4.1 第1课时 正弦 课件(共21张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级上册

(共21张PPT)
第4章 锐角三角函数
4.1 　正弦和余弦
第1课时 正弦
学习目标
1.利用相似直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A）的定义.
2.会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值.
新课导入
北
东
30
A
B
C
问题1：小李驾驶“开心号”帆船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向，帆船从B处继续向正东方向航行1000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西30 的方向．试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？
1000m
分析：由题意，△ABC是直角三角形， 其中∠B =90°，∠A= 65°，∠A所对的边BC=2000m，求斜边AC=？
北
东
思考：在直角三角形中， 65°角的对边与斜边的比值有什么规律？
65
A
B
C
问题2：小李驾驶“开心号”帆船向东航行到 B处时，灯塔A在船的正北方向，帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65 的方向．试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？（精确到1m）
2000m
知识讲解
知识点 正弦
做一做：每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65 角的对边长度和斜边长度，计算：
的值（精确到0.01）
结论：在有一个锐角为65 的直角三角形中， 65 角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．
与同桌和邻桌的同学交流，你能发现什么？
猜想：在有一个锐角为 的所有直角三角形中，角 的对边与斜边的比值一定是一个常数吗？
证明：∵ ∠C=∠F=90°，∠A=∠D，
∴ △ABC ∽ △DEF.
已知：任意两个直角三角形△ABC 和△DEF，∠C=∠F = 90 ，∠A =∠D.
E
F
D
B
C
A
验证猜想
结论：在有一个锐角为 的所有直角三角形中，角 的对边与斜边的比值一定是一个常数.
解决问题：现在解决第2题中，帆船航行到C处时和灯塔A的距离约等于多少米的问题．
解：在直角三角形ABC中，BC=2000m ，∠A= 65 ，
解得
答：C 处和灯塔A的距离约等于2200米.
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作sin α,
即sin α=.
B
C
A
a
(1)sinA 不是一个角
(2)sinA 不是sin与A的乘积
(3)sinA 是一个比值
(4)sinA 没有单位
例1.如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( )
O
x
y
P (a，b)
α
A. B.
C. D.
D
典例精析
例2. 在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100
倍，sin A 的值 ( )
A. 扩大 100 倍 B. 缩小
C. 不变 D. 不能确定
C
(2)∠B 的对边是 AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2 - BC2 = 52 - 32 = 16.于是 AC = 4.因此sin B==.
例3： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 5.
（1）求 sin A 的值；
（2）求 sin B 的值.
A
B
C
5
3
解：(1)∠A 的对边BC = 3，斜边AB = 5，于是sin A==.
例4：如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4．
A (3，0)
在 Rt△APO 中，由勾股定理得
因此
α
方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
例5：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A=，BC = 3，求 sin B 及 Rt△ABC 的面积.
A
B
C
提示：已知 sin A 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出
sin B 及 Rt△ABC 的面积.
解：∵∠C = 90°， ∴
∴ AB = 3BC = 3×3 = 9.
∴
∴
∴
随 堂 小 测
1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( )
A. 扩大为原来的 2 倍 B.不变
C. 缩小为原来的 D. 无法确定
B
2. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 .
解析：∵ AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，∴ AB2＝BC2＋AC2．
∴ ∠ACB＝90°．
∴ sin∠ABC＝
3. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA =，求△ABC 的面积.
D
5
5
C
B
A
解：作 BD⊥AC 于点 D．
∵ sin A = ，
∴
又∵ AB = AC，BD⊥AC，∴ AC = 2AD = 6，
∴ S△ABC = AC · BD÷2 = 12.
小结
正弦的概念
正弦
正弦的应用
∠A的对边
斜边
sin A =
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长