沪教版七年级数学下册试题 14.6等腰三角形的判定（含解析）

14.6等腰三角形的判定
一、单选题
1．下列说法中错误的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形两腰上的中线相等
C．等腰三角形两个底角的角平分线相等 D．等腰三角形的对称轴是底边上的中线
2．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB＝AC；
②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3．如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在三角形ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，若BE+CF=9，则线段EF长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图，已知OC平分∠AOB,CD//OB，若OD=3 cm，则CD等于：（ ）
A．1.5cm B．2cm C．3cm D．4cm
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题
8．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角度数为_____________________________ .
9．如图，中是的平分线，是边上一点，且，若，，那么________.
10．在△DEF中，，EG为DF边上的高，且，则∠EDF=_____．
11．在△ABC中，高AD和BE所在直线交于点H，且BH=AC，则∠ABC=____．
12．如图，在中，高与高相交于点，且，那么=________度
三、解答题
13．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠E的度数．
14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＝2，CN＝3，求线段MN的长．
15．如图，在中，点、分别在边、上，CD与BE交于点O，且满足，．试说明是等腰三角形的理由．
16．如图，在四边形中， ，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且．
（1）求证：≌．
（2）连接，判断与的位置关系并说明理由．
17.书上的一个等腰三角形被墨迹污染了，只有底边和底角可见．
（1）请你画出书上原来的等腰的形状，并写出结论；（可以使用尺规或三角板、量角器等工具，但保留画图痕迹及标志相应符号）；
（2）画出边上的高，点为垂足，并完成下面的填空：
将“等腰三角形底边上的高平分底边和顶角”的性质用符号语言表示：在中，如果，且，那么_______________，且_________________．
18．在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，EF 过点 O 且 EF∥BC，如果 AB=6，AC=5，求△AEF 的周长．
19．已知：如图，在中，AC=BC，点D在AB边上，DE//AC交BC边于点E，，垂足是D，交直线BC于点F，试说明是等腰三角形的理由．
答案
一、单选题
1．D
【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 等腰三角形两腰上的高相等是正确的；
B. 等腰三角形两腰上的中线相等是正确的；
C. 等腰三角形两个底角的角平分线相等是正确的；
D. 等腰三角形的对称轴是底边上的中线是错误的，对称轴是直线而不是线段；
故选：D
2．D
【分析】根据等腰三角形的判定定理即可逐一判断．
【详解】解：①∵△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故①正确；
②∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，
∴∠B＝∠C，则AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，故②正确；
③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠C，则AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，故③正确；
④∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
3．A
【分析】首先根据条件∠ACB=90°，CD是AB边上的高，可证出∠BCD+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，再根据同角的补角相等可得到∠B=∠DCA，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE=∠FEC，最后利用等角对等边可证出结论．
【详解】∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠DCA，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠B=∠CFE，
∠2+∠DCA=∠FEC，
∴∠CFE=∠FEC，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形.
故选A
4．D
【分析】先证明△BDF≌△ADC(AAS)，可得AD=BD，继而根据∠ADB=90°，可得∠ABD=45°，再由∠ABE=∠ABC-∠DBF即可求得答案.
【详解】∵，，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠DBF+∠C=90°，
∴∠DBF=∠DAC=25°，
又∵BF=AC，
∴△BDF≌△ADC(AAS)，
∴AD=BD，
又∵∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠DBF=20°，
故选D.
5．D
【分析】由平行线的性质可得内错角∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，再由角平分线的性质可得∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，即BE=DE，DF=FC，进而可求EF的长．
【详解】∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB，
∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，
∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，
即BE=DE，DF=FC，
EF=DE+DF=BE+FC=9．
故选D．
6．C
试题解析：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
又∵CD∥OB，
∴∠C=BOC，
∴∠C=∠AOC；
故选C.
7．C
【详解】解：如图，作出图形，分三种情况讨论：
若OA=OM，有4点M1，M2，M3，M4；
若OA=AM，有2点M5，M1；
若OM=AM，有1点M6．
∴满足条件的点M的个数为6．
故选C．
二、填空题
8．45°或135°
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而可分两种情况进行讨论．
【详解】解：分两种情况：
①当高在三角形内部时（如图1），
∵∠ABD＝45°，
∴顶角∠A＝90° 45°＝45°；
②当高在三角形外部时（如图2），
∵∠ABD＝45°，
∴顶角∠CAB＝90°＋45°＝135°．
故答案为45°或135°．
9．5；
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，等量代换得到∠EDB=∠EBD，求得DE=BE，于是得到结论．
【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，
∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，
∴AE=AB-BE=AB-DE=5．
故答案为：5．
10．或．
【分析】根据题意分锐角三角形和钝角三角形作图计算即可；
【详解】如图所示，当时，
；
当时，
，
∴．
故答案为：或．
11．45°或135°
【分析】根据题意画出三个图形，证，推出，推出，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，即可求出答案．
【详解】解：分为三种情况：①如图1，
、是的高，
，，
，，
，
在和中
，
，
，
，
，
②如图2，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
③高和所在的直线交于点，
，
，，
，
在和中
，
，
，
，
故答案：45°或135°．
12．．
【分析】先判断出∠CAD=∠DBH，利用题目给的条件可得出△BDH≌△ADC，可确定△ADB为等腰直角三角形，得出答案．
【详解】解：
又∠ADC=90°
∴△ABD为等腰直角三角形
．
故答案为：45．
三、解答题
13．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠E＝∠BDA﹣∠CAD＝70°﹣40°＝30°．
14．解：∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠BCE，
∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，
∴ME＝MB，NE＝NC，
∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝5，
故线段MN的长为5．
15．解：∵，，∠DOB=∠EOC，
∴△DBO≌△ECO，
∴∠DBO=∠ECO，OB=OC，
∴∠CBO=∠BCO，
∴∠DBO+∠CBO=∠ECO+∠BCO
即∠DBC=∠ECB，
∴AB=AC，
即△ABC为等腰三角形．
16．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BFE，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）EG⊥DF，
理由如下：连接EG，
∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
∴DG＝FG，
由（1）得：△ADE≌△BFE
∴DE＝FE，
即GE为DF上的中线，
又∵DG＝FG，
∴EG⊥DF．
17．（1）如图△ABC即为所求；
（2）如图线段CD即为所求．在△ABC中，
∵AC=BC，且CD⊥AB；
∴（或），（或）．
故答案为： （或），（或）．
18．
解：∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∴∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，
∴EO＝EB，FO＝FC，
∵AB＝3，AC＝5，
∴AE＋EF＋AF＝AE＋EO＋FO＋AF＝AE＋EB＋FC＋AF＝AB＋AC＝3＋5＝8．
∴△AEF的周长为8．
19．，
，
，
，
∴∠B＝∠BDE，
，
，
∠BDE+∠EDF=900，
∵∠B+∠F+∠BDF=900，
，
，
，
即是等腰三角形．