沪教版八年级数学下册试题 第22章四边形综合复习题（含答案）

第22章《四边形》综合复习题
一．选择题
1．如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（　　）
A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（　　）
A．∠BDC＝∠BCD B．∠ABC＝∠DAB C．∠ADB＝∠DAC D．∠AOB＝∠BOC
3．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
4．在一个凸多边形中，它的内角中最多有n个锐角，则n为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如果平行四边形ABCD对角线AC与BD交于O，，那么下列向量中与向量相等的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，如果，，那么等于（　　）
A． B． C． D．
8．如图在一个3×3方格纸上，若以格点（即小正方形的顶点）为顶点画正方形，在该3×3方格纸上最多可画出的正方形的个数是（　　）
A．13 B．14 C．18 D．20
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．16a B．12a C．8a D．4a
10．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形
11．在矩形ABCD中，|AB|＝，|BC|＝1，则向量（AB+BC+AC）的长度为（　　）
A．4 B． C．或 D．
12．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
13．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蝴蝶由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，飞行2012厘米后停下，则这只蝴蝶停在　 　点．
14．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是　 　．
15．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为　 　．
16．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A向逆时针方向旋转30°（图中∠BAE＝30°），旋转后的正方形AEFG与原正方形ABCD公共部分（即四边形AEHD）的面积为　 　．
17．如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2＝　 　度．
18．如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2＝S3+S4；②S2+S4＝S1+S3；③若S3＝2S1，则S4＝2S2；④若S1＝S2，则P点在矩形的对角线上．
其中正确的结论的序号是　 　（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
19．在四边形ABCD中，如果，那么与相等的向量是　 　．
20．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于 　 　度．
21．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝7cm，BC＝8cm，则AB的长度是　 　cm．
22．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝10，点M在BC上，使得△ADM是正三角形，则△ABM与△DCM的面积和是　 　．
三．解答题
23．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，BC＝CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．
24．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为　 　，数量关系为　 　．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
25．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，且AF⊥AB，连接EF．
（1）若EF⊥AF，AF＝4，AB＝6，求 AE的长．
（2）若点F是CD的中点，求证：CE＝BE﹣AD．
26．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、和DA上，连接EG和FH小明和小亮对这个图形进行探索，发现了很多有趣的东西，同时他俩又进一步猜想
小明说：如果EG和HF互相垂直，那么EG和HF一定相等；
小亮说：如果EG和HF相等，那么EG和HF一定互相垂直；
请你对小明和小亮的猜想进行判断，并说明理由．
27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF＝CE＝AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
28．已知：如图，正方形ABCD的边长为1，动点E、F分别在边AB、对角线BD上（点E与点A、B都不重合）且AE＝DF
（1）设DF＝x，CF2＝y，求：y与x的函数关系式，并写出定义域；
（2）求证：FC＝FE；
（3）是否存在以线段AE、DF、CF的长为边的直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
29．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＞AD，AB＝8cm，BC＝18cm，CD＝10cm，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒．
（1）求四边形ABPQ为矩形时t的值；
（2）若题设中的“BC＝18cm”改变为“BC＝kcm”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ是等腰梯形，求t与k的函数关系式，并写出k的取值范围；
（3）在移动的过程中，是否存在t使P、Q两点的距离为10cm？若存在求t的值，若不存在请说明理由．
30．如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE＝AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．
答案
一．选择题
1．
【分析】分别利用菱形的性质结合各选项进而求出即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD，
∵AC＜BD，
∴△ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；
B、∵S△ABD＝S菱形ABCD，S△ABC＝S菱形ABCD，
∴△ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；
C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；
D、菱形的面积等于两条对角线之积的，故此选项错误；
故选：B．
2．
【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A、∵∠BDC＝∠BCD，
∴BD＝BC，
根据已知AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
B、根据∠ABC＝∠DAB和AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
C、∵∠ADB＝∠DAC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DAC＝∠DBC＝∠ACB，
∴OA＝OD，OB＝OC，
∴AC＝BD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；
D、根据∠AOB＝∠BOC，只能推出AC⊥BD，
再根据AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．
故选：C．
3．
【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形．
【解答】解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC＝AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
4．
【分析】根据任意凸多边形的外角和是360°，可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角．
【解答】解：一个凸多边形的内角中，最多有3个锐角．
故选：B．
5．
【分析】根据平行四边形的性质可知＝，则＝，则＝＝（﹣），依此即可作答．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴＝＝，
∴＝＝﹣+．
∴．
故选：D．
6．
【分析】运用割补法把原四边形转化为正方形，求出BE的长．
【解答】解：过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，
则有△BCF≌△BAE（ASA），
则BE＝BF，S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝8，
∴BE＝＝．
故选：C．
7．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD＝BC，AD∥BC，则可得，然后由三角形法则，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵，
∴，
∵，
∴＝+＝．
故选：B．
8．
【分析】根据题意可从图中画出边长分别为1、、2、3、个小格的正方形，将其个数相加即可得到总的个数．
【解答】解：在该3×3方格纸上最多可画出的正方形是9个小正方形、边长为的正方形有4个、边长为2个小格的正方形4个、边长为3个小格的大正方形1个，边长为的正方形有2个．共9+4+4+1+2＝20个，故选D．
9．
【分析】根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得菱形的边长即AB＝2OE，从而不难求得其周长．
【解答】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB＝2a，则菱形ABCD的周长为8a．故选C．
10．
【分析】根据特殊的平行四边形的判定定理来作答．
【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；
如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．
故选：C．
11．
【分析】首先求得的模，然后由：向量（AB+BC+AC）的长度＝2||，即可求得向量（AB+BC+AC）的长度．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，|AB|＝，|BC|＝1，
∴||＝＝2，
∴向量（AB+BC+AC）的长度＝2||＝4．
故选：A．
12．A．
二．填空题
13．
【分析】根据菱形的四条边都相等可知，蝴蝶飞行一周的路程为8，用2012除以8，再根据余数确定停靠的点即可．
【解答】解：∵两个全等菱形的边长为1厘米，
∴蝴蝶沿沿菱形的边飞行一周走过的路程为8×1＝8cm，
∵2012÷8＝251…4，
∴飞行2012厘米后停下的点与飞行4cm后停下的点相同，
由图可知，飞行4cm后停在点E，
所以，这只蝴蝶停在E点．
故答案为：E．
14．
【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PECF是矩形；连接PC，则PC＝EF，所以要使EF，即PC最短，只需PC⊥AB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PC的值．
【解答】解：连接PC．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∴AC BC＝AB PC，
∴PC＝．
∴线段EF长的最小值为；
故答案是：．
15．
【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，
①如图：
由平行四边形面积公式得：BC×AE＝CD×AF＝15，
求出AE＝，AF＝3，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，
把AB＝5，AE＝代入求出BE＝，
同理DF＝3＞5，即F在DC的延长线上（如上图），
∴CE＝6+，CF＝3+5，
即CE+CF＝11+，
②如图：
∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝，
同理DF＝3，由①知：CE＝6﹣，CF＝3﹣5，
∴CE+CF＝1+，
故答案为：11+或1+．
16．．
17．
【分析】利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．
【解答】解：∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠B+∠C+∠D＝360°﹣60°＝300°，
∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2＝540°﹣300°＝240°，
故答案为：240．
18．
【分析】过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，根据三角形面积求法以及矩形性质得出S1+S3＝矩形ABCD面积，以及＝，＝，即可得出P点一定在AC上．
【解答】解：如右图，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，
∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S1+S3＝矩形ABCD面积；
同理可得出S2+S4＝矩形ABCD面积；
∴S2+S4＝S1+S3（故②正确）；
当点P在矩形的两条对角线的交点时，S1+S2＝S3+S4．但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立．（故①不一定正确）；
③若S3＝2S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；（故③错误）；
④若S1＝S2，×PF×AD＝PE×AB，
∴△APD与△PBA高度之比为：＝，
∵∠DAE＝∠PEA＝∠PFA＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴此时矩形AEPF与矩形ABCD相似，
∴＝，
∴P点在矩形的对角线上．（故④选项正确）
故答案为：②和④．
19．
【分析】由，可以得到AB∥DC，AB＝DC，即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得到＝．
【解答】解：∵，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴＝．
故答案为：．
20．
【分析】本题利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解．
【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
故答案为：270°．
21．
【分析】由角平分线的性质与平行线的性质，易证得△ADE与△BEC是等腰三角形，即AE＝AD，BE＝BC，又由AD＝7cm，BC＝8cm，则可求得AB的长度．
【解答】解：∵∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥DC，
∴∠2＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠5，∠4＝∠6，
∴AE＝AD，BE＝BC，
∵AD＝7cm，BC＝8cm，
∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7+8＝15（cm）．
故答案为：15．
22．
【分析】补成正方形，相当于正方形中的内接正三角形，毫无疑问有：△ABM≌△AED，△CDM为等腰直角三角形，设MB＝x，由勾股定理可得x的值．
【解答】解：过A点作AE⊥CD交CD的延长线于E．
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝10，
∴四边形ABCE是正方形．
∵△ADM是正三角形，
∴Rt△ABM≌Rt△AED，
∴∠ADE＝∠AMB，
∴∠CDM＝∠CMD，
∴CD＝CM，
设MB＝x，则ED＝x，CD＝CM＝10﹣x．
得102+x2＝2（10﹣x）2
解得x＝20﹣10，x＝20+10（不合题意舍去）
∴△ABM与△DCM的面积和＝10×（20﹣10）÷2+（10﹣20+10）2÷2＝300﹣150．
三．解答题
23．证明：∵AC＝AD，AF是CD边上的中线，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF+∠CAF＝90°，
∵∠ACF+∠PCA＝90°，
∴∠PCA＝∠CAF，
∴PC∥AQ，
同理：AP∥QC，
∴四边形APCQ是平行四边形．
∵AF∥CP，AE∥CQ，
∴∠EPC＝∠PAF＝∠FQC，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴CE＝BE＝CB（等腰三角三线合一），
∵AF是CD边上的中线，
∴CF＝CD，
∵CB＝DC，
∴CE＝CF，
∵PC⊥CD，QC⊥BC，
∴∠ECP+∠PCQ＝∠QCF+∠PCQ＝90°，
∴∠PCE＝∠QCF，
∴△PEC≌△QFC（AAS），
∴PC＝QC，
∴四边形APCQ是菱形．
24．解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD
故答案为：垂直、相等．
②成立，理由如下：
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD
（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
则∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS）
∴∠ACF＝∠AGD＝45°
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°
∴CF⊥BC
25．解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE＝BE，EM⊥AB，
∴AM＝BM＝×6＝3；
∵EF⊥AF，
∴∠AME＝∠MAF＝∠AFE＝90°，
∴四边形AMEF是矩形，
∴EF＝AM＝3；
在Rt△AFE中，AE＝＝5；
（2）延长AF、BC交于点N．
∵AD∥EN，
∴∠DAF＝∠N；
∵F是CD的中点，
∴DF＝FC，
∵∠AFD＝∠NFC，∴△ADF≌△NCF（AAS），
∴AD＝CN；
∵∠B+∠N＝90°，∠BAE+∠EAN＝90°，
又AE＝BE，∠B＝∠BAE，
∴∠N＝∠EAN，AE＝EN，
∴BE＝EN＝EC+CN＝EC+AD，
∴CE＝BE﹣AD．
26．证明：如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AB，
∵EM⊥CD
∴四边形BCME是矩形，
∴EM＝BC，
同理HN＝AB，
∴EM＝HN，
由题意可知FH⊥EG，EM⊥HN，
∴∠FHN+∠HOG＝∠MEG+∠EON＝90°，
∵∠EON＝∠HOG，
∴∠FHN＝∠MEG，
∴△HFN≌△EGM，
∴EG＝HF；
小明的说法是正确的；
如图，在BC上找两个点F和F'，使BF'＝CF取AD的中点H，连接FH和F'H，
易证HF＝HF'，
作EG⊥HF'，其中点E在AB上，点G在CD上，
由上题可知EG＝F'H＝FH，
但HF和EG不互相垂直，
小亮的猜想是错误的．
27．（1）证明：由题意知∠FDC＝∠DCA＝90°，
∴EF∥CA，
∴∠FEA＝∠CAE，
∵AF＝CE＝AE，
∴∠F＝∠FEA＝∠CAE＝∠ECA．
在△AEC和△EAF中，
∵
∴△EAF≌△AEC（AAS），
∴EF＝CA，
∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）解：当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．
理由如下：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝AB，
∵DE垂直平分BC，
∴∠BDE＝90°
∴∠BDE＝∠ACB
∴ED∥AC
又∵BD＝DC
∴DE是△ABC的中位线，
∴E是AB的中点，
∴BE＝CE＝AE，
又∵AE＝CE，
∴AE＝CE＝AB，
又∵AC＝AB，
∴AC＝CE，
∴四边形ACEF是菱形．
28．解：（1）过F作FG⊥DC于G，
则∠FGD＝∠FGC＝90°
∵正方形ABCD中，BD是对角线，
∴∠BDG＝45°，
∵∠FGD＝90°，DF＝x，
∴FG＝DG＝x，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴GC＝1﹣x，
在Rt△FCG中，
CF2＝CG2+FG2＝（1﹣x）2+（x）2＝x2﹣x+1，
∴y＝x2﹣x+1（0＜x＜）；
（2）延长GF交AB于H，
∵∠A＝∠ADG＝∠DGH＝90°，
∴矩形AHGD，
∴AH＝DG＝x，
∵AE＝x，
∴HE＝x，
∴GF＝HE，
CG＝FH，
∵∠CGF＝∠FHE＝90°，
∴Rt△FCG≌Rt△EFH（SAS），
∴FC＝FE，
（3）∵AE＝DF，
∴DF＜AE，
∴若存在以AE、DF、CF的长为边的直角三角形，则DF不可能为斜边，
①若CF为斜边，则x2+（x）2＝x2﹣x+12x2+x﹣1＝0，
x＝，x＝（负值舍去），
②若AE为斜边，则x2+x2﹣x+1＝（x）2，解得：x＝，
∵0＜x＜，
∴舍去
综上所述当x＝时，存在以AE、DF、CF的长为边的直角三角形．
29．解：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H，
由题意可知：AB＝DH＝8，AD＝BH，DC＝10，
∴HC＝，
∴AD＝BH＝BC﹣CH，
∵BC＝18，
∴AD＝BH＝12，
若四边形ABPQ是矩形，则AQ＝BP，
∵AQ＝12﹣2t，BP＝3t，
∴12﹣2t＝3t
∴（秒），
答：四边形ABPQ为矩形时t的值是．
（2）由（1）得CH＝6，
如图1，再过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，
同理：PG＝6，
易知：QD＝GH＝2t，
又BP+PG+GH+HC＝BC，
∴3t+6+2t+6＝k，
∴，
∴k的取值范围为：k＞12cm，
答t与k的函数关系式是t＝，k的取值范围是k＞12cm．
（3）假设存在时间t使PQ＝10，有两种情况：
①如图2：由（2）可知：3t+6+2t+6＝18，
∴，
②如图3：四边形PCDQ是平行四边形，
∴QD＝PC＝2t，
又BP＝3t，BP+PC＝BC，
∴3t+2t＝18，
∴（秒），
综上所述，存在时间t且秒或秒时P、Q两点之间的距离为10cm，
答：在移动的过程中，存在t使P、Q两点的距离为10cm，t的值是秒或秒．
30．证明：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴MD∥BC，
∴∠AMF＝∠EBF，∠E＝∠MAF，
∵F是AE的中点，
∴FA＝FE，
在△AFM和△EFB中，
∴△AFM≌△EFB（AAS），
∴AM＝BE，FB＝FM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AD＝BC，
∴BC+BE＝AD+AM，即CE＝MD，
∵CE＝AC，
∴AC＝CE＝DM，
∵FB＝FM，
∴BF⊥DF．