沪教版七年级数学下册试题 14.6等腰三角形的判定同步练习（含答案）

14.6 等腰三角形的判定
一、填空题
1．如图，在△ABC中，∠A＝100度，如果过点B画一条直线l能把△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠C=_____度．
2．在中，已知，，是边的中点，那么____度．
3．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交、于点、．若，，那么的周长为_______．
4．已知，等腰的周长为，那么的底边长等于______．
5．在△ABC中，∠B＝30°，点D在BC边上，点E在AC边上，AD＝BD，DE＝CE，若△ADE为等腰三角形，则∠C的度数为_____°．
6．如图，在中，，平分，交于点、过点作，交于点，那么图中等腰三角形有___________个.
7．如图，在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝40°，如果过点A的一条直线l把△ABC分割成两个等腰三角形，直线l与BC交于点D，那么∠ADC的度数是_____．
二、解答题
8．如图，已知，，，点是的中点，说明的理由．
解：∵（已知），∴（垂直的意义）．
又∵（已知），∴（等量代换）．
∵（_____________________________________________）．
即．∴（等式性质）．
在与中，
∴（______________________），
∴（ ）
∵___________________________________（已知），
∴（___________________________________________）．
9．如图，在中，点在边上，，.说明是等腰三角形的理由．
下面七个语句是说明是等腰三角形的表述，但是次序乱了．请将这七个语句重新整理，说明是等腰三角形，并说出依据．
①是等腰三角形；②；③；④；⑤；⑤；⑥；⑦．
整理如下：
10．（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D．请说明△BDC是等腰三角形；
（2）在（1）的条件下请设计四个不同的方案，将△ABC分割成三个等腰三角形，请直接画出示意图并标出每个等腰三角形顶角度数；
（3）若有一个内角为36°的三角形被分割成两个等腰三角形，则原三角形中最大内角的所有可能值为　 　．
11．如图，在等边中，边厘米，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点的运动时间为秒．
（1）当时，判断与的位置关系，并说明理由；
（2）当的面积为面积的一半时，求的值；
（3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为厘米/秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分．
12．如图 ，已知∠B ∠C=90 ，AE⊥ED，AB=CE ，点F是AD的中点．说明EF与AD垂直的理由．
解：因为 AE⊥ED （已知），
所以∠AED=90 （垂直的意义）．
因为∠AEC=∠B+∠BAE （ ），
即∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE ．
又因为∠B=90 （已知），
所以∠BAE=∠CED （等式性质）．
在△ ABE 与△ ECD 中，
∠B=∠C（已知），AB=EC（已知），∠BAE=∠CED，
所以△ ABE≌△ECD （ ），
得 （ 全等三角形的对应边相等），
所以△AED 是等腰三角形．
因为 （已知），
所以 EF⊥AD （ ）．
13．阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B，延长DE与BC的延长线交于点F，∠BAC和∠BFD的角平分线交于点G．那么AG与FG的位置关系如何？为什么？
解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．
因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）
所以∠BAG＝　 　，　 　（角平分线定义）
又因为∠FPQ＝　 　+∠AED，　 　＝　 　+∠B
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠AED＝∠B（已知）
所以∠FPQ＝　 　（等式性质）
（请完成以下说理过程）
14．如图，已知：在中，点，是边上的两点，且.
（1）若，求的度数；
（2）若，直接写出的度数；
（3）设，猜想与的之间数量关系（不需证明）.
答案
一、填空题
1．20
【分析】设过点B的直线与AC交于点D，则△ABD与△BCD都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，得出∠ADB=∠ABD=40°，∠C=∠DBC，根据三角形外角的性质即可求得∠C=20°．
【详解】解：如图，设过点B的直线与AC交于点D，则△ABD与△BCD都是等腰三角形，
∵∠A＝100°，
∴∠ADB＝∠ABD＝40°，
∵CD＝BD，
∴∠C＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠C+∠DBC＝2∠C，
∴2∠C＝40°，
∴∠C＝20°，
故答案为：20．
2．50
【分析】如下图，根据AB=AC可得三角形ABC是等腰三角形，故可得出∠C的大小，AD是△ABC的中线，则也是△ABC的高，进而在△ACD中可求得∠CAD的大小．
【详解】如下图
∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形
∴∠C=∠B=40°
∵点D是BC的中点，∴∠ADC=90°
∴∠CAD=50°
故答案为：50
3．
【分析】根据角平分线的性质，可得∠EBO与∠OBC的关系，∠FCO与∠OCB的关系，根据平行线的性质，可得∠DOB与∠BOC的关系，∠FOC与∠OCB的关系，根据等腰三角形的判定，可得OE与BE的关系，OE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．
【详解】∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB．
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO，
∴EO=BE，OF=FC．
C△AEF=AE+EF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=9．
故答案为：9．
4．或
【分析】根据全等的性质可得等腰的周长为，分情况讨论即可：①当为底边时；②当为腰时．
【详解】∵，等腰的周长为
∴等腰的周长为
①当为底边时
的底边长等于
②当为腰时
的底边长等于
故答案为：或．
5．20或40．
【分析】先根据三角形外角的性质，得出∠ADC＝60°，则设∠C＝∠EDC＝α，进而得到∠ADE＝60° α，∠AED＝2α，∠DAE＝120° α，最后根据△ADE为等腰三角形，进行分类讨论即可．
【详解】解：如图所示，∵AD＝BD，∠B＝30°，∴∠BAD＝30°，∴∠ADC＝60°，
∵DE＝CE，∴可设∠C＝∠EDC＝α，则∠ADE＝60°﹣α，∠AED＝2α，
根据三角形内角和定理可得，∠DAE＝180°－(60°﹣α)－(2α)＝120°﹣α，
分三种情况：
①当AE＝AD时，则∠ADE＝∠AED，即60°﹣α＝2α，
解得α＝20°；
②当DA＝DE时，则∠DAE＝∠AED，即120°﹣α＝2α，
解得α＝40°；
③当EA＝ED时，则∠DAE＝∠ADE，即120°﹣α＝60°﹣α，方程无解，
综上所述，∠C的度数为20°或40°，
故答案为：20或40．
6．3
【分析】根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C, ∴△ABC是等腰三角形；
∵DE∥AB，∴∠ABC=∠DEC, ∠BDE=∠ABD，∴∠C=∠DEC
∴△CED是等腰三角形；
∵BD平分∠ABC，∠BDE=∠ABD，∴∠ABD=∠CBD，
∴∠CBD=∠BDE，∴△EBD是等腰三角形；故答案为：3．
7．140°或80°
【分析】首先需要根据题意画出相应的图形，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数；
根据等腰三角形的性质可得∠DAC=∠C或∠DAC=∠ADC，进而结合三角形的内角和定理求出∠ADC的度数即可.
【详解】解：分两种情况：
①如图1，把120°的角分为100°和20°，
则△ABD与△ACD都是等腰三角形，其顶角的度数分别是100°，140°；∴∠ADC＝140°
②把120°的角分为40°和80°，
则△ABD与△ACD都是等腰三角形，其顶角的度数分别是100°，20°，∴∠ADC＝80°，
故答案为140°或80°．
二、解答题
8．解：∵（已知），∴（垂直的意义）．
又∵（已知），∴（等量代换）．
∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
即．∴（等式性质）．
在与中，
∴，
∴（全等三角形对应边相等）．
∵点是的中点（已知），
∴（等腰三角形三线合一）．
9．∵③∠3=∠C，（已知）②∠2=∠3+∠C，（三角形外角的性质）
∴⑥∠2=2∠3（等量代换），
∵⑤∠1=2∠3（已知），
∴⑦∠1=∠2（等量代换），
∴④AB=BD（等腰三角形的判定），
∴①△ABD是等腰三角形（等腰三角形的定义）．
10．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠C＝∠ABC＝72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°＝∠C，
∴△BDC是等腰三角形；
（2）如图方案1，作∠ABC的角平分线BD交AC于点D，作∠BDC得角平分线DE交BC于点E，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠C＝∠ABC＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∵DE平分∠BDC，
∴∠EDC＝∠BDE＝36°，
∴△ABD，△BDE，△DEC为等腰三角形；
如图方案2，作∠ABC的角平分线BF交AC于点F，作∠ACB的角平分线CM交BF于点M，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∵BF平分∠ABC，CM平分∠ACB，
∴∠FBC＝∠ABF＝36°，∠FCM＝∠MCB＝36°，
∴∠CFM＝∠CMF＝72°，
∴△ABF，△BMC，△CMF为等腰三角形；
如图方案3，作∠ACB的角平分线CN交AB于点N，作∠BNC的角平分线NP交BC于点P，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∵CN平分∠ACB，
∴∠BCN＝∠ACN＝36°，∠BNC＝∠B＝72°，
∵NP平分∠BNC，
∴∠BNP＝∠PNC＝36°，∠NPB＝72°，
∴△ANC，△NPC，△BNP为等腰三角形；
如图方案4，作∠ABC的角平分线BD交AC于点D，作∠BDE＝∠BDC交AB于点E，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠BCD＝∠BDE＝∠BED＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠AED＝108°，
∴∠A＝∠ADE＝36°，
∴△AED，△BDE，△BCD为等腰三角形；
（3）①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况如图所示：
∠ABC＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，AD＝BD＝BC；
②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况如图所示：
∠ABC＝90°，∠A＝36°，AD＝CD＝BD；
③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况如图所示：
∠ACB＝108°，∠B＝36°，BD＝CD，AC＝AD；
④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况如图所示：
∠ABC＝126°，∠C＝36°，AD＝BD＝BC；
⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况如图所示：
∠C＝132°，∠ABC＝36°，AD＝BD，CD＝CB．
综上，原三角形最大内角的所有可能值为72°，90°，108°，132°，126°．
故答案为：72°，90°，108°，132°，126°．
11．解：（1）
判断：，
理由如下：
因为，所以
又因为
所以
（2）
当点为中点时，显然，所以
当点为中点时，显然，所以
所以的值为9或15
（3）
当点在边上，且点在边上时，，
则，所以
当点在边上，且点在边上时，，
则，所以
所以当为或秒时，直线把的周长分成相等的两部分.
12．因为AE ⊥ED（已知），
所以∠AED=90（垂直的意义），
因为∠AEC=∠ B + ∠BAE（ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
即∠AED +∠DEC = ∠B +∠BAE，
又因为∠B=90（已知），
所以∠BAE = ∠CED（等式性质）．
在△ABE与△ECD 中，
∠B =∠C（已知），AB = EC（已知），∠BAE=∠CED，
所以△ABE≌△ECD（ASA）．
得AE = ED（全等三角形对应边相等）．
所以△AED 是等腰三角形．
因为点F是AD的中点（已知），
所以EF⊥ AD（等腰三角形的三线合一）．
13．解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．
因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）
所以∠BAG＝∠CAG，∠PFG＝∠QFG（角平分线定义）
又因为∠FPQ＝∠CAG+∠AED，∠FQG＝∠BAG+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠AED＝∠B（已知）
所以∠FPQ＝∠FQG（等式性质）
所以FP＝FQ（等角对等边）
又因为∠PFG＝∠QFG
所以AG⊥FG（等腰三角形三线合一）．
故答案为：∠CAG；∠PFG＝∠QFG；∠CAG；∠FQG；∠BAG；∠FQG．
14．（1）∵AB=BE ，AC=CD
∴∠BEA= ，∠CDA =
在△ADE中
∠DAE=180° ∠BEA ∠CDA=180°
=(∠B+∠C )=(180° ∠BAC )=×(180° 90°)=45°
（2）∠DAE=30°
理由：∠DAE=180° ∠BEA ∠CDA=180°
=(∠B+∠C )=(180° ∠BAC )= 30°
（3）α+2β=180
理由：∠DAE=180° ∠BEA ∠CDA=180°
=(∠B+∠C )=(180° ∠BAC )
∠DAE=(180° ∠BAC )
α+2β=180.