3.2 平行线分线段成比例 课件(共23张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级上册

(共23张PPT)
第3章 图形的相似
3.2 　平行线分线段成比例
学习目标
1.掌握基本事实：平行线分线段成比例. （重点）
2.了解“两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等”“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.
课时导入
观察与思考
下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,BB1,CC1,DD1互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？
a
b
c
知识讲解
知识点1 平行线等分定理
已知：直线 a∥b∥c，且 AB = BC.
求证：A1B1 = B1C1.
证明猜想
证明：过点 B 作直线 l3∥l2，分别与直线 a，c 相交于点 A2，C2，由于 a∥b∥c，l3∥l2，因此 A2B = A1B1 ，BC2 = B1C1，
易证：△BAA2≌△BCC2.从而 BA2 = BC2，所以 A1B1 = B1C1.
a
b
c
l3
两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
归纳总结
知识点2 平行线分线段成比例的概念
如图，任意画两条直线l1，l2,再画三条与l1，l2相交的平行线a,b,c.l1，l2 被直线a,b,c截得的线段分别是AB，BC，A1B1，B1C1，若AB=BC，
请问与相等吗？
相等，都等于1.
b
c
a
平移直线c,若，请问与相等吗
证明：已知=,如图，把线段AB二等分，分点是D.过点D作直线d∥a，交l2于点D1．把线段BC三等分，三等分点为E，F，分别过点E，F作直线e∥a，f∥a，分别交l2于点E1,F1.
e
a
b
c
f
d
因此AD=DB=BE=EF=FC.
由于a ∥ d∥ b∥ e∥f∥ c，
因此A1O1=D1B1=B1E1=E1F1=F1C1.
从而=.
由于AD=DB= AB，BE=EF=FC=BC，
由已知=，得AB=BC.
若条件“ ”改为“ ”(其中m,n是正整数),请问 的结果是什么呢？
类似地,进一步可证明,若
(其中k为无理数),则
从而
我们还可以得到
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
我们把以上基本事实简称为平行线分线段成比例.
由此，得到以下基本事实
知识点3 平行线分线段成比例定理的推论的运用
问题：如图，在△ABC中，已知DE∥BC,则=和=成立吗？为什么？
A
B
C
D
E
M
N
如图，过点A作直线MN，使
MN//DE.
∵DE//BC,
∴MN//DE//BC.
因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC所截.
同时还可以得到
则由平行线分线段成比例可知
由此得到以下结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
典例分析
例1：如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( )
A. B.
C. D.
D
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
例2：如图，在△ABC 中， EF∥BC.
(1) 如果 E，F 分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE = 7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵
∴
解得 AF = 4.
(2) 如果AB = 10，AE = 6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵
∴
解得 AC = .
∴ FC = AC－AF = .
随 堂 小 测
1.如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(　　)
A. B.
C. D.
D
2. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE = 2 cm，BE = 6 cm，BC = 4 cm，则EF 长 ( )
A
A. 1 cm B. cm
C. 3 cm D. 2 cm
A
B
C
E
F
A
B
C
E
D
3.填空题：
如图：DE∥BC，
已知：
则 .
4.在△ABC 中，ED∥AB，若 ，
则 ， .
C
A
B
D
E
5. 如图，已知菱形 ABCD 内接于 △AEF，AE = 5 cm，AF = 4 cm，求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
B
C
A
D
E
F
∴ CD∥AB，
∴
设菱形的边长为 x cm，
则 CD = AD = x cm，DF = (4－x) cm，
∴ 解得 x = ∴菱形的边长为 cm.
6.如图，AB = AC，AD⊥BC 于点 D，M 是AD 的中点，CM 交 AB 于点 P，DN∥CP.
（1）若 AB = 6 cm，求 AP 的长；
（2）若 PM = 1 cm，求 PC 的长.
A
C
D
B
M
N
P
解：(1)∵AB = AC，AD⊥BC 于点 D，M 是 AD 的中点，∴DB = DC，AM = MD.
∵DN ∥CP，
又∵AB = 6 cm，
∴ AP = 2 cm.
（2）若 PM = 1 cm，求 PC 的长.
∵ DN∥CP，
又∵ PM = 1 cm，
∴ PC = 2ND = 4PM = 4 cm.
解：由（1）知 AP = PN =NB，
A
C
D
B
M
N
P
小结
基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
平行线分线段成比例
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例