2.5.4 三角形的内切圆 课件(共24张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级下册

(共24张PPT)
第2章 圆
2.5.4 三角形的内切圆
2.5 直线与圆的位置关系
1．通过尺规作图的方法，经历三角形的内切圆的产生过程，理解三角形的内切圆的概念.（重难点）
2．知道三角形的内心，并理解其性质.
学习目标
课时导入
议一议
想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？
A
B
C
A
B
C
为了使圆形纸板的面积最大，这个圆应当与三角形的三条边都尽可能贴近.
我们猜测：这个圆应当与三角形的三条边都相切.
动脑筋
与三角形的三条边都相切的圆存在吗？若存在，如何画出这样的圆？
如果圆与 △ABC 的三条边都相切，那么圆心 O 与三角形三边的距离应等于圆的半径，从而这些距离相等.
到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心 O 应是 ∠A 与 ∠B 的平分线的交点.
已知：△ABC.
求作：和 △ABC 的各边都相切的圆.
作法：
1. 作 ∠B 和 ∠C 的平分线 BM 和 CN，交点为 O.
2. 过点 O 作 OD⊥BC，垂足为 D.
3. 以 O 为圆心，OD 为半径作☉O.
☉O 就是所求的圆.
M
N
D
O
根据前面的分析，我们可以按下面的方法画一个圆与三角形的三边都相切.
与 △ABC 的三条边都相切的圆有几个？
因为∠B 和∠C 的平分线的交点只有一个，并且交点 O 到 △ABC 三边的距离相等且唯一，所以与 △ABC 三边都相切的圆有且只有一个.
D
O
知识讲解
A
B
C
Ｏ
Ｍ
N
F
外切三角形
内切圆
内心
1. 与三角形各边都相切的圆叫作这个三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫作这个三角形的内心.
3. 这个三角形叫作这个圆的外切三角形.
4. 三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1.OA = OB = OC；
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条角平分线的交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC 分别
平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3.内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
C
例
在 △ABC 中，☉O 是 △ABC 的内切圆，∠A = 70°，
求 ∠BOC 的度数.
A
B
C
O
解：∵ ∠A = 70°，
∴ ∠ABC +∠ACB = 180° -∠A = 110°.
∵ ☉O 是 △ABC 的内切圆，
∴ BO，CO 分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线，
即∠OBC = ∠ABC ，∠OCB = ∠ACB.
∴∠BOC = 180°-(∠OBC+∠OCB)
= 180°- (∠ABC +∠ACB)
= 180°- ×110°
= 125°.
A
B
C
O
随 堂 小 测
1.下列说法错误的是(　　)
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
C
2.如图，△ABC 的内切圆☉O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB = 5，BC = 13，CA = 12，则阴影部分(即四边形 AEOF )的面积是(　　)
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
A
3.如图，已知 △ABC 的内切圆☉O 与 BC 边相切于点 D，连接
OB，OD. 若 ∠ABC = 40°，则 ∠BOD 的度数是_______．
70°
(3)若∠BIC = 100°，则∠A = 度.
(2)若∠A = 80°，则∠BIC = 度.
130
20
4.如图，在 △ABC 中，点 I 是内心，
(1)若∠ABC = 50°，∠ACB = 70°，∠BIC = _____.
A
B
C
I
(4)试探索： ∠A 与∠BIC 之间存在怎样的数量关系？
120°
C
A
B
O
D
5.求边长为 6 cm 的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知 BC = 6 cm，∠ABC = 60°，OD⊥BC，
OB平分∠ABC，
∴ ∠OBD = 30°，BD = 3 cm，△OBD 为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
6.△ABC 的内切圆☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长.
解:
设 AF = x cm，则 AE = x cm.
∴CE = CD = AC - AE = (9 - x) cm，
BF = BD = AB - AF = (13 - x) cm.
A
C
B
E
D
F
O
由 BD+CD = BC，可得(13 - x) + (9 - x) = 14，
∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.
解得 x = 4，
解题关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
7.如图，△ABC 中，I 是内心，∠A 的平分线和 △ABC 的外接圆相交于点 D. 求证：DI = DB.
证明：如图，连接 BI.
∵ I 是 △ABC 的内心，
∴ ∠BAD =∠CAD，∠ABI =∠CBI，
∵ ∠CBD =∠CAD，∴ ∠BAD =∠CBD，
∵ ∠BID =∠BAD+∠ABI，∠IBD =∠CBI+∠CBD，
∴ ∠BID =∠IBD，
∴ BD = ID．
8.如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = a，AC = b，AB = c，☉O 为 Rt△ABC 的内切圆. 求 Rt△ABC 的内切圆的半径 r.
∵ ☉O 与 Rt△ABC 的三边都相切，
∴ AD = AF，BE = BF，CE = CD，
解：设 Rt△ABC 的内切圆与三边相切于 D、E、F，连接 OD、OE、OF，
则 OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.
B
A
C
E
D
F
O
设 AD = x ， BE = y ，CE ＝ r .
则有
x＋r = b ，
y＋r = a ，
x＋y = c ，
解得
r= .
a＋b－c
2
B
A
C
E
D
F
O
设 Rt△ABC 的直角边为 a、b，斜边为 c，
则 Rt△ABC 的内切圆的半径 r = 或 r = .
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
知识讲解
·
B
D
E
F
O
C
A
9.如图，△ABC 的内切圆的半径为 r，△ABC 的周长为 l，求△ABC 的面积 S .
解：设 △ABC 的内切圆与三边相切于 D、E、F，
连接 OA、OB、OC、OD、OE、OF，如图，
则 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC = S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
= AB·OD ＋ BC·OE ＋ AC·OF
= l·r .
设 △ABC 的三边为 a、b、c，面积为 S，△ABC 的内切圆的半径 r = ；
当 △ABC 为直角三角形，a、b为直角边时，r = .
2S
a＋b＋c
ab
a＋b＋c
知识讲解
小结
只适合于直角三角形
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内切圆
应用
重要结论
内心(三角形三条角平分线的交点)
外切三角形