沪教版九年级数学下册试题 期末模拟测试卷（基础过关）（含解析）

期末测试卷（基础过关）
一、选择题（每小题4分，共24分）
1.已知△ABC的外接圆⊙O，那么点O是△ABC的（　　）
A．三条中线交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线交点
2.如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠C＝31°，则∠B的度数是（　　）
A．59° B．60° C．62° D．69°
3.某中学为检查七年级学生的视力情况，对七年级全体300名学生进行了体检，并制作了如图所示的扇形统计图，由该图可以看出七年级学生视力不良的有（　　）
A．45名 B．120名 C．135名 D．165名
4.如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F．下列角中，弧AE所对的圆周角是（　　）
A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC
5.如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心为原点O，顶点A、D在x轴上，则点C坐标为（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣） D．（﹣1，﹣）
6.如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共48分）
7.⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是　　　　．
8.如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是　　　　．
9.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝　　　　　　cm．
10.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝30°，∠APD＝65°，则∠B＝　　　　．
11.如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A＝30°，则∠C的大小是　　　　．
12.如图，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于E，若∠A＝30°，则CD＝　　　　　　．
13.为了了解某区七年级学生的视力情况，随机抽取了该区500名七年级学生进行调查．整理样本数据，得到下表：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 102 98 80 93 127
根据抽样调查结果，估计该区12000名七年级学生视力低于4.8的约有　　　　　．
14.如图，一块含30°的直角三角板ABC（∠BAC＝30°）的斜边AB与角器的直径重合，与点D对应的刻度读数是54°，则∠BCD的度数为　　　度．
15.如图，AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，P为CD延长线上的一点，PE切⊙O于E．BE交CD于F．若AB＝6，DP＝2，则BF＝　　　　　　．
16.如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．C是⊙O上一个动点，且不与A，B重合．若∠PAC＝α，∠ABC＝β，则α与β的关系是　　　　　　　　　　　　．
17.如图是我国年财政收人同比（与上一年比较）增长率的折线统计图，其中2017年我国财政收入约为25000亿元．下列说法：
①2016年我国财政收入约为250000（1﹣195%）亿元；
②这四年中，2018年我国财政收人最少；
③2019年我国财政收入约为250000（1+11.7%）（1+21.3%）亿元．
其中正确的有　　　．（只需填出序号）
18.在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝　　　　　秒时，⊙P与坐标轴相切．
三、解答题（共78分）
19.（8分）如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC．
20.（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．
21.（12分）如图，Rt△ACB中，以BC边上一点O为圆心作圆，⊙O与边AC、AB分别切于点C、D，⊙O与BC另一交点为E．
（1）求证：BD AB＝OB BC；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝，求BD的长．
22.（12分）期末，学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理成如图的统计图．
（1）这次一共调查的学生人数是　　　人；
（2）所调查学生读书本数的众数是　　本，中位数是　　本．
（3）若该校有800名学生，请你估计该校学生这学期读书总数是多少本？
23.（12分）为了解居民对垃圾分类的知晓程度（“A．非常了解”“B．了解”“C．基本了解”“D．不太了解”），佳佳随机调查了若干人．根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）随机调查了　　　人，扇形统计图中表示“A”的扇形圆心角为　　　°
（2）补全条形统计图；
（3）估计在10000名市民中基本了解垃圾分类的人数．
24.（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，连接AD．过点D作DF⊥AC，垂足为点F，
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．
25.（12分）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交DA的延长线于点E，连接BD，且∠E＝∠DBC．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若CD＝9，tan∠ABE＝，求⊙O的半径．
答案
一、选择题
1.解：已知⊙O是△ABC的外接圆，那么点O一定是△ABC的三边的垂直平分线的交点，
故选：C．
2.解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝90°﹣31°＝59°．
故选：A．
3.解：300×（40%+15%）＝165人，
故选：D．
4.解：弧AE所对的圆周角为∠ABE和∠ACE．
故选：C．
5.解：连接OC．
∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝2．
设BC交y轴于G，则∠GOC＝30°．
在Rt△GOC中，∵∠GOC＝30°，OC＝2，
∴GC＝1，OG＝．
∴C（1，﹣）．
故选：C．
6.解：如图，连接OD，OC，
∵AD＝DP，
∴OD⊥PA，
∴∠ADO＝90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，
当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，
∵C为的三等分点，
∴∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴CK⊥OA，
在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，
∴CK＝＝，
∵DK＝OA＝1，
∴CD＝+1，
∴CD的最大值为+1，
故选：D．
二、填空题
7.解：∵圆心O到直线l的距离是2，小于⊙O的半径为4，
∴直线l与⊙O相交．
故答案为：相交．
8.解：∵A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝30°，
∴∠AOB的度数是：2∠ACB＝60°．
故答案为：60°．
9.解：连接OA，如图，
∵CE＝3，DE＝7，
∴CD＝10，
∴OC＝OA＝5，OE＝2，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE，
在Rt△AOE中，AE＝＝，
∴AB＝2AE＝2（cm）．
故答案为2．
10.解：∵∠APD＝∠C+∠A，
∴∠C＝65°﹣30°＝35°，
∴∠B＝∠C＝35°．
故答案为35°．
11.解：连结OB，如图，
∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵∠AOB＝∠C+∠OBC，
而∠C＝∠OBC，
∴∠C＝AOB＝30°．
故答案为：30°．
12.解：由圆周角定理得，∠COB＝2∠A＝60°，
∴CE＝OC sin∠COE＝2×＝，
∵AE⊥CD，
∴CD＝2CE＝2，
故答案为：2，
13.解：估计该区12000名七年级学生视力低于4.8的约有12000×＝4800（名），
故答案为：4800名．
14.解：∵∠C＝90°，
∴点C在量角器所在的圆上
∵点D对应的刻度读数是54°，即∠AOD＝54°，
∴∠ACD＝∠AOD＝27°，
∴∠BCD＝90°﹣27°＝63°．
故答案为63．
15.解：如图，连接OE，
∵∠PEF＝90°﹣∠OEB＝90°﹣∠OBE＝∠OFB＝∠EFP，
∴PF＝PE，
∵AB＝6，AB，CD是⊙O的直径，
∴OE＝OD＝OC＝OB＝OA＝3，
∵PE切⊙O于E，
∴∠PEO＝90°，
在Rt△OPE中，DP＝2，
OP＝3+2＝5，
由勾股定理可得OP2＝PE2+OE2，
∴52＝PE2+32，解得PE＝4，
∴PF＝PE＝4，OF＝OP﹣PF＝5﹣4＝1，
∵AB⊥CD，
∴∠BOF＝90°，
在Rt△OBF中，由勾定理可得BF2＝OB2+OF2，
即BF2＝32+12＝10，
∴FB＝．
故答案为：．
16.解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
分两种情况：
①当C在优弧AB上时，如图1，
∵∠PAC＝α，∠ABC＝β，
∴α+β＝∠PAC+∠ABC，
＝90°+∠OAC+∠ABC，
＝90°+∠OAC+180°﹣∠C﹣∠BAC，
＝270°+∠OAC﹣AOB﹣∠OAB﹣∠OAC，
＝270°﹣﹣∠OAB，
△OAB中，∠AOB+∠OAB+∠OBA＝180°，
∴+∠OAB＝90°，
∴α+β＝270°﹣90°＝180°；
②当C在劣弧AB上时，如图2，
∵∠PAO＝∠PBO＝90°，∠OAB＝∠OBA，∠CBP＝∠CAB，
∴∠PAC＝∠ABC，
即α＝β，
综上，α与β的关系是：α+β＝180°或α＝β；
故答案为：α+β＝180°或α＝β．
17.解：①2016年的财政收入应该是，故本选项错误；
②因为是正增长，所以2018年比2017年和2016年都高，故本选项错误；
③2019年我国财政收入约为25000（1+11.7%）（1+21.3%）亿元，故本选项正确；
其中正确的有③；
故答案为：③．
18.解：设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（4，m），
∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝2，x＝4时，y＝2，
∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），
∴AB＝2，AC＝2，OB＝OC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
①当⊙P与x轴相切时，
∵点D是切点，⊙P的半径是1，
∴PD⊥x轴，PD＝1，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD＝PD＝1，PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝1；
②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，
∵PB＝，
∴AP＝AB+PB＝3，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝3；
③当点P只与y轴相切时，
∵PB＝，
∴AP＝AC+PB＝5，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝5．
综上所述，则当t＝1或3或5秒时，⊙P与坐标轴相切，
故答案为：1或3或5．
三、解答题
19.解：∵BC与⊙A相切于点D，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB＝AC．
20.（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠CDE＝∠ABC，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，又∠ADB＝∠FDE，
∴∠ACB＝∠FDE，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF；
（2）∵∠ACB＝∠ABC，
∴∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，
又∠CAE＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠AEB．
21.（1）证明：连接DO，如图所示．
∵，⊙O与边AC、AB分别切于点C、D，
∴∠ODB＝90°＝∠ACB．
又∵∠B＝∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴＝，
∴BD AB＝OB BC．
（2）解：设BD＝x，则BO＝＝，BC＝BO+OC＝+5．
∵△BDO∽△BCA，
∴＝，即＝，
整理，得：7x2﹣120x＝0，
解得：x1＝，x2＝0（舍去，不合题意），
经检验，x＝是原方程的解，且符合题意，
∴BD的长为．
22.解：（1）1+1+3+4+6+2+2+1＝20，
故答案为：20；
（2）众数是4
中位数是4，；
故答案为：4；4；
（3）每个人读书本数的平均数是：
＝（1+2×1+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8）
＝4.5
∴总数是：800×4.5＝3600
答：估计该校学生这学期读书总数约3600本．
23.解：（1）150÷30%＝500人，360°×30%＝108°，
故答案为：500，108；
（2）500×40%＝200人，补全条形统计图如图所示：
（3）10000×＝2000人，
答：在10000名市民中基本了解垃圾分类的人数为2000人．
24.（1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC．
又AB＝AC＝13，BC＝10，D是BC的中点，
∴BD＝5．
连接OD；
由中位线定理，知DO∥AC，
又DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线；
（2）连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BAC＝45°，
∵OA＝OE，
∴∠AOE＝90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8
∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8．
25.（1）证明：连接OB，
∵BE为⊙O的切线，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE＝90°，
∴∠ABE+∠OBA＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠ABE+∠OAB＝90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠OAB+∠ADB＝90°，
∴∠ABE＝∠ADB，
∵四边形ABCD的外接圆为⊙O，
∴∠EAB＝∠C，
∵∠E＝∠DBC，
∴∠ABE＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠BDC，
即DB平分∠ADC；
（2）解：∵tan∠ABE＝，
∴设AB＝x，则BD＝2x，
AD＝＝x，
∵∠E＝∠E，∠ABE＝∠BDE，
∴△AEB∽△BED，
∴BE2＝AE DE，且＝＝，
设AE＝a，则BE＝2a，
∴4a2＝a（a+x），
∴a＝x，
∵∠BAE＝∠C，∠ABE＝∠BDC，
∴△AEB∽△CBD，
∴，
∴＝，
解得＝3，
∴AD＝x＝15，
∴OA＝．