2.5.3 切线长定理 课件(共23张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级下册

(共23张PPT)
第2章 圆
2.5.3 切线长定理
2.5 直线与圆的位置关系
1．了解切线长的概念.（重点）
2．探索并证明切线长定理.（重难点）
3．切线长定理的简单应用.
学习目标
课时导入
我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
P
O
B
A
O.
P
A
B
知识讲解
P
1. 切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是
圆外一点和切点，可以度量．
2. 切线长与切线的区别在哪里？
探究
B
P
O
A
在透明纸上画出下图，设 PA，PB 是☉O 的两条切线，A、B 是切点，沿直线 OP 将图形对折，你能猜测一下 PA 与 PB，∠APO 与 ∠BPO 分别有什么关系吗？
（利用图形轴对称性解释）
PA = PB，∠APO = ∠BPO.
B
P
O
A
我们猜测：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
如图，连接 OA，OB.
∵ PA，PB 与☉O 相切，点 A，B 是切点，
∴ OA ⊥ PA，OB ⊥ PB，即 ∠OAP = ∠OBP = 90°.
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△AOP ≌ Rt△BOP (HL)，
∴ PA = PB ，∠OPA = ∠OPB.
B
P
O
A
下面我们来证明上述猜测是真的.
知识讲解
切线长定理:
过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB 分别切☉O 于 A、B
PA = PB
∠OPA = ∠OPB
B
P
O
A
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
例
如图，AD 是☉O 的直径，点 C 为☉O 外一点，CA 和 CB 是☉O 的切线，A 和 B 是切点，连接 BD.
求证：CO//BD.
分析：连接 AB，因为 AD 为直径，那么∠ABD = 90°，即 BD⊥AB. 因此要证 CO//BD，只要证 CO⊥AB 即可.
证明：如图，连接 AB.
∵CA、CB 是☉O 的切线，点 A、B 是切点，
∴CA = CB，∠ACO = ∠BCO，
∴CO⊥AB.
∵AD 是☉O 的直径，
∴∠ABD = 90°，
即BD⊥AB，
∴CO//BD.
特别提醒
经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等.
切线长问题辅助线添加方法
(3)连接圆心和圆外一点.
(2)连接两切点；
(1)分别连接圆心和切点；
知识讲解
随 堂 小 测
1.如图，直线 AB，AD 分别与☉O 相切于点 B，D，C 为☉O
上一点， 且 ∠ BCD = 130°，则 ∠A 的度数是( )
A．70°
B．85°
C．80°
D．100°
C
2.如图，已知四边形 ABCD 的每条边都和☉O 相切，且 BC = 10，AD = 7，则四边形 ABCD 的周长为( )
A．32 B．34 C．36 D．38
B
解：设四边形的各边与圆的切点分别为 P，Q，M，N，
则 AQ = AM，BN = BM，CN = CP，DP = DQ，
所以四边形 ABCD 的两组对边的和相等，
所以四边形 ABCD 的周长 = 2×(7+10) = 34．
P
Q
M
N
D
C
A
B
3.如图，菱形 ABCD 的边长为 10，圆 O 分别与 AB、AD 相切于 E、F 两点，且与 BG 相切于 G 点．若 AO = 5，且圆 O 的半径为 3，则 BG 的长为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
解：如图，连接 OE.
∵☉O 与 AB相切于 E，∴ ∠AEO = 90°，
∵AO = 5，OE = 3，
∵AB = 10，∴BE = 6.
∵BG 与☉O 相切于 G，∴BG = BE = 6.
C
B
P
O
A
4. PA、PB 是☉O 的两条切线，A，B 是切点，OA = 3.
(1)若AP = 4，则OP = ；
(2)若∠BPA = 60°，则 OP = .
5
6
5.如图，PA，PB 切☉O 于 A，B 两点，CD 切☉O 于点 E，交 PA，
PB 于点 C，D. 若☉O 的半径为 2，△PCD 的周长等于 4，则
线段 AB 的长是_____ .
6.如图，AB，BC，CD 分别与☉O 相切于点 E，F，G，
若∠BOC = 90°，求证：AB//CD．
证明：∵∠BOC = 90°，∴∠OBC＋∠OCB = 90°.
又∵ BE 与 BF 为☉O 的切线，
∴ BO 为 ∠EBF 的平分线．∴ ∠OBE = ∠OBC.
同理可得 ∠OCB = ∠OCG.
∴ ∠OBE＋∠OCG = ∠OBC＋∠OCB = 90°，
∴ ∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG = 180°，
即 ∠ABF＋∠DCF = 180°，∴AB//CD.
7.如图，PA、PB 是☉O 的切线，A、B 为切点，AC 是☉O 的直径，∠BAC = 25°，求∠P 的度数.
解：由切线长定理可知 PA = PB.
∵ PA 是☉O 的切线.
∴ ∠OAP = 90°.
∵ ∠BAC = 25°，∴ ∠BAP = 65°.
又∵ PA = PB，∴ ∠BAP = ∠ABP = 65°，
∴ ∠P = 180°-∠BAP-∠ABP = 50°.
8.如图，一个油桶靠在墙边，量得WY = 1.65 m，并且 XY⊥WY，这个油桶底面半径是多少
解：设圆心为 O，连接 OW，OX.
∵ YW，YX 均是☉O 的切线，∴ OW⊥WY，OX⊥XY.
又∵ XY⊥WY，∴∠OWY = ∠OXY = ∠WYX = 90°，
∴ 四边形 OWYX 是矩形，
又∵ OW = OX，∴四边形 OWYX 是正方形，∴ OW = WY = 1.65 m，
即这个油桶底面半径是1.65 m.
9.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得 PA = 5 cm，求铁环的半径．
分析：欲求半径 OP，取圆的圆心为 O，连接 OA，OP，由切线性质知 △OPA 为直角三角形，从而在 Rt△OPA 中由勾股定理易求得半径．
O
在 Rt△OPA 中，PA = 5，∠POA = 30°，
O
Q
解：过 O 作 OQ⊥AB 于 Q，设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA.
∵AP、AQ 为☉O 的切线，
∴AO 为∠PAQ 的平分线，即∠PAO = ∠QAO.
又∠BAC = 60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC = 180°，∴∠PAO = ∠QAO = 60°.
即铁环的半径为
小结
切线长
切线长定理
作用
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
内容
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点
之间的线段的长.