4.4 第1课时 仰角、俯角问题 课件(共18张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级上册

(共18张PPT)
第4章 锐角三角函数
4.4 　解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角问题
学习目标
1.灵活运用直角三角形的各种关系，解决一些简单的实际问题，使学生进一步感受模型思想，感受数学的价值.
2.了解测量中的概念，并能灵活运用相关知识解决某些实际问题.
新课导入
在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题.
对于这些问题，我们可以用所学的解直角三角形的知识来加以解决.
某探险者某天到达如
图所示的点 A 处时，他准
备估算出离他的目的地—
海拔 3 500 m 的山峰顶点
B 处的水平距离. 你能帮他
想出一个可行的办法吗？
．
A
B
．
．
动脑筋
知识讲解
知识点1 解与仰角有关的问题
如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
典例精析
例 1：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为 60°，热气球与高楼的水平距离为 120 m，这栋高楼有多高（结果精确到 0.1 m）.
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α = 30°，β = 60°.
在 Rt△ABD 中，α = 30°，AD = 120，所以利用解直角三角形的知识可求出 BD 的长；同理可求出 CD 的长，进而求得 BC 的长，即这栋楼的高度.
解：如图，α = 30°，β = 60°， AD = 120．
答：这栋楼高约为 277.1 m.
A
B
C
D
α
β
解：如图，在Rt△ABC 中，∠BAC = 25°，AC = 1000 m，
因此 tan 25°==.
从而 BC = 1000×tan 25° ≈ 466.3(m),
BD = 466.3 + 1.7 = 468 ( m ).
答：上海东方明珠塔的高度 BD为 468 m.
例2：如图，在离上海东方明珠塔底部 1000 m 的 A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为 25°，仪器距地面高 AE 为1.7 m.求上海东方明珠塔的高度 BD (结果精确到 1 m).
B
C
A
D
25°
E
例3:如图，小明想测量塔 AB 的高度.他在 D 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 C 处.测得仰角为 60°，小明的身高是1.5 m. 那么该塔有多高 (结果精确到 1 m)，你能帮小明算出该塔有多
高吗
D′
A
B′
B
D
C′
C
分析：由图可知，塔高 AB 可以分为上下两部分，上部分 AB′ 可以在 Rt△AD′B′ 和 Rt△AC′B′ 中利用仰角的正切值求出，B′B 与 D′D 相等.
解：如图，设 AB′ = x m.
由题意知∠AD′B′ = 30°，∠AC′B′ = 60°， D′C′ = 50 m.
∴∠D′AB′ = 60°，∠C′AB′ = 30°，D′C′ = 50 m .
D′
A
B′
B
D
C′
C
知识点2 解与俯角有关的问题
45°
30°
O
B
A
200 米
例4. 如图，直升飞机悬停在高为 200 米的大楼 AB 上方 P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30° 和45°，求飞机的高度 PO.
P
解：如图，过点 P 作 PC⊥BA 交 BA 的延长线于点 C.则∠PBO =∠CPB = 45°，∠CPA = 30°．∴ PC = BC = 200 + AC，tan30° ==.
∴ AC = （100+100）米．
∴ PO = BC =（300+100）米.
C
1. 如图，在高出海平面 100 米的悬崖顶A 处，观测海平面上一艘小船 B，并测得它的俯角为 45°，则船与观测者之间的水平距离 BC =_____米.
B
C
A
100
随 堂 小 测
2. 如图，两建筑物AB 和CD 的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C 点的俯角为60°，则建筑物CD 的高为_____米.
B
C
A
D
30°
60°
3.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α＝16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米).
分析：利用正弦可求．
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
解：在Rt△ABC中，sin B=，∴AB===4221（米）.
解：由题意，AC＝AB＝610（米）.
4. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB 为610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为 39°．（tan39°≈0.81）
(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；
(2) 求大楼的高度 CD（精确到 1 米）.
解：DE＝AC＝610（米），
在 Rt△BDE 中，tan∠BDE＝.
故 BE＝DE · tan39°．
∴ CD＝AE＝AB－BE＝AB - DE · tan39°
＝610－610×tan39° ≈ 116（米）.
小结
利用仰、俯角解直角三角形
仰角、俯角的概念
运用解直角三角形解决仰角、俯角问题