1.4 二次函数与一元二次方程的联系 课件 (共31张PPT)2023-2024学年数学湘教版九年级下册

(共31张PPT)
第1章 二次函数
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
学习目标
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 使学生知道二次函数的图象与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.（重点）
2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
3．运用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题.（难点）
知识回顾
1.(1) 一次函数 y＝x＋2 的图象与 x 轴的交点为( ， )，
一元一次方程 x＋2＝0 的根为________.
(2) 一次函数 y＝－3x＋6 的图象与 x 轴的交点为( ， )，
一元一次方程 －3x＋6＝0 的根为_______.
问题 一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点与一元一次方程 kx＋b＝0 的根有什么关系？
一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元一次方程 kx＋b＝0 的根.
－2 0
－2
2 0
2
2.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况与判别式Δ的关系.
Δ =b2 - 4ac > 0 时
Δ =b2 - 4ac = 0 时
Δ =b2 - 4ac < 0 时
=b2 - 4ac ≥ 0 时
方程有两个不相等的实数根.
方程有两个相等的实数根.
方程无实数根.
方程有两个实数根.
a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
3.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质
探究
问题1 画出二次函数y=2x -2x-3的图象：
你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？
(-1，0) 与 (3，0)
课时导入
问题2 二次函数 y = x2-2x-3 与一元二次方程 x2-2x-3 = 0有怎样的关系？
当 x = -1时，y = 0，即 x2 - 2x -3 =0，也就是说，x = -1是一元二次方程 x2 -2x-3=0 的一个根；
同理，当 x = 3 时，y = 0，即 x2 - 2x - 3 = 0，也就是说，x = 3 是一元二次方程 x2 - 2x -3 = 0 的一个根.
知识讲解
一般地，如果二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点( x1，0)，( x2，0 )，那么一元二次方程 ax2 +bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1，x2.
动脑筋
观察图象，完成下表：
1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－2x＋2
抛物线与 x 轴交点个数 交点的 横坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2－2x＋2
y = x2－6x＋9
0个
2个重合的点
x2-x+1=0无解
3
x2-6x+9=0，x1=x2=3
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
知识讲解
例1
求一元二次方程x -2x-1=0的根的近似值(精确到0.1).
分析：一元二次方程x -2x-1=0的根就是抛物线y = x -2x-1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解：设二次函数y=x -2x-1.
作出二次函数y=x -2x-1的图象(如图)，可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1与0之间，另一个交点在2与3之间.
通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程x -2x-1=0的实数根为x1≈-0.4，x2≈2.4.
我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根.
先求位于 -1 到 0 之间的根，由图象可估计这个根是 -0.4 或 -0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x … -0.4 -0.5 …
y … -0.04 0.25 …
观察上表可以发现，当 x 分别取 -0.4 和 -0.5 时，对应的 y 由负变正，可见在 -0.5 与 -0.4 之间肯定有一个 x 使 y = 0，即有 y = x2 - 2x -1 的一个根，题目只要求精确到 0.1，这时取 x = -0.4 或 x = -0.5 都符合要求.但当 x = -0.4 时更为接近 0. 故 x1 ≈ -0.4.
同理可得另一近似值为 x2 ≈ 2.4.
知识讲解
利用二次函数的图象解一元二次方程的基本步骤：
1.在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；
2.观察图象，确定抛物线与 x 轴的公共点的坐标；
3.公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的解.
当函数图象与 x 轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的解：
①观察函数图象与 x 轴的一个公共点的横坐标在哪两个连续整数之间，从而确定这个公共点的横坐标的取值范围.
②由①可确定方程 ax2+bx+c=0 的一个根在整数m和n(m若函数值y2，yn异号，说明所求的根在和 n 之间，再取和n的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止.
③按照①②的方法估计出方程的另一个根.
例2
如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线y=-+x+运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度.
(1) 当铅球离地面的高度为2.1 m时，它离初始位置的水平距离是多少？
解：(1) 由抛物线的表达式得 ，
即 ，解得
即当铅球离地面的高度为2.1 m时，它离初始位置的水平距离是1 m或5 m.
(2)铅球离地面的高度能否达到 2.5 m，它离初始位置的水平距离是多少？
(2)由抛物线的表达式得 ，
即 ，解得
即当铅球离地面的高度为 2.5 m 时，它离初始位置的水平距离是 3 m.
(3) 由抛物线的表达式得 ，
即 .
因为 所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到3 m.
(3) 铅球离地面的高度能否达到3 m？为什么？
一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.
随 堂 小 测
1.二次函数 y＝kx2－6x＋3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是(　　)
A．k＜3
B．k＜3 且 k≠0
C．k≤3
D．k≤3 且 k≠0
D
2. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过(﹣3，0)与(1，0)两点，
关于x的方程ax2+bx+c+m＝0(m＞0)有两个根，其中一个根是3，
则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0(0＜n＜m)有两个整数根，这两个
整数根是(　　)
A．﹣2或0
B．﹣4或2
C．﹣5或3
D．﹣6或4
B
3.若二次函数y = ax2 + b的图象经过点(-2，0)，则关于 x 的方程a( x - 2)2 + b = 0的实数根为 (　　)
A．x1 = 0，x2 = 4
B．x1 = -2，x2 = 6
C．x1 = ，x2 =
D．x1 = -4，x2 = 0
A
判断方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0，a，b，c为常数)一个解 x 的范围是( )
A. 3＜ x ＜ 3.23 B. 3.23 ＜ x ＜ 3.24
C. 3.24 ＜ x ＜ 3.25 D. 3.25 ＜ x ＜ 3.26
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09
4. 根据下列表格的对应值:
C
5.若抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)经过第四象限的点(1，﹣1)，则
关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是(　 )
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
C
6.抛物线y=x2-x-2与直线y=4的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 .
(-2，4)，(3，4)
(0，-2)
7. 已知二次函数y=x -6x+8的图象，利用图象回答问题：
(1)方程x -6x+8=0的解是什么？
(2) x 取什么值时，y ＞ 0 ？
(3) x 取什么值时，y ＜ 0 ？
解：(1) x1=2，x2=4；
(2) x＜2 或 x＞4；
(3) 2＜ x ＜4.
x
y
O
2
4
8
6.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为 7 米，当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面 3 米．
(1) 建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为 A(0，)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为 y＝a(x－h)2＋k，
将点 A、B 的坐标代入，可得y＝－(x－4)2＋4.
将点 C 的坐标代入上式，得左边＝3，
右边＝－(7－4)2＋4＝3，左边＝右边，
即点 C 在抛物线上．所以此球一定能投中；
(2) 此时，若对方队员乙在甲面前 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米，那么他能否获得成功？
(2) 将 x＝1 代入函数关系式，得 y＝3.
因为 3.1＞3，
所以盖帽能获得成功．
小结
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y = ax2+bx+c(a ≠ 0)，当 y 取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c = 0(a ≠ 0)，右边换成 y 时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与 x轴的交点个数
一元二次方程根的情况
判别式 的符号
小结
二次函数与一元二次方程
一元二次方程
二次函数
一元二次方程的根
与x轴交点情况
y=0
解方程
图象
由“数”
到“形”
由“形”
到“数”