2023-2024学年河南省豫北名校高二（下）期中数学试卷(含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年河南省豫北名校高二（下）期中数学试卷(含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 64.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-10 12:43:00 | ||
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文档简介
2023-2024学年河南省豫北名校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若抛物线的准线方程为，则其焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中，项的系数是( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.现某酒店要从名男厨师和名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有名女厨师被选中的不同选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.在平面直角坐标系中，，为双曲线：的左、右焦点，，为右支上异于顶点的一点，直线平分，且，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，，若当时，恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知离散型随机变量的分布列如下表：
则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知直线：，圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线过定点 B. 圆与轴相切
C. 若与圆有交点，则的最大值为 D. 若平分圆的周长，则
11.已知首项为的正项数列满足，则下列说法正确的是( )
A. 为递增数列 B.
C. D. 数列为递减数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则 ______．
13.已知等比数列的前项和为，是首项为的等差数列，则数列的公差为______．
14.已知当时，方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，分别为椭圆：的上顶点和右顶点，过点作直线，分别交于另一点，．
求直线，的一般式方程；
求直线的斜率．
16.本小题分
在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为；另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为，．
若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为，，的三个球中至少有两个的概率；
若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为，求的分布列．
17.本小题分
如图为上、下底面半径分别为，的圆台，其中为上底面直径，为母线，在上底面，且，该圆台的体积为，为线段上一点，且平面．
求的长度；
若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
定义表示不超过的最大整数，已知，记数列的前项和为．
求的值；
已知是正整数，求．
参考公式：．
19.本小题分
已知函数．
求的单调区间．
已知直线：与曲线交于，，三点，且．
若，，成等差数列，求的值；
证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由抛物线的准线方程为，
即有，可得，
可得抛物线的方程为，
即有，
则抛物线的焦点坐标为．
故选：．
由准线方程可得抛物线的方程，进而求得焦点坐标．
本题考查抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则或，解得舍去或，
故．
故选：．
先求出，再结合排列数公式，即可求解．
本题主要考查组合数、排列数公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，，
，
则．
故选：．
利用条件概率公式求解．
本题考查条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据的展开式，
当时，项的系数为．
故选：．
直接利用二项式的展开式以及组合数求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
，，
，
，
又，
．
故选：．
根据条件概率公式求出，，进而求出，再结合求解即可．
本题主要考查了条件概率公式，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
名女厨师都被选中，有种不同选法，
只有名女厨师都被选中，有种不同选法，
则有种不同选法．
故选：．
根据题意，分种情况讨论：名女厨师都被选中，只有名女厨师都被选中，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：延长，交于点，
由平分，且，可得为等腰三角形，
，，
根据双曲线的定义得，，
在中，为其中位线，，则，
由，可得，
则双曲线的离心率．
故选：．
延长，交于点，由等腰三角形的性质和三角形的中位线定理，可得，由焦距可得，即可得到所求离心率．
本题考查双曲线的定义和性质，以及等腰三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想、运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意得，在上恒成立，
设函数，，
易知单调递增且，故时，，
令，得，
若恒成立，则，否则，
下面验证时存在，满足题意，
不妨令，，则，
在处，的导数值为，故取，此时，
设函数，要证恒成立，
只需证恒成立即可．
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故F，即得证，
故的最大值为．
故选：．
由题意得，在上恒成立，构造函数，，结合导数与单调性关系及函数性质及零点存在定理即可求解．
本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于难题．
9.【答案】
【解析】解：由分布列的性质可知，，
解得，故A正确，
所以离散型随机变量的分布列如下：
所以，故C正确，
所以，故D错误，
所以，故B错误．
故选：．
由分布列的性质求出的值，再结合期望公式和方差公式求解即可．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对，整理直线的方程，得，令，解得，
当时，直线方程与的取值无关，又，解得，
即必过定点，故A正确；
对，整理圆的方程，得，易知圆心到轴的距离为，
又，故得圆与轴相切，故B正确；
对，若与圆有交点，设圆心到直线的距离为，
可得，解得，故C错误；
对，若平分圆，则必过圆心，易知圆心为，
将代入直线的方程，得，解得，故D错误．
故选：．
利用直线方程与的取值无关，求解定点判，利用直线与圆的位置关系判断，，先发现直线必过圆心，后将圆心代入直线，求解参数，判断即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，，，可得，
即，可得数列为递增数列，故A正确；
由数列为递增数列，可得，即有，故B错误；
由，故C正确；
由，可得，则数列为递减数列，故D正确．
故选：．
由已知递推式可得，可判断；推得，由数列的单调性，可判断；由，可判断．
本题考查数列的递推式和数列的单调性，以及不等式的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知，的所有可能取值为，，
则，，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
由题意可知，的所有可能取值为，，且，，再结合期望和方差的公式求解．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：显然数列的公比为，
否则不可能是等差数列，
故，
所以数列的公差为．
故答案为：．
先推出数列的公比为，再结合首项的值，即可求解．
本题主要考查等比数列的前项和，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为当时，方程有两个不同的实数根，
即在时有两个不同实数根，
令，，
则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因为，，，
故的范围为．
故答案为：
由已知先分离参数，结合等式特点构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系分析函数性质，由方程根的个数转化为函数图象的交点，结合函数图象即可求解．
本题主要考查了由函数零点个数求解参数范围，体现了转化思想及数形集合思想的应用，属于中档题．
15.【答案】解：因为，分别为椭圆的上顶点和右顶点，
所以，，
又，
可得直线的方程为，直线的方程为，
即，；
不妨设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，
所以，
因为点在直线上，
所以，
即，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，
所以，
因为点在直线上，
所以，
即，
则．
【解析】由题意，先得到，两点的坐标，进而可得直线，的一般式方程；
设出，两点的坐标，将直线和的方程分别与椭圆方程联立，结合韦达定理求出，两点的坐标，进而可得直线的斜率．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
16.【答案】解：四个球中标号只有、时，，
四个球中标号只有、时，，
四个球中标号只有、时，，
四个球中标号有、、时，，
所以标号为，，的三个球中至少有两个的概率；
由题意可知，的可能取值为，，，，，
则，，，，，
的分布列为：
【解析】利用古典概型的概率公式求解；
由题意可知，的可能取值为，，，，，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而可得的分布列．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题．
17.【答案】解：取的中点，连接，，则，
因为，，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又平面，，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以，
又是的中点，
所以是的中点，
设圆台的高为，
由，
解得，
故．
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
故，，，
因为平面，又平面，平面平面，
故，
设为平面的法向量，
则，
令，得为平面的一个法向量，
设为与平面所成的角，
则．
【解析】根据已知证出是的中点，再利用勾股定理求出，即可求解；
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解．
本题考查直线与平面平行的判定与性质以及向量法的应用，属于中档题．
18.【答案】解：由题意得，，，，
故；
由题意得，，且，
故当时，
，
当时，，适合上式，
故．
【解析】结合已知定义可求出数列的前项，即可求和；
结合已知定义可寻求项的规律及项数的规律，再由已知公式及等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了数列项及和的应用，考查了逻辑推理与运算的核心素养，属于中档题．
19.【答案】解：易得，
令，得；令，得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
令，即，故一个交点为原点．
设，则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，则，，，
由，，成等差数列得，，则，且，，
故有，即，解得舍去，
则，则；
证明：要证，即证，
又在上单调递减，即证，即证，
令，，则，
故在上单调递增，故，则，故．
【解析】先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；
令，即，故一个交点为原点，令，结合导数分析的单调性，再由，，成等差数，结合等差数列的性质即可求解；
证明：要证，即证，结合的单调性，即证，即证，构造函数，，对其求导，结合导数与单调性关系即可证明．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了导数与函数性质在由零点个数求解参数及不等式证明中的应用，属于中档题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若抛物线的准线方程为，则其焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中，项的系数是( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.现某酒店要从名男厨师和名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有名女厨师被选中的不同选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.在平面直角坐标系中，，为双曲线：的左、右焦点，，为右支上异于顶点的一点，直线平分，且，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，，若当时，恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知离散型随机变量的分布列如下表：
则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知直线：，圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线过定点 B. 圆与轴相切
C. 若与圆有交点，则的最大值为 D. 若平分圆的周长，则
11.已知首项为的正项数列满足，则下列说法正确的是( )
A. 为递增数列 B.
C. D. 数列为递减数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则 ______．
13.已知等比数列的前项和为，是首项为的等差数列，则数列的公差为______．
14.已知当时，方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，分别为椭圆：的上顶点和右顶点，过点作直线，分别交于另一点，．
求直线，的一般式方程；
求直线的斜率．
16.本小题分
在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为；另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为，．
若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为，，的三个球中至少有两个的概率；
若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为，求的分布列．
17.本小题分
如图为上、下底面半径分别为，的圆台，其中为上底面直径，为母线，在上底面，且，该圆台的体积为，为线段上一点，且平面．
求的长度；
若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
定义表示不超过的最大整数，已知，记数列的前项和为．
求的值；
已知是正整数，求．
参考公式：．
19.本小题分
已知函数．
求的单调区间．
已知直线：与曲线交于，，三点，且．
若，，成等差数列，求的值；
证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由抛物线的准线方程为，
即有，可得，
可得抛物线的方程为，
即有，
则抛物线的焦点坐标为．
故选：．
由准线方程可得抛物线的方程，进而求得焦点坐标．
本题考查抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则或，解得舍去或，
故．
故选：．
先求出，再结合排列数公式，即可求解．
本题主要考查组合数、排列数公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，，
，
则．
故选：．
利用条件概率公式求解．
本题考查条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据的展开式，
当时，项的系数为．
故选：．
直接利用二项式的展开式以及组合数求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
，，
，
，
又，
．
故选：．
根据条件概率公式求出，，进而求出，再结合求解即可．
本题主要考查了条件概率公式，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
名女厨师都被选中，有种不同选法，
只有名女厨师都被选中，有种不同选法，
则有种不同选法．
故选：．
根据题意，分种情况讨论：名女厨师都被选中，只有名女厨师都被选中，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：延长，交于点，
由平分，且，可得为等腰三角形，
，，
根据双曲线的定义得，，
在中，为其中位线，，则，
由，可得，
则双曲线的离心率．
故选：．
延长，交于点，由等腰三角形的性质和三角形的中位线定理，可得，由焦距可得，即可得到所求离心率．
本题考查双曲线的定义和性质，以及等腰三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想、运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意得，在上恒成立，
设函数，，
易知单调递增且，故时，，
令，得，
若恒成立，则，否则，
下面验证时存在，满足题意，
不妨令，，则，
在处，的导数值为，故取，此时，
设函数，要证恒成立，
只需证恒成立即可．
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故F，即得证，
故的最大值为．
故选：．
由题意得，在上恒成立，构造函数，，结合导数与单调性关系及函数性质及零点存在定理即可求解．
本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于难题．
9.【答案】
【解析】解：由分布列的性质可知，，
解得，故A正确，
所以离散型随机变量的分布列如下：
所以，故C正确，
所以，故D错误，
所以，故B错误．
故选：．
由分布列的性质求出的值，再结合期望公式和方差公式求解即可．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对，整理直线的方程，得，令，解得，
当时，直线方程与的取值无关，又，解得，
即必过定点，故A正确；
对，整理圆的方程，得，易知圆心到轴的距离为，
又，故得圆与轴相切，故B正确；
对，若与圆有交点，设圆心到直线的距离为，
可得，解得，故C错误；
对，若平分圆，则必过圆心，易知圆心为，
将代入直线的方程，得，解得，故D错误．
故选：．
利用直线方程与的取值无关，求解定点判，利用直线与圆的位置关系判断，，先发现直线必过圆心，后将圆心代入直线，求解参数，判断即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，，，可得，
即，可得数列为递增数列，故A正确；
由数列为递增数列，可得，即有，故B错误；
由，故C正确；
由，可得，则数列为递减数列，故D正确．
故选：．
由已知递推式可得，可判断；推得，由数列的单调性，可判断；由，可判断．
本题考查数列的递推式和数列的单调性，以及不等式的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知，的所有可能取值为，，
则，，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
由题意可知，的所有可能取值为，，且，，再结合期望和方差的公式求解．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：显然数列的公比为，
否则不可能是等差数列，
故，
所以数列的公差为．
故答案为：．
先推出数列的公比为，再结合首项的值，即可求解．
本题主要考查等比数列的前项和，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为当时，方程有两个不同的实数根，
即在时有两个不同实数根，
令，，
则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因为，，，
故的范围为．
故答案为：
由已知先分离参数，结合等式特点构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系分析函数性质，由方程根的个数转化为函数图象的交点，结合函数图象即可求解．
本题主要考查了由函数零点个数求解参数范围，体现了转化思想及数形集合思想的应用，属于中档题．
15.【答案】解：因为，分别为椭圆的上顶点和右顶点，
所以，，
又，
可得直线的方程为，直线的方程为，
即，；
不妨设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，
所以，
因为点在直线上，
所以，
即，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，
所以，
因为点在直线上，
所以，
即，
则．
【解析】由题意，先得到，两点的坐标，进而可得直线，的一般式方程；
设出，两点的坐标，将直线和的方程分别与椭圆方程联立，结合韦达定理求出，两点的坐标，进而可得直线的斜率．
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
16.【答案】解：四个球中标号只有、时，，
四个球中标号只有、时，，
四个球中标号只有、时，，
四个球中标号有、、时，，
所以标号为，，的三个球中至少有两个的概率；
由题意可知，的可能取值为，，，，，
则，，，，，
的分布列为：
【解析】利用古典概型的概率公式求解；
由题意可知，的可能取值为，，，，，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而可得的分布列．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题．
17.【答案】解：取的中点，连接，，则，
因为，，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又平面，，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以，
又是的中点，
所以是的中点，
设圆台的高为，
由，
解得，
故．
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
故，，，
因为平面，又平面，平面平面，
故，
设为平面的法向量，
则，
令，得为平面的一个法向量，
设为与平面所成的角，
则．
【解析】根据已知证出是的中点，再利用勾股定理求出，即可求解；
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解．
本题考查直线与平面平行的判定与性质以及向量法的应用，属于中档题．
18.【答案】解：由题意得，，，，
故；
由题意得，，且，
故当时，
，
当时，，适合上式，
故．
【解析】结合已知定义可求出数列的前项，即可求和；
结合已知定义可寻求项的规律及项数的规律，再由已知公式及等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了数列项及和的应用，考查了逻辑推理与运算的核心素养，属于中档题．
19.【答案】解：易得，
令，得；令，得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
令，即，故一个交点为原点．
设，则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，则，，，
由，，成等差数列得，，则，且，，
故有，即，解得舍去，
则，则；
证明：要证，即证，
又在上单调递减，即证，即证，
令，，则，
故在上单调递增，故，则，故．
【解析】先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；
令，即，故一个交点为原点，令，结合导数分析的单调性，再由，，成等差数，结合等差数列的性质即可求解；
证明：要证，即证，结合的单调性，即证，即证，构造函数，，对其求导，结合导数与单调性关系即可证明．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了导数与函数性质在由零点个数求解参数及不等式证明中的应用，属于中档题．
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