4.2 正切 课件(共22张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级上册

(共22张PPT)
第4章 锐角三角函数
4.2 　正切
学习目标
1.会利用相似直角三角形，探索并认识正切的定义.会求锐角的正切值.
2.会求特殊角30°，45°，60°的正切值并熟记这些值.
3.会用计算器求锐角的正切值以及已知正切值求对应锐角.
复习回顾
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
正弦：sin A==，
余弦：cos A==.
sin 30°=
sin 45°=
sin 60°=
cos 30°=
cos 45°=
cos 60°=
特殊角的正弦、余弦函数值
我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形
的大小如何，这个锐角的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一个常数）.那么
这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？
新课导入
知识讲解
知识点1 正弦
探究：如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则=成立吗？为什么？
解：成立.理由：因为∠A=∠D，∠C=∠F，
所以Rt△ABCRt△DEF.
所以=.
A
B
C
D
E
F
α
α
由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个
常数，与直角三角形的大小无关.
如图，在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tan α，
即tan α=
α
邻边
对边
tan30°=

tan 45°=
tan 60°=


我们该如何计算特殊角的正切值？可以类比前面的特殊角的正弦、余弦的方法，构造直角三角形.
思考:
构造一个Rt△ACB ，使∠C=90°，∠A=30°.
于是BC=AB,∠B=60°.
从而AC2=AB2-BC2=（2BC）2-BC2=3BC2，
因此得AC=BC.
因此tan 30°==，tan 60°==，
同理可以求tan 45°.
特殊角的三角函数值
典例精析
例1：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，求sinA,cosA,sinB,cosB,tanA和tanB 的值．
A
B
C
15
9
解析：先求出AC长，再根据定义即可求锐角三角函数值.
A
B
C
15
9
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=
sin A==,cos A= = .
sin B=,cos B=.
tan A=,tan B=.
例2 计算：tan 45°+tan230°·tan260°.
解：原式=1+（）2·（
知识点2 用计算器求锐角的正切值或根据正切值求角
对于一般锐角 α（30°，45°，60°除外）的正切值，我们也可用计算器来求.
例如求 25° 角的正切值，可以在计算器上依次按键 　　　　 ，显示结果为 0.6427….　　
　　如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
　　例如，已知 tan α = 0.8391，依次按键 ，显示结果为40.000…，表示角 α 约等于40°.
结论：对于锐角A的每一个确定的值，sinA，cosA，tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.
随 堂 小 测
(1)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AC = 12，tan A = ( ).
(2)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AB = 13，tan A = ( )，tan B = ( ).
(3)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，tan A = ， AC = ( ).
1.完成下列填空：
B
C
A
2.如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 tan A = ( )
A. B. C. D.
D
这个图呢？
3.如图，P 是∠α 的边 OA 上一点，点 P 的坐标为(12,5),则tan α=_______.
M
记得构造直角三角形哦！
4.在等腰△ABC中，AB = AC = 13，BC = 10，求 tan B.
提示：过点 A 作 AD 垂直于 BC 于点 D.
求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的.
A
C
B
┌
D
解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D，
∴在 Rt△ABD 中，
易知 BD = 5，AD = 12.
∴tan B==.
5.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AB = 15，tan A =，求 AC 和 BC.
4k
∴ BC = 3k = 3×3 = 9，AC = 4k = 4×3 = 12.
┌
A
C
B
15
解：如图， ∴设 BC = 3k，AC = 4k.
小结
正切
正切的概念：在直角三角形中，锐角 α 的对边与邻边的比叫作角 α 的正切
正弦的性质： α 确定的情况下，tan α 为定值，与三角形的大小无关
用计算器解决正切问题