2.2.1 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 课件(共23张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级上册

(共23张PPT)
第2章 一元二次方程
2.2 　一元二次方程的解法
2.2.1 配方法
第3课时 用配方法解二次项系数不为0的一元二次方程
学习目标
1.通过实例理解配方法，知道配方法解二次项系数不为1的一元二次方程解法的基本步骤. （重点）
2.体会一元二次方程解法中的转化与降次思想.（难点）
知识回顾
把上面式子写成(x + n)2 +d 的形式，
其中n等于一次项系数的一半，
x2＋bx＋c＝0（a,b，c是已知数，a≠0），
然后在求两个一元一次方程的解.
.
如何用配方法解本章2.1节“动脑筋” 中的方程②呢？ 25x2+ 50x - 11 = 0.
这个方程的二次项系数是25，如果二次项系数为1， 那就好办了.我们可以直接将左边化为(x + n)2的形式.
由于方程25x2 + 50x - 11 = 0 的二次项系数不为1， 为了便于配方， 我们可根据等式的性质，在方程两边同除以25， 将二次项系数化为1， 得
x2 + 2x - ＝ 0.
那么现在你会利用配方法解这个方程了么？
新知引入
x2 + 2x - ＝ 0,
x2 + 2x +12 - 12 - ＝ 0,
配方， 得
因此
(x + 1)2 = ,
由此得
x + 1 = 或 x + 1 = ,
解得
x1 =0.2, x2 = 2.2.
二次项系数化为1
25x2+ 50x - 11 = 0,
方程左边配成完全平方
将方程转化为两个一元一次方程
两个一元一次方程分别求解
知识讲解
知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
例1：解方程： 4x2 -12x -1 = 0.
解：将二次项系数化为1，得=0，
配方，得3x+（-（，
因此 （x-）2= ，
因此得 x-= 或x-=-，
解得x1=， x2 = .
可以先将二次项系数化为 1.
练一练：用配方法解下列方程
-2x2+4x-8=0.
首先回顾一下利用配方法解一元二次方程的一般步骤：
如果二次项系数不为1，可以两边同时除以这个系数，
再在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，
再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里.
-2 x2 +4x - 8 = 0.
将上述方程的二次项系数化为1，得
x2 - 2x + 4 = 0.
将其配方，得 x2- 2x + 12- 12+ 4 = 0，
即 (x-1)2= -3.
因为在实数范围内， 任何实数的平方都是非负数.
因此，(x-1)2= -3 不成立， 即原方程无实数根.
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边；
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方；
开方:根据平方根意义，方程两边开平方；
求解:解一元一次方程；
定解:写出原方程的解.
二次项系数化为1
方程左边配成完全平方
将方程转化为两个一元一次方程
两个一元一次方程分别求解
归纳总结
例2：一个小球从地面上以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：h = 15t - 5t2.
小球何时能达到 10 m 高？
解：将 h = 10 代入方程式中. 15t - 5t2 = 10.
两边同时除以-5，得 t2 - 3t = -2，
配方，得 t2 - 3t + = - 2，
=
移项，得 =
即 t - = 或 t - = .
所以 t1 = 2 ， t2 = 1 .
即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10 m 高.
例3.试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5 = k2－4k＋4＋1
= (k－2)2＋1，
因为 (k－2)2≥0，所以 (k－2)2＋1≥1，
所以 k2－4k＋5 的值必定大于零.
例4 若 a，b，c 为△ABC 的三边长，且
试判断△ABC 的形状.
解：将原式配方，得
∴△ABC 为直角三角形.
由非负式的性质可知
即
∴
例5：解方程 4x2 -12x - 1 = 0.
解：将二次项的系数化为 1，得x2 - 3x - = 0，
配方，得
因此
由此，得 或
所以
随 堂 小 测
1.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A. (x+1)2=6 B. (x+2)2=9
C .(x﹣1)2=6 D .(x﹣2)2=9
C
2.[广西中考] 一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是 (　　)
A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
B
3.[怀化中考] 已知一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根,则k的值为 (　　)
A.4 B.-4 C.±4 D.±2
C
4.[永州中考] 若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,
则实数m 的取值范围是　　　　　　.
m>-4　
5.解方程：
（1）x1=1或x2=
（2）x1=或x2=-.
;
.
5.解方程：
（3）x1=或x2=;
（4）原方程无实根.
；
.
6.已知关于x的方程x2-4x+3-a=0有两个不相等的实数根.
(1)求a 的取值范围;
(2)当a 取满足条件的最小整数值时,求方程的解.
解：(1)根据题意得Δ=(-4)2-4(3-a)>0,
解得a>-1.
6.已知关于x的方程x2-4x+3-a=0有两个不相等的实数根.
(1)求a的取值范围;
(2)当a取满足条件的最小整数值时,求方程的解.
解：(2)由(1)知a的最小整数值为0,
此时方程为x2-4x+3=0,
(x-3)(x-1)=0,
x-3=0或x-1=0, 所以x1=3,x2=1.
小结
定义：在方程两边都配上
配方法
应用：求代数式的最值或证明
步骤：一移常数项且二次项系数化为 1；
二配方[配上 ]；
三写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四开平方解方程
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为 x2 + px + q = 0 的形式.