2.2.1 第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 课件(共22张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级上册

(共22张PPT)
第2章 一元二次方程
2.2 　一元二次方程的解法
2.2.1 配方法
第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
学习目标
1.理解配方法，知道用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤. （重点）
2.体会一元二次方程解法中的转化与降次思想.（难点）
复习引入
填一填
你能填上适当的数使等式成立吗？
(1)x2＋6x＋____＝(x＋____)2 ；
(2)x2－6x＋____＝(x－____)2 ；
(3)x2＋6x＋5＝x2＋6x＋____－___＋5
＝(x＋____)2 －____．
9
3
9
3
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4
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你能发现什么规律吗？
归纳总结
配方的方法：
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
即x2 + px + ( )2 = ( x + )2
知识讲解
知识点1 二次三项式的配方
例1： 填上适当的数或式，使下列各等式成立.
（1）x2 + 4x + = ( x + )2；
（2）x2 6x + = ( x )2；
（3）x2 + 8x + = ( x + )2；
x2 x + = ( x )2.
你发现了什么规律？
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2
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4
对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方公式.
在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法称为配方法.
配方法的定义
知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
探究交流
解方程：x2 + 4x - 12=0. (1)
问题1 方程 (1) 怎样变成 (x + n)2 = p 的形式呢？
解：
x2 + 4x - 12= 0
x2 + 4x = 12
移项
x2 + 4x + 4 = 12 + 4
两边都加上 4
二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方
问题2 为什么在方程 x2 + 4x = 12 的两边加上 4？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完全平方式 x2 + 2mx + m2 的形式.
在方程两边都加上一次项系数一半的平方——注意是在二次项系数为 1 的前提下进行的.
一元二次方程配方的方法：
方法归纳
例2：用配方法解下列方程：
(1) x2 + 10x + 9 = 0；
解：　　　　　　　
配方，得
x2 + 10x + 52-52 + 9 = 0，
因此 (x + 5)2 = 16，
由此得 x + 5 = 4 或 x + 5 = -4，
解得 x1 = -1，x2 = -9.
解：　　　　　　　
配方，得 x2-12x + 62-62-13 = 0，
因此 (x-6)2 = 49，
由此得 x-6 = 7 或 x-6 = -7，
解得 x1 = 13，x2 = -1.
(2) x2 - 12x - 13 = 0.
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
移项
配方
开方
求解
定解
把常数项移到方程的右边
方程两边都加上一次项系数一半的平方
方程两边开平方
解一元一次方程
写出原方程的解
方法归纳
变式：解方程 x2 + 8x -9 = 0 .
解：可以把常数项移到方程的右边，得x2 + 8x = 9，
两边都加 42 (一次项系数 8 的一半的平方)，得x2 + 8x + 42 = 8 + 42 ，
即(x + 4)2 = 25.
两边开平方，得x + 4 = ，
即 x + 4 =5 或 x + 4 =-5 .
所以 x1 =1， x2 =-9 .
随 堂 小 测
1.将一元二次方程 x2 - 8x - 5 = 0化成 (x + a)2 = b 的形式，则 b 等于( )
A. -13 B. 13 C. -21 D. 21
D
2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
B
　　
解：方程两边都除以3，得(x＋1)2＝，
开平方，得x＋1＝± ，即x＋1=或x＋1
∴x1＝－，x2＝－. 　　

3.解下列方程
(1)3(x＋1)2＝；
解：开平方，得3x＋2＝ ± 5，即 3x＋2＝5或3x＋2＝－5，
∴x1＝1，x2＝－.
(2)(3x＋2)2＝25；
解：
方程的两根为
4.解下列方程：
；
解：移项，得
x2－8x = －1.
配方，得
x2－8x + 42 = －1 + 42，
(x－4)2 = 15.
直接开平方得
即
5. 解方程： (x + 1 )(x - 1) + 2(x + 3) = 8.
解：方程化简，得 x2 + 2x + 5 = 8.
移项，得 x2 + 2x = 3，
配方，得x2 + 2x + 1 = 3 + 1，
即(x + 1)2 = 4.
开平方，得 x + 1 = ±2.
解得 x1 = 1， x2= －3.
6.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，问几秒后△PCQ的面积Rt△ACB面积的一半？
解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
A
C
B
P
Q

整理，得x2-14x+24=0,
即(x-7)2=25,解得x1=12，x2=2，
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
小结
用配方法解
一元二次方程
基本思路
将方程转化为（x + m）2 = n (n≥0)的形
式，再用直接开平方法，直接求根
配方法解一元二次方程的步骤
1.移项
3.直接开平方求解
2.配方