2.5 直线与圆的位置关系 2.5.2 圆的切线 第2课时 切线的性质 课件 (共21张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级下册

(共21张PPT)
第2章 圆
2.5.2 圆的切线
第2课时 切线的性质
2.5 直线与圆的位置关系
1．理解切线的性质定理的证明过程.
2．区分切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用.
学习目标
重难点：切线的性质定理的证明过程及其应用.
知识回顾
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，
我们说这条直线是圆的切线;
2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r )时，直线与圆相切；
3. 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
O
O
证明切线时常用的辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
课时导入
动脑筋
如图，如果直线 l 是☉O 的切线，A 为切点，那么切线 l 和半径 OA 垂直吗？
A
l
O
我用量角器量得切线 l 与半径OA所成的角为 90°，即切线 l 与半径 OA 垂直.
下面我们用反证法来证明这个结论.
假设 l 与半径 OA 不垂直，
则过圆心 O 作 OM ⊥ l 于点 M，
由于垂线段最短，可得 OM ＜ OA，
即圆心 O 到直线 l 的距离小于半径，
∴ 直线 l 与☉O 相交，
这与已知“ l 是☉O 的切线”矛盾，
∴ 假设不成立，即 l ⊥OA.
M
A
l
O
知识讲解
A
l
O
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径．
直线 l 是☉O 的切线
A 是切点
直线 l ⊥ OA
切线的性质定理的推论
(1) 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
(2) 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
例 1
如图，AB 为☉O 的直径，C 为☉O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D.
求证：AC 平分 ∠DAB.
证明：连接 OC，如图.
∴OC⊥CD.
又∵ AD⊥CD，
∴ OC // AD，∴ ∠ACO = ∠CAD.
∵ OC = OA，
∴ ∠CAO = ∠ACO.
∴ ∠CAD = ∠CAO，
故 AC 平分∠DAB.
∵CD 是☉O 的切线，
A
B
O
C
D
利用切线的性质解题时，往往需要添加辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
A
B
O
C
D
知识讲解
l1
O
B
A
l2
证明：经过直径两端点的切线互相平行.
已知：如图，AB 是☉O 的直径，l1，l2 分别是经过点 A，B 的切线.
求证：l1 // l2.
证明：∵OA 是☉O 的半径，l1 是过点 A 的切线，
∴ l1 ⊥ OA.
同理 l2⊥ OB，
∴ l1 ⊥ AB，且 l2⊥ AB.
∴ l1 // l2 .
例 2
随 堂 小 测
1.如图，AB 是☉O 的直径，BC 与☉O 相切于点 B，AC 交☉O 于点 D，若 ∠ACB = 50°，则 ∠BOD 等于(　　)
A．40° B．50° C．60° D．80°
D
解：∵BC是☉O的切线，∴∠ABC = 90°，
∴∠A = 90°-∠ACB = 90°-50°= 40°.
由圆周角定理，得∠BOD = 2∠A = 80°.
2.如图，AB 是☉O 的直径，MN 是☉O的切线，切点为N，如果∠MNB = 52°，那么 ∠NOA 的度数为( )
A
A．76° B．56°
C．54° D．52°
解：∵ MN 是☉O 的切线，
∴ ON⊥NM，∴ ∠ONM = 90°，
∴ ∠ONB = 90°-∠MNB = 90°-52°= 38°.
∵ ON = OB，
∴ ∠B = ∠ONB = 38°，
∴ ∠NOA = 2∠B = 76°．
有切线，用性质
3.如图，AB 是☉O 的直径，CD 是☉O 的切线，切点为 D，CD 与 AB 的延长线交于点 C，∠A = 30°，给出下面三个结论：
① AD = CD；② BD = BC；③ AB = 2BC.
其中正确结论的个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
A
4.如图，AB 与☉O 切于点 C，OA=OB，若☉O 的半径为 8 cm，AB = 10 cm，则 OA 的长为 cm.
5.如图，在 Rt△AOB 中，OA = OB = 3，☉O 的半径为1，点 P是 AB 边上的动点，过点 P 作☉O 的一条切线 PQ (点 Q 为切点)，则切线 PQ 的最小值为 .
解：如图，连接 OP，OQ．
∵ PQ 是☉O 的切线，∴ OQ⊥PQ.
∵ PQ2 = OP2 - OQ2，
∴ 当 PO⊥AB 时，线段 PQ 最短.
∵ 在 Rt△AOB 中，OA = OB = 3，
∴ AB = OA = 6，∴ OP = 3，
∴ PQ = = 2．
6.如图，☉O 切 PB 于点 B，PB = 4，PA = 2，求☉O 的半径.
O
P
B
A
解：连接 OB，则 ∠OBP = 90°.
设☉O 的半径为 r，则 OA = OB = r，OP = OA + PA = 2 + r.
在 Rt△OBP 中，
OB2 + PB2 = PO2，
解得 r = 3，
即☉O 的半径为 3.
即r2 + 42 = (2 + r)2.
7.如图，四边形 OABC 是平行四边形，以点 O 为圆心，OC 为半径的☉O 与 AB 相切于点 B，与 AO 相交于点 D，AO 的延长线交☉O 于点 E，连接 EB 交 OC 于点 F，求 ∠C 和 ∠E 的度数．
解：如图，连接 OB.
∵☉O 与 AB 相切于点 B，∴ OB⊥AB.
∵四边形 ABCO 为平行四边形，
∴ AB//OC，OA//BC，∴ OB⊥OC，∴ ∠BOC=90°.
∵ OB=OC，∴ △OCB 为等腰直角三角形，∴ ∠C = ∠OBC = 45°.
∵ AO//BC，∴ ∠AOB = ∠OBC = 45°，∴ ∠E = 22.5°．
8.如图，AB 是☉O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线 AD 交☉O 于点 D，DE 是☉O 的切线，交 AC 的延长线于点 E.
求证：DE⊥AC.
证明：如图，连接 OD.
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线，∴ ∠EAD = ∠DAO.
又∵ OA=OD，∴ ∠DAO = ∠ODA.
∴ ∠ODA = ∠EAD，∴ OD//AC.
又∵ DE 是☉O 的切线，∴ ∠ODE = 90°，
∴ ∠E=90°，即 DE⊥AC.
9.如图，PA 为☉O 的切线，A 为切点．直线 PO 与☉O 交于 B、C 两点，∠P = 30°，连接 AO、AB、AC.
(1)求证：△ACB ≌ △APO；
(2)若 AP = ，求☉O 的半径．
O
A
B
P
C
(1)求证：△ACB ≌ △APO；
在 △ACB 和 △APO 中，
∠BAC = ∠OAP，AB = AO，∠ABO = ∠AOB，
∴ △ACB ≌ △APO.
(1)证明：∵ PA 为☉O 的切线，A 为切点，
又∵ ∠P = 30°，∴ ∠AOB = 60°，
又∵ OA = OB，∴ △AOB 为等边三角形，
∴ AB = AO，∠ABO = 60°.
又∵ BC 为☉O 的直径，∴ ∠BAC = 90°.
∴ ∠OAP = 90°.
O
A
B
P
C
(2)若AP = ，求☉O 的半径．
∴ AO = 1，
∴ CB = OP = 2，
∴ OB = 1，即☉O 的半径为 1.
(2)解：在 Rt△AOP 中，∠P = 30°，AP = ，
O
A
B
P
C
小结
切线的
性质
有1个公共点
d=r
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线的添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
性质定理