3.4.1 第3课时 相似三角形的判定定理2 课件（18张ppt） 2023-2024学年数学湘教版九年级上册

第3章 图形的相似
3.4 　相似三角形的判定
3.4.1 相似三角形的判定
第3课时 相似三角形的判定定理2
学习目标
1.了解相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.会运用相似三角形的判定定理2判定两个三角形相似.
做一做
①任意画△ABC；
②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A，且????????????′????′=????????????′????′=????；
?
③量出∠B及∠B′的度数，∠B＝∠B′吗？由此可以推出∠C=∠C′吗？为什么？
④由上面的画图，你能发现△ABC与△A′B′C′有何关系？与你周围的同学交流.
⑤改变k值的大小，再试一试.
A
B
C
A′
B′
C′
△ABC∽△A′B′C′
知识讲解
知识点 相似三角形的判定定理2
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，????????????′????′=????????????′????′?.
在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′.
∴????′
∵A′D=AB，
∴A′E=AC.
又∠A′=∠A.
∴△A′DE∽△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
A
B
C
A′
B′
C′
几何语言：
∵
∴△ABC∽△A′B′C′.
判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
例1 ：根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm，
∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm．
解：∵
∴
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC∽△A′B′C′.
典例精析
例2 ：如图，D，E分别是△ABC的边 AC ，AB上的点，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且 ，求DE的长 .
A
B
C
D
E
解：∵AE=1.5，AC=2，
又∵∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC.
例2 :如图，D，E分别是△ABC的边 AC ，AB上的点，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且 ，求DE的长 .
A
B
C
D
E
∵BC =3，
如果△ABC与△A′B′C′两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？
50°
4
A
B
C
3.2
2
50°
E
D
F
1.6
两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似.
想一想
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB = 90°.
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
例3 :如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB = 90°．
A
B
C
D
∵
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
∴△ADC ∽△CDB.
∴∠ACD = ∠B.
随 堂 小 测
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似 ( )
(2) 两个直角三角形相似 ( )
(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )
(4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似 ( )
×
√
√
×
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC ∽ △DBA 的条件是 ( )
A. AC : BC = AD : BD
B. AC : BC = AB : AD
C. AB2 = CD · BC
D. AB2 = BD · BC
D
A
B
C
D
3. 如图, △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或“不相似”) .

54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
相似
A
B
C
D
P
P
4. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
4 或 9
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB = AD : AC ，∴ AP : 12 = 6 : 8 ，解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB = AP : AC ，
∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
△ADP 和 △ABC 相似．
小结
利用两边及夹角判定三角形相似
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理 2 的运用