3.4.2 第1课时 相似三角形对应高、中线和角平分线的性质 课件(共17张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级上册

(共17张PPT)
第3章 图形的相似
3.4 　相似三角形的判定
3.4.2 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形对应高、中线和角平分线的性质
学习目标
1.了解相似三角形的性质定理，相似三角形对应线段的比等于相似比.
2.能运用相似三角形的性质定理解决数学问题.
复习导入
1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
2．全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
3．相似三角形的判定方法有哪些？
4．根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？
5．相似三角形还有其他的性质吗？本节我们就来探索相似三角形的其他性质．
知识讲解
知识点1 相似三角形对应高、中线和角平分线的性质
探究1：如图，△ABC 和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD，A′D′分别为BC,B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？
证明：∵△ABC∽△A ′B ′C ′，
∴∠B＝∠B ′.
又∵AD⊥BC,　A′D′⊥B ′C ′,
∴∠ADB＝∠A ′D ′B ′＝90°,
∴△ABD∽△A′B′D′,
∴AB︰A′B′＝AD︰A′D′＝k.
探究2：△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′边上的中线，AE，A′E′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AB︰A′B′＝k，那么AD与A′D′，AE与A′E′之间有怎样的关系？
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
总结归纳
典例精析
例1：已知△ABC∽△A′B′C′, BD和B′D′分别为△ABC, A′B′C′的中线, AE和A′E′分别为△ABC,△A′B′C′的对应角平分线. 已知BD=4 cm, B′D′=6 cm, A′E′=5 cm, 求AE的长.
分析 相似三角形的对应中线之比等于相似比,相似三角形的对应角平分线之比等于相似比, 因此BD∶B′D′＝AE∶A′E′.
解 ： ∵△ABC∽△A′B′C′,
即=，解得AE=.
故AE的长为 cm.
锦囊妙计
利用相似三角形的性质进行相关计算的注意点
利用相似三角形的性质进行相关计算时, 注意将相似三角形的对应高、中线、角平分线之比化为相似比或与相似比相关联的形式.
例2：如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E. 当SR= BC时，求DE的长.如果SR=BC呢？
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.
∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ （相似三角形对应高的比等于相似比），
即 ，
当SR= BC时，得 .解得DE= .
当SR= BC时，得 .解得DE= .
随 堂 小 测
1. 两个相似三角形的相似比为，则对应高的比为________， 则对应中线的比为_________.
2. 相似三角形对应边的比为 2 : 3，那么对应角的角平分线的比为______.
2 : 3
3. 两个相似三角形对应中线的比为，则对应高的比为______ .
4.如图，AD 是 △ABC 的高，AD = h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为 E.当SR=BC时，求 DE 的长.如果SR=BC呢？ 　
∴△ASR∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似).
解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD，
∴ SR∥BC.
∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C.
(相似三角形对应高的比等于相似比).
B
A
E
R
C
D
S
当 时，得
解得
当 时，得
解得
B
A
E
R
C
D
S
小结
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比