
√
×
×
圆周角:顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角.
3.如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能
是圆心的是(　　)
C
4.如图，A，B，C，D是☉O上的点，则图中与∠A相等的
角是(　　)
A.∠B B.∠C C.∠DEB D.∠D
D
A.45° B.60° C.75° D.85°
解：连接AO，BO.
5.如图， A，B，C，D是☉O上的四个点，B是AC的中点，M是半径OD上任意一点，若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是( )
(
D
∴∠AOB=2∠BDC=80°，
又M是OD上一点，
∴∠AMB≤∠AOB=80°，
则不符合条件的只有85°．
∵B是AC的中点，
(
6.如图，点 A，B，C，D，E 均在 ☉O 上，∠BAC＝15°，
∠CED＝30°，则∠BOD的度数为(　　)
A.45° B.60° C.75° D.90°
D
7.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点 C在半圆上，点 A，B 的读数分别为100°，150°，则 ∠ACB 的度数为_____°．
25
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
8. 如图，分别求出图中∠x 的大小.
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，
∴∠x = 60°.
(2)连接BF.
∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF =∠D = 20°，∠FBC =∠E = 30°.
∴∠x =∠ABF+∠FBC = 50°.
F
60°
x
30°
20°
x
A
D
B
E
C
9.如图，在☉O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，
交CD于点N，连接AD. 求证：AD＝AN.
小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定
理的推论1
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
同弧(或等弧)所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角