2.2.2 公式法 课件（23张ppt） 2023-2024学年数学湘教版九年级上册

第2章 一元二次方程
2.2 　一元二次方程的解法
2.2.2 公式法
学习目标
1.会用公式法求解一元二次方程. （重点）
2.经历一元二次方程求根公式的推导过程，培养逻辑推理能力和运算能力.（难点）
复习引入
利用配方法解方程：
????2??????2=0.
?
配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项；
2.二次项系数化为1；
3.方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
4.原方程变形为(x+m)2 =n 的形式；
5.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
问题：你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
解:????2+????????????+????????=0.
?
????2+????????????+????2????2=????2????2?????????.
?
????+????2????2=????2?4????????4????2.
?
????2+????????????=?????????.
?
1.化：把二次项系数化为1;
3.配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形：方程左边分解因式,右边合并同类;
2.移项：把常数项移到方程的右边;
知识讲解
知识点 用公式法解一元二次方程
????+????2????=±????2?4????????2????.
?
∴????=?????±????2?4????????2????.????2?4????????≥0.
?
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
当????2?4????????≥0时,
?
????2?4????????<0?
能不能开方？
有没有解？
?
一元二次方程
????????2+????????+????=0
?
（a≠0）
在b2-4ac≥0时，它的根为
?????=?????±????2?4????????2????
?
(b2-4ac≥0)
我们通常把这个式子叫作一元二次方程
的求根公式.
????????2+????????+????=0
?
（a≠0）
总结归纳
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与系数a，b，c之间的一个关系.
利用公式法再解方程：
????2??????2=0.
?
公式法解一元二次方程的步骤:
1.将一元二次方程化为一般式ax2+bx+c=0(a≠0)；
2.明确系数a，b，c的值；
3.计算Δ=b2-4ac的值，确定方程根的情况；
4.如果Δ=b2-4ac ≥0，利用求根公式直接求出方程的根.
例1：用公式法解方程 x2-x-2=0.
1.变形：
化已知方程为一般形式;
3.计算: b2-4ac的值;
5.定根：
写出原方程的根.
2.确定系数：
用a,b,c写出各项系数;
解： a ＝ 1， b ＝ -1， c ＝ -2.
因而b2 - 4ac ＝ (- 1) 2- 4 × 1 × (- 2)
＝ 1 ＋ 8 ＝ 9 ＞ 0，
所以 x ＝
1±92×1=1±32，
?
因此， 原方程的根为x1＝ 2，x2＝ -1.
4.代入：
把有关数值代入公式计算;
例2 ：解方程：9x2 + 12x + 4 = 0.
解：这里 a = 9，b = 12，c = 4.
因而 b2 - 4ac = 122 - 4×9×4 = 0，
所以
因此，原方程的根为
1.把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
4.写出方程的解： x1= ?, x2= ?
3.代入求根公式 :
?????=?????±????2?4????????2???? (a≠0, b2-4ac≥0).
?
2.求出b2-4ac的值.
总结归纳
随 堂 小 测
1. 用公式法解方程 5x2 - 4x - 12 = 0.
解：∵a = 5，b = -4，c = -12，
b2 - 4ac = (-4)2 - 4×5×(-12) = 256 > 0.
2. 解方程：
化为一般式
解：
即
3. 解方程：4x2 - 3x + 2 = 0.
∵ 在实数范围内负数不能开平方，
∴ 方程无实数根.
解：
4. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0.
解：这里 a = 1，b = 7， c = -18.
∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 > 0，
∴
即 x1 = -9， x2 = 2 .
5. 解方程：(x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号，得 x–2 - 3x2 + 6x = 6.
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0.
这里 a = 3，b = -7，c = 8，
∴ b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96
= -47 < 0.
∴ 原方程没有实数根.
6. 解方程：2x2 - x + 3 = 0.
解： 这里 a = 2，b = ，c = 3.
∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0，
∴
∴ x1 = ，x2 =
7.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m+1=0.
(1)求出方程的根;
解：（1）根据题意，得m≠1，
因为b2-4ac=（-2m）2-4（m-1）（m+1)=4，
所以x=????
7.已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2-2mx+m+1=0.
(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正.
(2)由（1）知，x1=????+?????????????=1+?????????
小结
求根公式：
公式法
步骤：一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）