2.3 垂径定理 课件 (共25张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级下册

(共25张PPT)
第2章 圆
*2.3 垂径定理
1．探索并证明垂径定理.
2．运用垂径定理解决一些有关证明、计算问题.（重难点）
学习目标
知识回顾
问题1 圆是轴对称图形吗？
问题2 它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形
其对称轴是直径所在的直线 无数条
课时导入
问题3 你知道赵州桥吗？它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径 CD 的弦 AB，垂足为 P，再将纸片沿着直径 CD 对折，比较 AP 与 PB， 与 ，你能发现什么结论？
·
O
A
B
D
P
C
动脑筋
线段: AP = BP
·
O
A
B
D
P
C
弧: ，
理由如下：
把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AP 与 BP 重合， 和 ， 与 重合．
换一种方法来解决上面的问题：
·
O
A
B
D
C
P
已知：在☉O中，CD 是直径，AB 是弦，AB⊥CD，垂足为 P. 求证：AP = BP， ， .
证明：连接 OA、OB、CA、CB，则 OA = OB，
即△AOB 是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
∴AP = BP，
∠AOC = ∠BOC.
从而 ∠AOD = ∠BOD.
知识讲解
垂径定理：
·
O
A
B
C
D
P
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD 是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP = BP， ，
(结论)
推导格式：
例1
如图，☉O 的弦 AB = 8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC = 2 cm，求半径 OC 的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接 OA，∵ CE⊥AB 于D，
∴
设 OC = x cm，则 OD = x - 2，
根据勾股定理，得
解得 x = 5，
即半径 OC 的长为 5 cm.
x2 = 42 + (x - 2)2，
例2
证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
已知：如图，☉O 中弦 AB//CD，求证： =
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径 MN⊥AB.
∵AB//CD，∴MN⊥CD.
则
(垂直弦的直径平分弦所对的弧)
∴
如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧)结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
① 过圆心 ；② 垂直于弦； ③ 平分弦；
④ 平分弦所对的优弧 ； ⑤ 平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
探究
已知：在☉O中，CD 是直径，AB 是弦(不是直径)，与 CD 交于点 P，且 P 是 AB 的中点.
求证：AB⊥CD， .
·
O
A
B
D
C
P
证明：连接 OA、OB、CA、CB，则 OA=OB，
即 △AOB 是等腰三角形.
∵P 是 AB 的中点，
∴AB⊥CD.
即AP = BP，
∵ CD 是直径，CD⊥AB，
∴
知识讲解
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：
·
O
A
B
C
D
圆的两条直径是互相平分的.
特别说明：
你能利用垂径定理解决问题3中求赵州桥主桥拱半径的问题吗
A
B
O
C
D
解：如图，用 AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R.
经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC 垂足为 D，与弧 AB 交于点 C，则 D是 AB 的中点，C 是弧 AB 的中点，CD 就是拱高.
∴AB = 37 m，CD = 7.23 m，
∴ AD= AB = 18.5 m，OD = OC - CD = R - 7.23 .
解得R ≈ 27.3 (m).
即主桥拱半径约为 27.3 m.
R2 = 18.52 + ( R - 7.23 )2
∵
A
B
O
C
D
在圆中有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d(圆心到弦的距离)，弓形高 h 的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h = r
O
A
B
C
·
随 堂 小 测
1.如图，OE⊥AB 于 E，若 ☉O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm.
16
O
A
B
E
·
2.如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿＿＿＿＿＿.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2 cm或12 cm
2.(分类讨论题)已知☉O 的半径为 10 cm，弦MN//EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和弦 EF 之间的距离为 .
14 cm 或 2 cm
3. 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于C，D 两点.你认为 AC 和 BD 有什么关系？为什么？
理由：过 O 作OE⊥AB，垂足为 E，
则AE ＝ BE，CE ＝ DE，
∴ AE－CE ＝ BE－DE，
即 AC ＝ BD.
O
.
A
C
D
B
E
解：AC = BD.
4. 如图，在☉O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，求证四边形 ADOE 是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB，
∴ AE=AD，
∴四边形ADOE为正方形.
解：由题意得，AB = 6 m，OE⊥AB于F，
∴AF = AB = 3 m.
∵设 AB 所在☉O的半径为 r，且 EF = 2 m，
∴AO = r，OF = r - 2.
在 Rt△AOF 中，由勾股定理可知：AO2 = AF2 + OF2，
即 r2 = 32 + (r-2)2 ，解得 r = m．
即 AB 所在☉O 的半径为 m．
5.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度 AB = 6 m，弓形的高 EF = 2 m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧 AB 所在圆 O 的半径．
小结
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
A
B
O
D
C
垂径定理的本质是:
满足其中任两条，必定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所
对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所
对的劣弧
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦(不是直径); ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论(“知二推三”).
垂直于弦的直径平分这条弦,
并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造 Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形