沪教版七年级数学下册试题 14.5等腰三角形的性质（含答案）

14.5等腰三角形的性质
一、单选题
1．用下列长度的三条线段首尾顺次联结，能构成等腰三角形的是（ ）
A．2、2、1 B．3、3、6 C．4、4、10 D．8、8、18
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．腰对应相等的两个等腰三角形全等；
B．等腰三角形角平分线与中线重合；
C．底边和顶角分别对应相等的两个等腰三角形全等；
D．形状相同的两个三角形全等．
3．如图，≌，点D在BC边上，，，则的度数是　　
A． B． C． D．
4．如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（ ）
A．当∠B为定值时，∠CDE为定值
B．当∠α为定值时，∠CDE为定值
C．当∠β为定值时，∠CDE为定值
D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值
二、填空题
5．等腰三角形的_____、_______、底边上的高互相重合．
6．在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，BC=10cm， 则 BD=__________ cm．
7．等腰三角形的一个底角为 36°，那么顶角为____________
8．若一个等腰三角形的顶角等于，则它底角等于______.
9．等腰三角形的腰长为5，底边长为9，则它的周长为_______________
10．一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是______．
11．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40度，则等腰三角形的底角是__________．
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个三角形的底角为_____．
13．若等腰三角形的周长为20cm，那么底边x的取值范围是______．
14．如图，已知在中，AB=AC，点D在边BC上，要使BD=CD，还需添加一个条件，这个条件是_____________________ ．（只需填上一个正确的条件）
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角等于_____．
16．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长是_____．
17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的底角为__________．
18．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的顶角度数为_________．
19．在中，如果，，将绕点旋转，使点落在直线上点处，点落在点处，那么______.
20．如图，在中，，，，则的度数是__________度．
21．等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数一共最多有__________条（重合的算一条）．
三、解答题
22．已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB，求∠A的度数.
23．（1）已知等腰三角形的两边长分别为9cm和15cm，则周长为多少？
（2）已知等腰三角形的两边长分别为6cm和15cm，则周长为多少？
24．如图，在中，，点在上，且，求的度数.
25．如图，点、在上，已知，，说明的理由．
答案
一、单选题
1．A
【分析】根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义即可对各个选项进行判断．
【详解】解：A、∵，则2、2、1可以构成三角形，又∵2=2，∴2、2、1能构成等腰三角形，故本选项正确；
B、∵，则3、3、6不能构成三角形，∴3、3、6不能构成等腰三角形，故本选项错误；
C、∵，则4、4、10不能构成三角形，∴4、4、10不能构成等腰三角形，故本选项错误；
D、∵，则8、8、18不能构成三角形，∴8、8、18不能构成等腰三角形，故本选项错误；
故选：A．
2．C
【分析】根据全等三角形和等腰三角形的性质对各项进行判断即可．
【详解】A. 腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，错误；
B. 等腰三角形顶角的角平分线与底边中线重合，底角的角平分线与腰上的中线不一定重合，错误；
C. 底边和顶角分别对应相等的两个等腰三角形全等，正确；
D. 形状相同的两个三角形不一定全等，错误；
故答案为：C．
3．D
【分析】根据全等三角形的性质得到∠CAB=∠DAE，由平行可知可得∠CDA=80°，利用等腰三角形性质可知∠C=∠CDA=80°，推出∠CAD=20°即可解决问题．
【详解】∵△ABC≌△AED，∴∠CAB=∠DAE=80°．
∵BC∥AE，∴∠CDA=∠DAE=80°．
∵AC=AD，∴∠C=∠ADC=80°，∴∠CAD=20°．
∵∠CAB=∠DAE，∴∠CAD=∠BAE=20°．
故选D．
4．B
试题分析：本题主要考查等腰三角形的性质和外角的性质，掌握等边对等角和三角形的外角等于不相邻两内角的和是解题的关键．根据等边对等角，可找到角之间的关系，再利用外角的性质可找到∠CDE和∠1之间的关系，从而得到答案．
解：
A∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∠ADC=∠α+∠B，
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠α+∠B-∠CDE，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠γ=∠CDE+∠C=∠CDE+∠B，
∴∠1+∠B-∠CDE=∠CDE+∠B，
∴∠1=2∠CDE，
∴当∠α为定值时，∠CDE为定值，
故选B．
二、填空题
5．底边上的中线 顶角角平分线
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：等腰三角形的底边上的中线、顶角角平分线、底边上的高互相重合．
故答案为：底边上的中线，顶角角平分线．
6．5
【分析】根等腰三角形三线合一的性质可得BD＝BC．
【详解】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝×10＝5cm．
故答案为：5．
7．108°
【分析】等腰三角形的两个底角相等，所以它的另一个底角也是36°，根据三角形的内角和是180°，即可求出这个三角形的顶角的度数．
【详解】解：180°﹣36°﹣36°＝108°，答：它的顶角是108°．
故答案为：108°．
8．70
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可直接求得答案．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角等于40°，等腰三角形的底角相等，
∴底角度数为：（180° 40°）＝70°．故答案为70．
9．19
【分析】根据等腰三角形的定义，即可完成解答.
【详解】解：周长为：9+5×2=19，故答案为19.
10．17
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于3＋3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7＋7＋3＝17．故答案为：17．
11．65°或25°
【分析】分两种情况：是锐角三角形或是钝角三角形，分别利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图，若是锐角三角形，，此时，
，． ，，
．
如图，若是钝角三角形，，此时，
，． ，，
，，
∴等腰三角形的底角为65°或25°．故答案为：65°或25°
12．15°或75°
【分析】分等腰三角形的顶角为钝角和锐角两种情况，分别画出图形，利用三角形内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：当等腰三角形的顶角∠BAC为钝角时，
如图1，BD⊥CA延长线于点D，
由题意知：∠ABD=60°，
∴∠BAD=90°－∠ABD=30°，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD=15°；
当等腰三角形的顶角∠A为锐角时，
如图2，BD⊥CA于点D，
由题意知：∠ABD=60°，∴∠A=90°－∠ABD=30°
∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠A）=75°；
综上：这个等腰三角形的底角度数为15°或75°．
故答案为：15°或75°．
13．
【分析】设等腰三角形的腰长为a，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系进行求解即可．
【详解】解：设等腰三角形的腰长为a，根据题意得：
，
根据三角形的三边关系得：
，解得，
；
故答案为．
14．AD⊥BC
【分析】根据等腰三角形“三线合一”，即可得到答案．
【详解】∵在中，AB=AC，，．
故答案为：．
15．110°或70°
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形内部；三角形的外部；三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．
【详解】当高在三角形内部时（如图1），顶角是70°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是110°．
故答案为：70°或110°．
16．15
【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
【详解】解：当腰为3时，3+3=6，∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6=9＞6，∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为=3+6+6=15．故答案为：15．
17．或
【分析】首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．
【详解】解：根据题意得：AB=AC，BD⊥AC，
如图（1），∠ABD=60°，则∠A=30°，∴∠ABC=∠C=75°；
如图（2），∠ABD=60°，∴∠BAD=30°，∴∠ABC=∠C=∠BAD=15°．
故这个等腰三角形的底角是：75°或15°．故答案为：或.
18．40°或140°
【分析】根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形进行解答．
【详解】解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形，
由题意可知：在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，且∠ABD=50°，
∴∠A=90°-50°=40°，
②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形，
由题意可知：在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，且∠ABD=50°，
∴∠BAD=90°-50°=40°，
∴∠BAC=180°-40°=140°，
综上所述：等腰三角形的顶角度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
19．65或25
【分析】进行分情况讨论：①逆时针旋转，连接，先根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出的度数，再根据旋转性质得出，，最后根据三角形的外角定理即可求解；②顺时针旋转，连接，由①可知的度数，再根据旋转性质得出，，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解.
【详解】①第一种情况逆时针旋转：
连接如图1所示：
∵中，，，
∴，
由旋转性质知：，
∴
∴；
②第二种情况顺时针旋转：
连接如图2所示：
∵中，，，
∴
由旋转性质知：，，
∴；
综上所述：或.
故填：或.
20．15
【分析】可以设∠EDC=x，∠B=∠C=y，根据∠ADE=∠AED=x+y，∠ADC=∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解.
【详解】解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，
所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，
又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15，
所以∠EDC的度数是15°.故答案是：15.
21．7
【分析】根据等腰三角形底边上三线合一的性质进行分析即可.
【详解】解：等腰三角形的角平分线，中线、高彼此重合的只计一条，即底边上的高、中线、角平分线只计一条，因此总条数最多有7条，故答案为7
三、解答题
22．解：设∠EBD＝a，∵AD＝DE＝BE，BD＝BC，AC＝AB，
∴∠A＝∠AED，∠EBD＝∠EDB＝a，∠C＝∠BDC，
∵∠AED＝∠EBD＋∠EDB＝2∠EBD，∴∠A＝2∠EBD＝2a，
∵∠BDC＝∠A＋∠EBD＝3∠EBD＝3a，∴∠C＝3∠EBD＝3a，
∵∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，∴2a＋3a＋3a＝180°，∴a＝22.5°．
∴∠A＝2a＝45°．
23．（1）已知等腰三角形的两边长分别为9cm和15cm，
那么三边的长可能是9cm、9cm、15cm或9cm、15cm、15cm。
故其周长是9+9+15=33cm或9+15+15=39cm；
（2）已知等腰三角形的两边长分别为6cm和15cm，
那么三边的长可能是6cm、6cm、15cm或6cm、15cm、15cm．
其中6cm、6cm、15cm不能组成一个三角形，
故其周长是6+15+15=36cm．
24．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
在△ABD中，∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，∴∠A=36°.
25．解：∵，∴，
∵，，∴，
在和中，，∴（AAS）．∴．