沪教版七年级数学下册试题 14.2三角形的内角和同步练习（含答案）

14.2三角形的内角和
一、填空题
1．将一副三角板如图表示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中= _________度
2．如图，已知AB∥CD，点E在如图所示的位置，连结BE、DE，若∠B=30°，∠D=55°，则∠E=__________.
3．将一副三角板如图所示放置（其中含角的三角板的一条较短直角边与另一块三角 板的斜边放置在一直线上），那么图中 _____度．
4．如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______
5．如图，已知，，，则________．
6．在△ABC中，如果与∠B相邻的外角等于140°，那么∠A+∠C=_______________．
7．在△ABC中，如果与∠B相邻的外角等于∠A的4倍，那么∠C=______∠A．
8．在△ABC中，∠A、∠B的外角之和等于∠C的3倍，那么∠C=_______________度．
9．∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，,其中锐角至多有_______个.
10．如图：已知AD=DB=BC，∠C=25 ，那么∠ADE=_______度；
11.如图，将沿翻折，点落在处，若，则______（用含的代数式表示）．
12．如图，平面内五点连接成“五角星型”，那么_______.
13．已知△ABC的高BD，CE相交于点F，∠A=50°，则∠BFC=____
14．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点处，已知∠1+∠2=，则∠A=_______.
15．如图,在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A=，则∠BPC=_______.
16．把一副三角板按如图所示放置，已知∠A=，∠E=则两条斜边相交所成的钝角的度数是_______.
17．如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠3＝20°，则∠2＝ ．
18．如图，∠1=120°，∠2=40°，那么∠3=____．
三、解答题
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，已知∠ABC=，求∠AOB的度数。
20．如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE的延长线交CD于点F，∠1+∠2=90°.
(1)求证：AB∥CD；
(2)求证：∠2+∠3=90°．
21．如图，已知AB//CD，分别探究下列三个图形中∠APC和∠PAB，∠PCD的关系．
结论：（1）__________________________
（2）__________________________
（3）__________________________
22．如图所示，已知AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x的大小．
23．课本拓展
旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______．
3拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由）
24．如图，平分，点、、分别是射线、、上的点（点、、不与点重合），联结，交射线与点．
（1）如果，平分，试判断与射线的位置关系，试说明理由；
（2）如果，，垂足为点，中有两个相等的角，请直接写出的大小．
25．已知直线AB∥CD，E、F分别为直线AB、CD上的点，P为平面内任意一点，联结PE和PF.
(1)当点P的位置如图1所示时，说明∠EPF = ∠BEP +∠DFP.
(2) 当点P的位置如图2所示时，过点P作∠EPF的平分线交直线AB、CD分别于M、N, 过点F作FH⊥PN，垂足为H，若∠BEP=20°，求∠CNP-∠PFH的度数．
答案
一、填空题
1．．
【分析】先标注图形顶点，先求解，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，先标注字母，
由题意
故答案为：
2．25°
【分析】由平行线的性质可得出，再利用三角形外角的性质即可求出∠E的度数.
【详解】如图
∵AB∥CD
∴
∵
∴
故答案为25°
3．105
【分析】根据三角形的外角定理，即可得出∠1的度数．
【详解】解：由题意可得，∠2=60°，∠3=45°，
由三角形外角定理，∠1=∠2+∠3=60°+45°=105°．
故答案为105．
4．180°
【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解．
【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示：
，
∠1=∠EFD，
∠2+∠EFC=∠3，
，
，
；
故答案为180°．
5．
【分析】利用两直线平行，同位角相等以及三角形的外角和定理计算即可．
【详解】
∵，,
∴
∴根据三角形外角定理
故答案为：．
6．140°
【分析】根据∠B相邻的外角等于不相邻的两内角∠A、∠C的和解答即可．
【详解】解：∵与∠B相邻的外角等于140°，∴∠A+∠C=140°．
故答案为：140°．
7．3
【分析】由与∠B相邻的外角等于∠A的4倍，可得∠CBD=4∠A，由外角的性质得∠CBD=∠A+∠C，整理可得∠C=3∠A．
【详解】解：如图，
∵与∠B相邻的外角等于∠A的4倍，∴∠CBD=4∠A，
∵∠CBD=∠A+∠C，∴4∠A=∠A+∠C，∴∠C=3∠A，故答案为：3．
8．90
【分析】如图，由题意知∠1+∠2=3∠C①，由外角的性质得∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，代入①整理即可．
【详解】解：如图，
∵∠A、∠B的外角之和等于∠C的3倍，∴∠1+∠2=3∠C，
∵∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
∴∠4+∠C+∠3+∠C=3∠C，∴2∠C=∠4+∠C+∠3=180°，∴∠C=90°．
故答案为：90．
9．1
【分析】利用三角形外角等于与之不相邻两内角的和以及三角形外角和为360°进行解题即可
【详解】由题我们可以得知：α、β、γ分别为的三个外角，所以=360°
因此我们先假设最多有三个锐角，此时＜270°＜360°，所以不符合题意；之后我们再假设最多有两个锐角，此时＜360°，依然不符合题意；最后我们再假设最多有一个锐角，此时相当于有两个钝角，两个钝角加一个锐角完全可以等于360°，符合题意
所以答案为1
10．75
【分析】根据等边对等角的性质求出∠BDC的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠ABD的度数，∠A=∠ABD，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠ADE．
【详解】∵DB=BC，∠C=25°，∴∠BDC=∠C=25°，∴∠ABD=∠BDC+∠C=50°，
∵AD=DB，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠ADE=∠A+∠C=50°+25°=75°．
故答案是：75．
11．
【分析】根据折叠的性质、三角形的外角性质即可得．
【详解】如图，连接，则
由折叠的性质得：
由三角形的外角性质得：
两式相加得：
故答案为：．
12．180
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠D=∠1，∠B+∠E=∠2，再根据三角形的内角和等于180°求解即可．
【详解】解：如图，
∠A+∠D=∠1，∠B+∠E=∠2，
∵∠1+∠2+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案为：180°．
13．130°或50°．
【分析】根据三角形外角的性质及三角形的内角和定理，分F在△ABC内，及F在△ABC外两种情况讨论，即可得出答案．
【详解】若F在△ABC内，如图1，
∵BD、CE是△ABC的高，∠A=50°，
∴∠ABD=40°，∠BEF=90°，
∴∠BFC=∠ABD+∠BEF=90°+40°=130°；
若F在△ABC外，
如图2，∵BD、CE是△ABC的高，∠A=50°，
∴∠ABD=40°，∠BEF=90°，
∴∠BFC=90°-40°=50°；故答案为：130°或50°．
14．40°
【分析】根据折叠的性质即可求解．
【详解】连接AA′，
易得AD=A′D，AE=A′E；
故∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠A=80°，
故∠A=40°，故答案为：40°
15．130°
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和的性质计算．
【详解】∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠BDC=∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-50°=40°，∴∠BPC=∠ABE+∠BDP=40°+90°=130°．
故答案为：130°．
16．165
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，先求出∠EBO的度数，然后再求∠AOE．
【详解】∵∠A=45°，∠E=30°，
∴∠EBO=∠A+∠C=45°+90°=135°，
∠AOE=∠EBO+∠E=135°+30°=165°．
故答案为：165．
17．50°
【详解】先根据三角形的外角性质求得∠4的度数，再根据平行线的性质即可求解．
解：由三角形的外角性质可得∠4=∠1+∠3=50°，
∵∠2和∠4是两平行线间的内错角，∴∠2=∠4=50°．故答案为50°．
18．80°
【分析】根据三角形外角的性质即可解答.
【详解】解：由题可知∠1是△ABD的外角，可得∠1=∠2+∠3，
已知∠1=120°，∠2=40°，即∠3=120°-40°=80°.
三、解答题
19．∵BE是△ABC的角平分线，∴∠OBD=∠ABC=×40°=20°，
∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠AOB=∠OBD+∠ADB=20°+90°=110°．
20．证明：（1）∵DE平分∠BDC，BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2（角的平分线的定义）．
∴∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ 等量代换）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等式的性质）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．
（2）∵∠1+∠2=90°，∴∠BED=180°﹣（∠1+∠2）=90°，∴∠BED=∠EDF+∠3=90°，
∵∠2=∠EDF，∴∠2+∠3=90°．
21．解：（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，∴∠1+∠PAB=180°，∠2+∠PCD=180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．故填：∠A+∠APC+∠C=360°；
（2）过点P作直线PF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PF∥CD，
∴∠PAB=∠1，∠PCD=∠2，∴∠APC=∠PAB+∠PCD．故填：∠APC=∠A+∠C；
（3）∵AB∥CD，∴∠1=∠C，∵∠1=∠A+∠P，∴∠C=∠A+∠P．
故填：∠C=∠A+∠P．
22．延长DC交AO延长线于点E，如图所示，
∵AB∥CD，∠1=110°，∴∠AEC=180°-∠1=70°，
∵∠2=125°=x+∠AEC，∴∠x=∠2-∠AEC=55°．
23．（1）∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB
=360°-（∠ABC+∠ACB）
=360°-（180°-∠A）
=180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C，
∴130°+∠2=180°+∠C，
∴∠2-∠C=50°；
（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A），
在△PBC中，∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A；
即∠P=90°-∠A；
故答案为：50°，∠P=90°-∠A；
（4）延长BA、CD于Q，
则∠P=90°- ∠Q，
∴∠Q=180°-2∠P，
∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，
=180°+180°-2∠P，
=360°-2∠P．
24．（1）与射线垂直，理由如下：
如图1，
平分，平分
，
由三角形的外角性质得：
又
即与射线垂直；
（2）平分，
如图2，由题意，分以下三种情况：
①当时
（三角形的外角性质）
②当时
③当时
则
解得
综上，的大小为或或．
25．（1）过点P作MP//AB,如图所示：
∵AB∥CD，∴AB//MP//CD,∴∠BEP=∠EPM,∠DFP=∠MPF,
∴∠BEP+∠DFP =∠EPM+∠MPF,即∠EPF = ∠BEP +∠DFP；
（2）过点H作HG//AB,
由（1）可得：∠3+∠4＝∠5+∠6，
∵∠5=∠1+∠BEP,∠6=∠NFP-∠PFH, FH⊥PN，
∴∠3+∠4＝90o,即∠1+∠BEP+∠NFP-∠PFH=90o,
又∵∠CNP＝∠NFP+∠2，∠1＝∠2（角平分线的定义）
∴∠2+∠BEP+∠NFP-∠PFH=90o，即∠CNP+∠BEP－∠PFH=90o，
又∵∠BEP=20°，∴∠CNP－∠PFH＝70o.