4.1 第3课时 余弦 课件(共18张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级上册

(共18张PPT)
第4章 锐角三角函数
4.1 　正弦和余弦
第3课时 余弦
学习目标
1.会利用相似直角三角形探索并认识余弦的定义.
2.会求特殊角30°，45°，60°的余弦值并熟记这些值.
3.会用计算器求锐角的余弦值以及根据余弦值求对应锐角.
新知导入
如下图所示， △ABC 和△DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D =α，∠C =∠F = 90°，则=成立吗？为什么？
知识讲解
知识点1 余弦
我们来试着证明前面的问题：
∵∠A=∠D=α，∠C=∠F= 90°，
∴∠B=∠E.
从而sin B=sin E,
因此=.
在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，
记作cos α，
这证明了：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值等于角（90°-α）的对边与斜边的比值．
根据上述证明过程看出：对于任意锐角α，有
定义
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，
有
cosα=sin (90°-α)，
从而有
sinα=cos (90°-α).
解:cos 30°=sin（90°-30°）=sin 60°，
cos 45°=sin（90°-45°）=sin 45°，
cos 60°=sin（90°-60°）=sin 45°.
典例精析
例1 cos 30°，cos 45°，cos 60°.
例2 计算：cos 30°-cos 60°+cos245°.
解：原式
=-×+×
=.
例3 如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=,则AC和BC的长是多少？并求sinA的值.
解: AC 和BC 的长分别是6,
sinA的值为 .
知识点2 用计算器求锐角的余弦或根据余弦值求锐角
对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的余弦值，我们可以用计算器来求.
例如求50°角的余弦值，可在计算器上依次按键 ，显示结果为 0.6427….
如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
例如，已知 cosα = 0.8661，依次按键 ，显示结果为29.9914…，表示角α约等于30°.
随 堂 小 测
1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠A = 35°，则直角边 BC 的长是 ( )
A.msin35°
B.mcos 35°
C.
D.
A
A
B
C
2. 随着锐角 α 的增大，cos α 的值 ( )
A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 不确定
B
当 0°＜α＜90° 时，cos α 的值随着角度的增大 (或减小) 而减小 (或增大)
3.如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大100 倍，sin A 的值（ ）
A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍
C. 不变 D. 不能确定
A
B
C
┌
C
4.已知∠A，∠B 为锐角,
(1)若∠A = ∠B，则 sin A sin B；
(2)若 sin A = sin B，则∠A ∠B.
=
=
5. 如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为(10，0)，点 B 在第一象限内，BO = 5，sin∠BOA＝.
(1)求点 B 的坐标；
(2)求 cos∠BAO 的值．
A
B
H
解：(1)如图所示，作 BH⊥OA， 垂足为 H．在 Rt△OHB 中，
∵BO＝5，sin∠BOA＝，
∴BH＝3，OH＝4，
∴点 B 的坐标为(4，3)．
5.如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为(10，0)，点 B 在第一象限内，BO = 5，sin∠BOA＝.
(2)求 cos∠BAO 的值．
(2)∵ OA＝10，OH＝4，∴ AH＝6．
∵在 Rt△AHB 中，BH＝3，
A
B
H
小结
余弦
余弦的概念：在直角三角形中，锐角α 的邻边与斜边的比叫作角 α 的余弦
余弦的性质：α 确定的情况下，cos α为定值，与三角形的大小无关
用计算器求锐角余弦值或根据余弦值求锐角