广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
1．（2024高二下·盐田月考）已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则等于（ ）
A．9 B．3 C． D．
2．（2024高二下·盐田月考）抛物线过点，则焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·盐田月考）有5名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．（2024高二下·盐田月考）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·盐田月考）已知等比数列的首项为1，公比为3，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·盐田月考）从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·盐田月考）已知某离散型随机变量X的分布列如下：
x 0 1 2
P a b c
若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·盐田月考）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A．152 B．126 C．90 D．54
9．（2024高二下·盐田月考）下列说法中，正确的命题是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1
B．，
C．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好．
D．已知随机变服从正态分布，，则
10．（2024高二下·盐田月考）设椭圆：的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最大值为
C．离心率
D．以线段为直径的圆与直线相切
11．（2024高二下·盐田月考）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为
C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件
12．（2024高二下·盐田月考）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
13．（2024高二下·盐田月考）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次等可能的向正方向或负方向跳1个单位，问经过4次跳动质点落在点（允许重复过此点）处的概率为 ．
14．（2024高二下·盐田月考）已知，，若，则的最小值为 ．
15．（2024高二下·盐田月考） 已知函数，当时，有极大值.
（1）求实数的值；
（2）当时，证明：.
16．（2024高二下·盐田月考）等比数列的各项均为正数，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
17．（2024高二下·盐田月考）已知二项式 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：
（1）求 的值；
（2）求展开式中常数项；
（3）计算式子 的值.
18．（2024高二下·盐田月考）时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
主播的学历层次 直播带货评级 合计
优秀 良好
本科及以上 60 40 100
专科及以下 30 70 100
合计 90 110 200
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？
（2）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望；
（3）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势．
19．（2024高二下·盐田月考）已知双曲线：（，）经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线．
（1）求的标准方程；
（2）设是上任意一点，直线：．证明：与双曲线相切于点；
（3）设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列的公差为2，因为，，成等比数列，所以，，
解得，故.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件结合等比数列的性质列式求得，再求得即可.
2．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线过点，所以，解得，
故，焦点坐标为.
故答案为：C.
【分析】将点代入抛物线方程求得的值，即可求得焦点坐标.
3．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式
【解析】【解答】解：由于甲、乙两人必须站在一起，则将甲、乙两人捆绑在一起看成一个整体，还需考虑人之间的顺序，有种情况；
再将这个整体与其余人全排列，有种情况，故甲、乙两人必须站在一起的排法共有种排法.
故答案为：D．
【分析】根据分步计数原理，结合排列的定义求解即可.
4．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，所以，，所以，
即切点为，切线的斜率为2，所以切线方程为，即。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义，进而得出曲线在切点处的切线斜率，再利用切点的横坐标结合代入法得出切点的纵坐标，从而得出切点坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再转化为切线的一般式方程。
5．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为等比数列的首项为1，公比为3， 所以，则，
故是以为首项，9为公比的等比数列，则.
故答案为：D.
【分析】由题意可得数列是以1为首项，9为公比的等比数列，再利用等比数列的求和公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：所取4个球的最大号码是6，则编号为6的球必选，再从编号为1，2，3，4，5的球中选3个，
则所取4个球的最大号码是6的概率为.
故答案为：B．
【分析】由题可知编号为6的球必选，再从编号为1，2，3，4，5的球中选3个，求其概率即可.
7．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，得 ，所以①．
因为 ，所以②．
由 ，得 ，代入①②解得： ，
所以 ．
故选：C.
【分析】运用离散型随机变量的分布列、期望与方差计算即可.
8．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；
②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；
1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；
2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；
由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，
故选B．
【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．
9．【答案】A,C
【知识点】极差、方差与标准差；样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；
B、，，故B错误；
C、用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故C正确；
D、已知随机变量服从正态分布，，则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据相关系数的性质即可判断A；根据方差和期望的性质即可判断B；根据拟合效果的衡量判断C；根据正态分布的性质即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆，可得，则，焦点；
A、根据椭圆的定义可知：，故A正确；
B、由椭圆的几何性质，可得的最大值为，故B错误；
C、椭圆的离心率为，故C正确；
D、因为原点到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，即可判定ABC；结合直线与圆的位置关系的判定方法即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“第一次取出的球的数字是奇数”的事件为A；“第二次取出的球的数字是偶数”的事件为B；
“两次取出的球的数字之和是奇数”的事件为C；“两次取出的球的数字之和是偶数”的事件为D，
A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，即可判断AB；再根据独立事件的乘法公式即可判断C；根据对立事件的意义即可判断D.
12．【答案】179
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
含的项为，则展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】写出展开式的通项，结合乘积形式写出含的项求解即可.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：质点的每次跳动，都有2种选择，故共有种；
若从原点出发，最终落在点，则这四次跳动中，三次向正方向跳动，一次向负方向跳动，
故满足题意的跳动方式有：种，即选择第一次，或第二次，或第三次，或第四次向负方向跳动，故满足题意的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据古典概率的概率计算公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，则，解得，，则，
设，则，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】令，用t表示，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性求最值即可.
15．【答案】（1）解：函数的定义域为，且，
因为时，有极大值，
所以，解得，
经检验，当时，在时有极大值，
所以；
（2）解：由（1）知，，
当时，要证，即证，即证：.
设，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，即，
故当时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）求导，根据题中条件列出方程组，求解即可，注意检验；
（2）由（1）知，，变形不等式，构造函数利用函数单调性证明即可.
16．【答案】（1）解：设数列的公比为，由，可得，
则，因为，所以，
由可得，所以．
故数列的通项公式为．
（2）解：，
故，
，
所以数列的前项和为.
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的通项公式；等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设数列的公比为，根据题意列式求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式；
（2）由（1）化简，则，利用裂项相消法求和即可.
17．【答案】（1）解：依题意， ，即 ，解得 ；
（2）解：由（1）知 ，∴ ，
，
由 ，得 ， 展开式中常数项 ．
（3）解：令 得 ．
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）依题意， ，即可求 的值；（2）写出通项，令 的指数为3，即可求展开式中含 的项；（3）令 得 ．
18．【答案】（1）解：由题意得，
由于，所以可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联．
（2）解：按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，
随机变量的可能取值为1，2，3，
，，
，
所以的分布列为：
1 2 3
所以数学期望．
（3）解：，
因为，所以认为在事件条件下发生有优势．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据列联表计算卡方值，再与临界值比较判断即可，
（2）根据分层抽样得带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，再利用超几何分布的概率公式求解概率，计算期望即可；
（3）根据所给的公式，结合条件概率公式求，再结合表中数据求解即可.
19．【答案】（1）解：因为双曲线：（，）经过点，
且直线是的一条渐近线，所以，解得，，
所以的标准方程为；
（2）证明：设是上任意一点，则，
这表明了点也在直线上，也可以得到，
联立直线的方程与椭圆的方程有，
化简并整理得，
而，且，
这也就是说与双曲线相切于点；
（3）证明：设，，
由（2）可知过点的直线的方程为，
因为点在直线上，
所以，即有，
又，从而，
所以，，
若，则，
整理得，
因为，所以，也就是说，
从而，所以点在定直线上上．
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列方程组，解出的值即可得双曲线方程；
（2）设是上任意一点，从而得出它也在直线上面，联立直线与椭圆方程，消元后得到一个一元二次方程，证明判别式等于0即可；
（3）设，，由（2）中结论，可得，再由向量数量积公式化简可得，即可证明点在定直线上．
1 / 1广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
1．（2024高二下·盐田月考）已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则等于（ ）
A．9 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列的公差为2，因为，，成等比数列，所以，，
解得，故.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件结合等比数列的性质列式求得，再求得即可.
2．（2024高二下·盐田月考）抛物线过点，则焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线过点，所以，解得，
故，焦点坐标为.
故答案为：C.
【分析】将点代入抛物线方程求得的值，即可求得焦点坐标.
3．（2024高二下·盐田月考）有5名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式
【解析】【解答】解：由于甲、乙两人必须站在一起，则将甲、乙两人捆绑在一起看成一个整体，还需考虑人之间的顺序，有种情况；
再将这个整体与其余人全排列，有种情况，故甲、乙两人必须站在一起的排法共有种排法.
故答案为：D．
【分析】根据分步计数原理，结合排列的定义求解即可.
4．（2024高二下·盐田月考）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，所以，，所以，
即切点为，切线的斜率为2，所以切线方程为，即。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义，进而得出曲线在切点处的切线斜率，再利用切点的横坐标结合代入法得出切点的纵坐标，从而得出切点坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再转化为切线的一般式方程。
5．（2024高二下·盐田月考）已知等比数列的首项为1，公比为3，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为等比数列的首项为1，公比为3， 所以，则，
故是以为首项，9为公比的等比数列，则.
故答案为：D.
【分析】由题意可得数列是以1为首项，9为公比的等比数列，再利用等比数列的求和公式求解即可.
6．（2024高二下·盐田月考）从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：所取4个球的最大号码是6，则编号为6的球必选，再从编号为1，2，3，4，5的球中选3个，
则所取4个球的最大号码是6的概率为.
故答案为：B．
【分析】由题可知编号为6的球必选，再从编号为1，2，3，4，5的球中选3个，求其概率即可.
7．（2024高二下·盐田月考）已知某离散型随机变量X的分布列如下：
x 0 1 2
P a b c
若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，得 ，所以①．
因为 ，所以②．
由 ，得 ，代入①②解得： ，
所以 ．
故选：C.
【分析】运用离散型随机变量的分布列、期望与方差计算即可.
8．（2024高二下·盐田月考）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A．152 B．126 C．90 D．54
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；
②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；
1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；
2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；
由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，
故选B．
【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．
9．（2024高二下·盐田月考）下列说法中，正确的命题是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1
B．，
C．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好．
D．已知随机变服从正态分布，，则
【答案】A,C
【知识点】极差、方差与标准差；样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；
B、，，故B错误；
C、用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故C正确；
D、已知随机变量服从正态分布，，则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据相关系数的性质即可判断A；根据方差和期望的性质即可判断B；根据拟合效果的衡量判断C；根据正态分布的性质即可判断D.
10．（2024高二下·盐田月考）设椭圆：的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最大值为
C．离心率
D．以线段为直径的圆与直线相切
【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆，可得，则，焦点；
A、根据椭圆的定义可知：，故A正确；
B、由椭圆的几何性质，可得的最大值为，故B错误；
C、椭圆的离心率为，故C正确；
D、因为原点到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，即可判定ABC；结合直线与圆的位置关系的判定方法即可判断D.
11．（2024高二下·盐田月考）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为
C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“第一次取出的球的数字是奇数”的事件为A；“第二次取出的球的数字是偶数”的事件为B；
“两次取出的球的数字之和是奇数”的事件为C；“两次取出的球的数字之和是偶数”的事件为D，
A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，即可判断AB；再根据独立事件的乘法公式即可判断C；根据对立事件的意义即可判断D.
12．（2024高二下·盐田月考）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
【答案】179
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
含的项为，则展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】写出展开式的通项，结合乘积形式写出含的项求解即可.
13．（2024高二下·盐田月考）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次等可能的向正方向或负方向跳1个单位，问经过4次跳动质点落在点（允许重复过此点）处的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：质点的每次跳动，都有2种选择，故共有种；
若从原点出发，最终落在点，则这四次跳动中，三次向正方向跳动，一次向负方向跳动，
故满足题意的跳动方式有：种，即选择第一次，或第二次，或第三次，或第四次向负方向跳动，故满足题意的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据古典概率的概率计算公式求解即可.
14．（2024高二下·盐田月考）已知，，若，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，则，解得，，则，
设，则，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】令，用t表示，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性求最值即可.
15．（2024高二下·盐田月考） 已知函数，当时，有极大值.
（1）求实数的值；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）解：函数的定义域为，且，
因为时，有极大值，
所以，解得，
经检验，当时，在时有极大值，
所以；
（2）解：由（1）知，，
当时，要证，即证，即证：.
设，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，即，
故当时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）求导，根据题中条件列出方程组，求解即可，注意检验；
（2）由（1）知，，变形不等式，构造函数利用函数单调性证明即可.
16．（2024高二下·盐田月考）等比数列的各项均为正数，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）解：设数列的公比为，由，可得，
则，因为，所以，
由可得，所以．
故数列的通项公式为．
（2）解：，
故，
，
所以数列的前项和为.
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的通项公式；等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设数列的公比为，根据题意列式求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式；
（2）由（1）化简，则，利用裂项相消法求和即可.
17．（2024高二下·盐田月考）已知二项式 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：
（1）求 的值；
（2）求展开式中常数项；
（3）计算式子 的值.
【答案】（1）解：依题意， ，即 ，解得 ；
（2）解：由（1）知 ，∴ ，
，
由 ，得 ， 展开式中常数项 ．
（3）解：令 得 ．
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）依题意， ，即可求 的值；（2）写出通项，令 的指数为3，即可求展开式中含 的项；（3）令 得 ．
18．（2024高二下·盐田月考）时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
主播的学历层次 直播带货评级 合计
优秀 良好
本科及以上 60 40 100
专科及以下 30 70 100
合计 90 110 200
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？
（2）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望；
（3）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势．
【答案】（1）解：由题意得，
由于，所以可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联．
（2）解：按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，
随机变量的可能取值为1，2，3，
，，
，
所以的分布列为：
1 2 3
所以数学期望．
（3）解：，
因为，所以认为在事件条件下发生有优势．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据列联表计算卡方值，再与临界值比较判断即可，
（2）根据分层抽样得带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，再利用超几何分布的概率公式求解概率，计算期望即可；
（3）根据所给的公式，结合条件概率公式求，再结合表中数据求解即可.
19．（2024高二下·盐田月考）已知双曲线：（，）经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线．
（1）求的标准方程；
（2）设是上任意一点，直线：．证明：与双曲线相切于点；
（3）设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上．
【答案】（1）解：因为双曲线：（，）经过点，
且直线是的一条渐近线，所以，解得，，
所以的标准方程为；
（2）证明：设是上任意一点，则，
这表明了点也在直线上，也可以得到，
联立直线的方程与椭圆的方程有，
化简并整理得，
而，且，
这也就是说与双曲线相切于点；
（3）证明：设，，
由（2）可知过点的直线的方程为，
因为点在直线上，
所以，即有，
又，从而，
所以，，
若，则，
整理得，
因为，所以，也就是说，
从而，所以点在定直线上上．
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列方程组，解出的值即可得双曲线方程；
（2）设是上任意一点，从而得出它也在直线上面，联立直线与椭圆方程，消元后得到一个一元二次方程，证明判别式等于0即可；
（3）设，，由（2）中结论，可得，再由向量数量积公式化简可得，即可证明点在定直线上．
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