3.4.1 第1课时 利用平行判定三角形相似 课件(共27张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级上册

(共27张PPT)
第3章 图形的相似
3.4 　相似三角形的判定
3.4.1 相似三角形的判定
第1课时 利用平行判定三角形相似
学习目标
1.了解相似三角形的判定方法，即平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
2.会用平行判定三角形相似.
复习导入
在八年级上册，我们已经探讨了两个三角形全等的条件，下面我们来
探讨两个三角形相似的条件.
为了研究满足什么条件的两个三角形相似，我们先来研究下述问题.
知识讲解
知识点1 相似三角形的性质及有关概念
我们就说 △ABC 与 △A′B′C′______，记作__________________，△ABC 与 △A′B′C′ 相似比是 k，则 △A′B′C′ 与 △ABC 的相似比是____.
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，如果∠A = ∠A′， ∠B = ∠B′，∠C = ∠C′，且===k,
△ABC∽△A′B′C′
相似
反之如果 △ABC∽△A′B′C′，则有∠A =_____，∠B =_____，∠C =____，且
∠A′
∠B′
∠C′
相似比为 1 时，相似的
两个图形有什么关系？
当相似比等于 1 时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似.
例1： △ABC 与 △DEF 的各角度数和边长如图所示，则 △ABC 与 △DEF 能否相似？说明理由．
解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°.
因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°.
所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E.
典例精析
∴ △ABC∽△DFE.
判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上．
方法总结
例2 ：如图，已知 △ABC∽△ADE，AE＝50 cm，EC＝30 cm，BC＝58 cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求：
(1) ∠AED 和 ∠ADE 的度数；(2) DE 的长．
解：(1)∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠ACB＝40°.
在 △ADE 中，∠ADE＝180°-40°-45°＝95°.
(2) ∵△ABC∽△ADE.
∴ DE＝36.25 cm.
当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段．
方法总结
知识点2 利用平行判定相似三角形
在△ABC 中，D为AB上任意一点，过点D作BC 的平行线DE，交AC于点E.
(1)△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗？
(2)分别度量△ADE与△ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？
(3)△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE 的位置，你的结论还成立吗？
我发现只要DE平行BC，那么三角形ADE与
三角形ABC是相似的.
A
B
C
D
下面我们来证明. 在 △ADE 与 △ABC 中，∠A = ∠A.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE = ∠B， ∠AED = ∠C，
过 E 作 EF∥AB 交 BC 于 F，
F
E
∵四边形 DBFE 是平行四边形，
∴DE = BF.
∴△ADE∽△ABC.
A
B
C
D
F
E
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似.
归纳
例3： 如图，在△ABC 中，已知点 D，E 分别是 AB，AC边的中点. 求证：△ADE∽△ABC．
证明：∵点 D，E 分别是 AB，AC 边的中点，
∴ DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
A
E
C
B
D
例4 :如图，点 D 作为△ABC 的边 AB 的中点，过点 D 作DE∥BC，交边 AC 于点 E.延长 DE 至点 F，使DE = EF.求证：△CFE∽△ABC．
解：∵DE∥BC，点 D 为△ABC 的边 AB 的中点，∴AE = CE.
又 DE = EF，∠AED = ∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(SAS).
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴△CFE∽△ABC.
A
E
D
B
C
F
A
B
C
D
E
相似具有传递性
△ADE∽△ABC
M
N
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？
△AMN∽△ADE
△AMN∽△ABC
共有三对相似三角形
已知 DE∥BC，
交流讨论
如图，在 △ABC 中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果 AD = 1，DB = 3，那么 DG∶BC =_____.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1∶4
练一练
随 堂 小 测
C
1．如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E.
若线段DE＝5，则线段BC的长为(　　)
A．7.5 B．10
C.15 D．20
A
2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，有下列结论：
①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③＝.其中正确结论的个数为(　　)
A．3 B．2
C.1 D．0
3．如图，在 ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F.
若AE＝2DE，DC＝3 cm，则AF的长为(　　)
A．5 cm B．6 cm
C.7 cm D．8 cm
B
△ABP∽△AED(答案不唯一)
4．如图，在 ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，
BP∥DF，且与AD相交于点P.请从图中找出一组相似的三角形：
．
5．如图，已知DF∥BC交AC于点E，CF∥AB.
求证：△ABC∽△CFE.
证明：∵DF∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∵CF∥AB，∴△ADE∽△CFE，
∴△ABC∽△CFE.
小结
2. 当相似比等于 1 时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似；
3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似.
1. 相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似比等于对应边的比；