2023-2024学年海南省海口市华侨中学高二（下）期中数学试卷（A卷）(含解析）

2023-2024学年海南省海口市华侨中学高二（下）期中数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
2.在第、、、、路公共汽车都要停靠的一个站假定这个站一次只能停靠一辆汽车，有一位乘客在等候第路或第路公共汽车假定当时各路汽车首先到此站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( )
A. B. C. D.
3.从乒乓球运动员男名、女名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )
A. B. C. D.
4.函数在区间上的最小值为( )
A. B. C. D.
5.某物体的运动路程单位：与时间单位：的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
6.某商场的展示台上有件不同的商品，摆放时要求，两件商品必须在一起，则摆放的种数为( )
A. B. C. D.
7.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则( )
A. B. C. D.
10.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中的第项为( )
A. B. C. D.
11.已知为坐标原点，曲线：在点处的切线交轴于点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
12.如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个剪掉半圆的半径得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
13.在曲线上的切线的倾斜角为点的横坐标可能为( )
A. B. C. D.
14.已知二项式的展开式中各项的系数的和为，则下列结论中正确的有( )
A. 展开式共有项 B. 所有二项式系数的和为
C. 只有第项的二项式系数最大 D. 展开式的常数项为
三、填空题：本题共1小题，每小题8分，共8分。
15.若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？
将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？
将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？
将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？
注：要写出算式，结果用数字表示
17.本小题分
已知数列的前项和，数列满足，且．
求数列和的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知等比数列的前项和．
求实数的值；
若，求．
19.本小题分
已知数列中，，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
20.本小题分
设等差数列的前项和为，，，且有最小值．
求数列的通项公式及前项和；
设数列的前项和为，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，
曲线在点处的切线方程为：
，即，
故选：．
根据导数的几何意义，直线的点斜式方程即可求解．
本题考查导数的几何意义，直线的点斜式方程，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件是五路车都有可能靠站，共有种结果，
满足条件的事件是乘客在等候第路或第路，有种结果，
要求的概率是，
故选：．
由已知中在，，，，五条线路的公交车都停靠的车站上，试验发生所包含的事件是五路车都有可能靠站，共有种结果，满足条件的事件是乘客在等候第路或第路，有种结果．得到概率．
本题考查的知识点是等可能事件的概率，其中根据已知条件计算出基本事件的总数及满足条件的基本事件的个数，是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：分两步进行：第一步，选出两名男选手，有种方法；
第二步，从名女生中选出名且与已选好的男生配对，有种．
故有种．
故选：．
分两步进行：先选出两名男选手，再从名女生中选出名且与已选好的男生配对．
本题考查了排列组合数公式的应用问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由可得，
令，解得，
当，，单调递减；当，，单调递增，
所以的极小值，也为最小值为，
故选：．
根据在上单调性求出最值即可．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：该物体在时间段上的平均速度为，
当无限趋近于时，无限趋近于，即该物体在时的瞬时速度为．
故选：．
利用瞬时速度的定义直接求解．
本题主要考查了瞬时速度的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：首先捆绑，两件商品，共有种情况，视为一个整体与余下的件商品全排列，
共有种情况，综上共有种．
故选：．
利用捆绑法求解即可．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由展开式的通项为，
令，得展开式中的系数为，
的系数为，
所以的展开式中的系数为．
故选：．
利用二项式定理展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：等价于．
令函数，则，故是增函数．
所以等价于，
故，即．
令函数，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
故实数的取值范围为．
故选：．
将式子变形为，构造函数，求导判断单调性，进而将问题转化成，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得：事件基本事件数，；
事件的基本事件数，；
所以．
故选：．
条件概率，先求出事件数，再求出事件数，利用古典概型概率公式求解．
本题考查统计与概率，条件概率的计算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为的展开通项为，
所以的展开式的第项的二项式系数为，
因为的展开式中第项与第项的二项式系数相等，
所以，由性质得，故，
所以展开式中的第项为．
故选：．
利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解之即可求得展开式中的第项．
本题考查二项式定理的运用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，得，则，
曲线：在点处的切线方程为，
取，得．
．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，写出切线方程，求得点坐标，再由三角形面积公式求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，结合图形分析可得：纸板相较于纸板，剪掉了半径为的半圆，
对于数列，则有，则C正确；
由于，则，则A正确；
同时，每次剪掉的半圆形面积构成一个以为首项，以为公比的等比数列，
对于数列，则有，
则有，B错误，
当时，，D错误．
故选：．
根据题意，结合图象分析可得纸板相较于纸板，剪掉了半径为的半圆，由此分析两个数列的递推关系，进而可得两个数列的通项公式，分析选项可得答案．
本题考查数列的应用，关键是归纳分析两个数列的规律，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：切线的斜率，设切点为，则，
又，所以，
所以，，当时，，故AD正确．
故选：．
利用导数的几何意义即可．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：二项式的展开式中各项的系数的和为，
令，则，解得，故展开式共有项，故A错误；
所有二项式系数的和为，故B正确；
第项、第项的二项式系数最大，故C错误；
的展开式通项公式为：，且，
令，解得，
故展开式的常数项为，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合二项式定理，即可依次判断．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：令，可得，
令，可得，
则．
故答案为：．
令，可得的值，令，可得，由此可得解．
本题考查二项式定理以及赋值法的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】解：将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为种；
每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，
将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；
将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种；
将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种．
【解析】先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果；
确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果；
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果；
问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
17.【答案】解：当时，；
当时，，
，；
，
，，
是首项为，公比为的等比数列，
，，
，；
由可得，
，
，
得：，
．
【解析】根据数列的前项和作差，可求出数列的通项公式，再根据数列的递推公式，构造等比数列，可求出数列的通项公式；
根据错位相减法求和，即可求解．
本题考查数列通项公式的求解，等比数列的定义与通项公式的应用，错位相减法求和的应用，属中档题．
18.【答案】解：当时，，
数列是等比数列，
，解得；
，
则，解得．
【解析】根据已知条件，结合，即可求解；
令，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
19.【答案】解：由，得，
所以，
累乘得，又，所以时，，
当时，，符合上式，
所以．
由，得，
所以．
【解析】根据题意可得，然后结合累乘法即可得到数列的通项公式；
由中结论可得，再结合裂项相消法即可得到结果．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：设等差数列的首项为，公差为，
由，，得，
解得或．
有最小值，．
则，；
由，得．
数列的前项小于等于，第项起大于，
则当时，；
当时，
．
．
【解析】由已知列式求数列的首项与公差，即可求得通项公式与前项和；
由，可得，然后分和求数列的前项和为．
本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查运算求解能力，是中档题．
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