2023-2024学年度人教版数学八年级下册16.2 二次根式的乘除导学案（含答案）

2二次根式的乘除（共2课时，附答案）
第1课时 二次根式的乘法
学习目标
1、理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简.
2、通过学习和掌握知识目标的整个过程，培养学生对数学化简题目的敏锐度，同时培养学生的计算能力.
重点：掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质.
难点：会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.
学习过程
1．填空：
（1）×=____，=____； ×__
（2）×=____，=___； ×__
（3）×=___，=___． ×__
2、学生交流活动总结规律．
一般地，对二次根式的乘法规定为：
·＝．（a≥0，b≥0 反过来: =·（a≥0，b≥0）
例1、计算
（1）× （2）× （3）3×2 （4）·
例2、化简
（1） （3） （4） （5）
3、巩固练习
（1）计算：
① × ②5×2 ③·
（2）化简:
; ; ; ;
4、判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×
=4××
=4×
=4
=8
请大家讨论：对于×的运算中不必把它变成后再进行计算，你有什么好办法？
注：
1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数.
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数进行因数或因式分解.
（2）分解后把能开尽方的开出来.
5、小结
（1）通过本节课的学习，你的收获是？
（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？
（3）你还有问题要请教同学或老师吗？
6、达标测试
1.下列计算正确的是（ ）
A.==
B.==(-3)×(-2)=6
C.=
D.==2|a|
2.如果=，则实数a的取值范围是（ ）
A.a≥0 B.0≤a≤2 C.-2≤a≤0 D.a≤-2
3.把a根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A. B. C. D.
4．化简：=__________;
5.﹒=____________.
6.设=a，=b，请用含有a、b的式子表示=_______．
7.若y=-+x2,则的结果是______.
8.定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8=_____．
9.计算：
（1）××； （2）××.
10.某公路规定行驶汽车的速度每小时不得超过70千米，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=16，其中v表示车速（单位：千米/小时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示磨擦因数．经测量，d=20米，f=1.25，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？
11.小明在微机课上设计了一幅矩形图片，矩形的周长是cm，宽是cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助小明求出圆的半径.
参考答案
1.D 解析：===2|a|.
2.C 解析：由题意得：=，则可得出a≤0，而a+2≥0，解得：-2≤a≤0，故选C．
3.B 解析：因为a＜0，所以a=－=.
4.ab 解析：（1）==3ab；
5. 解析：﹒=﹒=.
6.3ab 解析：因为=3××，=a，=b，所以=3ab．
7. 解析：根据题意，得x-3≥0，3-x≥0，则x=3．所以y=9．所以==．
8.6 解析：因为x@y=，所以（2@6）@8=@8=4@8==6．
9.（1）原式=××=；（2）原始==.
10.解：v=16=16×=16×5=80＞70．答：肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
11.解：设圆的半径为rcm，根据题意，得r2=×==
=2×5×7×=70，所以r2=70，因为r＞0，所以r=（cm）.所以要设计的圆的半径是cm.
第2课时 二次根式的除法
学习目标
1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.
2、通过学习和掌握知识目标的整个过程，使学生能熟练进行二次根式的除法运算及化简.
3、培养学生的数学学习兴趣，感受实数的应用价值.
重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.
难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简.
学习过程
1、计算： （1）3×（-4） （2）
2、填空：
（1）=____，=____； 规律： ______；
（2）=____，=____； ______；
（3）=____，=____； _______；
（4）=____，=___． _______．
一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）
3、计算：
（1） （2） （3） （4）
4、化简：
（1） （2） （3） （4）
注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数.
2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式.
5、阅读下列运算过程：
，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”.
利用上述方法化简：
(1) =________（２）=_________(３) =_____ ___ (４) =___ ___
6、小结
（1）通过本节课的学习，你的收获是？
（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？
（3）你还有问题要请教同学或老师吗？
7、达标测试
1.如果=成立，那么（ ）
A.x≥6 B.0≤x≤6 C.x≥0 D.x＞6
2.下列各数中，与的积为有理数的是（ ）
A. B. C. D.
3.化简时，甲的解法是：==.
乙的解法是：==.
以下判断正确的是（　　）
A.甲的解法正确，乙的解法不正确 B.甲的解法不正确，乙的解法正确
C.甲、乙的解法都正确 D.甲、乙的解法都不正确
4．（1）÷=_______；（2）=___________（y＞0）.
5.若x=，y=，则xy的值是_______.
6. 计算：=_________.
7.计算：=______.
8.已知长方体的体积为36，长为，宽为，则高为______．
9.计算：
10.（1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？
A． B． C． D． E．问题的答案是（只需填字母）： ；
（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示.
11.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）
＝ （二）
＝＝ （三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简：====.（四）
请用不同的方法化简.
①参照（三）式得
＝____________；
②参照（四）式得＝__________.
（2）化简：
参考答案
1.D 解析：由题意，得x≥0且x-6＞0，所以x＞6.
2.D 解析：因为×=6，故选D.
3.C 解析：甲的做法是将分母有理化，去分母；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分去分母．均正确．故本题选C．
4.
5.m-n 解析：原式==m-n.
6.2 解析：==2
7.
8. 解析：设高为h，则36= h，所以h= =.
9.
10.（1）A、D、E；
（2）设这个数为x，则（为有理数），所以（为有理数）．
11.（1），
，
（2）原式=
=
=．
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