3.4.1 第2课时 相似三角形的判定定理1 课件(共21张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级上册

(共21张PPT)
第3章 图形的相似
3.4 　相似三角形的判定
3.4.1 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定定理1
学习目标
1.了解相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
2.会运用相似三角形的判定定理1判定两个三角形相似.
类比引入
相似多边形
各角分别相等、各边成比例
相似三角形
三角分别相等、三边成比例
可否用比较少的条件来判定三角形相似呢？
可以类比全等三角形.
全等三角形
全等三角形
对应边相等，对应角相等
一个条件
两个条件
三个条件
SSS
ASA
AAS
SAS
复习回顾
知识讲解
知识点 相似三角形的判定定理1
∽
△ABC
△A'B'C'
∠A=∠A '
∠B=∠B '
∠C=∠C '
需要6个条件吗？
∽
△ABC
△A'B'C'
∠A=∠A '
∠B=∠B '
∠C=∠C '
需要6个条件吗？
角相等
边成比例
2个
2个
+
4个
至少需要几个条件呢？
分类讨论
想一想
一个条件
①一个角相等
②两边成比例
只有一个角相等，
两个三角形相似吗？
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
反例：
反例：
想一想
两个条件
有哪几种情况呢？
∠A=∠A '
∠B=∠B '
∠C=∠C '
角相等
边成比例
两个条件
①
一对角相等
一对角相等
＋
＝
两角分别相等
②
一对角相等
两边成比例
＋
＝
两边成比例且一对角相等
③
两边成比例
两边成比例
＋
＝
三边成比例
a.两边成比例且夹角相等
b.两边成比例且其中一边的对角相等
两个条件
①
一对角相等
＋
＝
两角分别相等
一对角相等
做一做
与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′，
使得∠A＝∠A′＝∠α，∠B＝∠B′＝∠β；
那么三边的比 相等吗？
这样的两个三角形相似吗？
判定定理 1
两角分别相等的两个三角形相似.
在△ABC和△A'B'C'中，
如果∠A＝∠A'，∠B＝ ∠B'，
那么△ABC∽△A'B'C'.
A
B
C
A'
C'
B'
数学语言：
典例精析
例1：如图，D，E分别是△ABC 的边AB和AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
解：∵ DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C.
A
B
C
D
E
∴△ADE∽△ABC
（两角分别相等的两个三角形相似）.
平行
角相等
△相似
∴
∴
证明：∵∠BAC = ∠1 + ∠DAC，∠DAE = ∠3 + ∠DAC，
∠1 = ∠3，
∴ ∠BAC = ∠DAE.
∵∠C = 180°－∠2－∠DOC ，
∠E = 180°－∠3－∠AOE，
∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C = ∠E.
∴ △ABC∽△ADE.
例2： 如图，∠1 =∠2 =∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
A
B
C
D
E
1
3
2
O
证明：∵∠C = 90°，∴AC⊥BC，
∵DF⊥BC，∴ DF∥AC.
∴ ∠BHF = ∠A ，而∠BHF = ∠DHE，
∴∠DHE = ∠A.
又 DE⊥AB，∴∠DEH = 90° = ∠C.
∴ △DEH∽△BCA（两角分别相等的两个三角形相似）.
例3 ：如图，在△ABC 中，∠C = 90°. 从点 D 分别作边 AB，BC 的垂线，垂足分别为点 E，F，DF 与 AB 交于点 H.求证：△DEH∽△BCA．
D
A
C
H
F
B
E
证明：∵∠C = 90°，∠F = 90°，
∠A = ∠D，
∴△ABC∽△DEF . ∴
又 AB = 5，BC = 4，DE = 3，
∴ EF = 2.4.
例4 ：如图，在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠C = 90°，∠F = 90°. 若∠A = ∠D，AB = 5，BC = 4，DE = 3，求 EF 的长．
B
A
C
D
F
E
图a
b，
图b
图a
图b
图c
图d
a
a,b,c)
d)
归纳总结
随 堂 小 测
1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有( )
A. 1 对 　　B. 2 对
C. 3 对 　　D. 4 对
C
2. 如图，在△ABC 中，AE 交 BC 于点 D，∠C = ∠E，AD : DE = 3 : 5，AE = 8，BD = 4，则 DC 的长等于 ( )
A.
B.
C.
D.
A
C
A
B
D
E
A
B
D
C
3. 如图，点 D 在 AB 上，当∠ ＝∠ (或∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC.
ACD
ACB
B
ADC
证明：∵ 在△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 80°，
∴ ∠C = 180°－∠A－∠B = 60°.
∵ 在 △DEF 中，∠E = 80°，∠F = 60°.
∴ ∠B = ∠E，∠C = ∠F.
　 ∴ △ABC∽△DEF.
4. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A = 40°，∠B = 80°，∠E = 80°，∠F = 60°．求证：△ABC∽△DEF.
A
C
B
F
E
D
小结
利用两角判定三角形相似
定理1：两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理 1 的运用