2023-2024学年江苏省常州一中高二（下）期中数学试卷(含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年江苏省常州一中高二（下）期中数学试卷(含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 100.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-10 12:53:07 | ||
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文档简介
2023-2024学年江苏省常州一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则下列向量中与成夹角的是( )
A. B. C. D.
3.在函数，，，中，导函数值不可能取到的是( )
A. B. C. D.
4.在空间四边形中，( )
A. B. C. D. 不确定
5.当时，函数取得最大值，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在平行六面体中，，，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知是定义在上的奇函数，的导函数为，若恒成立，则的解集为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，点为线段的中点设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则( )
A. B. C. D.
10.已知，下列说法正确的是( )
A. 在处的切线方程为
B. 单调递减区间为
C. 的极小值为
D. 方程有两个不同的解
11.材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是( )
A. 无极小值 B. 有极小值 C. 无极大值 D. 有极大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则 ______．
13.在中国古代数学著作九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为______．
14.若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，在时取得极小值．
求函数的解析式；
求函数在区间上的最值．
16.本小题分
如图，直三棱柱内接于圆柱，为圆柱底面的直径，，为中点，为中点．
求直线与平面所成角的正弦值；
若求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
若为常数，求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
判断与的大小关系，并说明理由．
18.本小题分
如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．
取线段中点连接，判断直线与平面是否平行并说明理由；
求到平面的距离；
线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，，，均为实数，为的导函数．
当，，时，求函数的单调区间；
当，时，若函数与直线在上有两个不同的交点，求实数的取值范围；
当，时，已知，，若存在，使得成立，求：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：已知，，
所以，
由于，
所以，解得．
故选：．
直接利用向量垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：不妨设向量为，
对于，若，则，不满足条件；
对于，若，则，满足条件；
对于，若，则，不满足条件；
对于，若，则，不满足条件．
故选：．
根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．
本题主要考查了空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，，当时，有；
对于，，，当时，有；
对于，，，存在的值，使得，符合题意；
对于，，，由于，则有，导函数值不可能取到．
故选：．
根据题意，依次求出个函数的导数，分析可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设，，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意，则，
则，
当时函数取得最值，可得也是函数的一个极值点，
，即．
，
易得函数在上单调递增，在上单调递减，
故处，函数取得极大值，也是最大值，
则．
故选：．
由已知求得，再由题意可得求得，得到函数解析式，求其导函数，即可求得．
本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据平行六面体中，，，，，，则，
故，
故．
故选：．
直接利用向量的数量积运算求出结果．
本题考查的知识点：向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：令函数，则，
因为，
所以，则 是增函数，
因为是奇函数，
所以，，
所以的解集为，即的解集为．
故选：．
令函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性求解即可．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设正方体的棱长，，，，，，
则，，
则，，
设平面的法向量，
则，即，令，
可得，
，，，
，，
设直线与平面所成的角为，，
所以，．
所以，
设
，
设，，
当时，即，
则时，函数单调递减，时，函数单调递增，
而时，；当时，；
当时，，
所以时，，所以，
进而可得
所以
故选：．
设正方体的棱长，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出平面的法向量的坐标，求出的坐标，求出向量，的夹角的余弦值，进而求出直线与平面所成的角的正弦值，进而可得它的余弦值，再由函数的单调性，可得余弦值的取值范围．
本题考查用空间向量的方法求线面角的正弦值，进而求出线面角的余弦值，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，
，，
，
又，，
又为单位向量，，
联立，得或，
两个单位向量，，
．
故选：．
由已知得，由为单位向量，得，由此能求出，两个单位向量，，得，由此能求出结果．
本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单位向量、向量夹角余弦值的坐标运算等知识点的合理运用．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
函数在上单调递增，在上单调递减．
函数在时取得极大值，，
，函数与函数有两个不同交点，
方程有两个不同的解．
，，
函数在处的切线方程为，即．
故选：．
利用导数研究函数的单调性与极值及切线方程，即可判断出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复合函数求导法则，考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
对函数求导，进而判断出其极值情况，从而得解．
【解答】
解：根据材料知，，
故，
令，解得，当时，，此时函数是单调递增；当时，，此时函数单调递减．
有极大值且为，无极小值．
故选：．
12.【答案】或
【解析】解：，
所以，解得或者．
故答案为：或．
先求出，再求出，然后求出即可．
本题考查空间向量的运算，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，则，，
所以，
又因为异面直线所成角的范围为
故异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
建立空间直角坐标系，用向量法求解异面直线与所成角的余弦值．
本题主要考查异面直线所成的角，考查向量法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由有意义可知，．
由，得，
令，即有．
因为，所以，令，
问题转化为存在，使得．
因为，令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，，所以当时，．
因为存在，使得成立，所以只需且，解得．
故答案为：．
题设中的不等式等价于，令，结合导数可得该函数的单调性，结合，可得的解，从而可求实数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：，，
由题意得，即，
解得或，
当，时，恒成立，
此时单调递增，无极值，不符合题意，
所以，，
所以．
由得，
令，可得，，
在区间上，，随的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，．
【解析】首先求函数的导数，利用条件列式求得函数的解析式；
利用的解析式，利用导数先求函数的极值点，判断单调性，列表后，比较端点值和极值的大小，从而可得函数的最值．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】解：由已知面，，
以为正交基底建立空间直角坐标系，
易知，，，，，，
，为，中点，
，，
则，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，，
，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
设平面的一个法向量为，
则，取，得，，
，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【解析】空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量以及，利用向量夹角公式即可求解；
空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解．
本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：，所以，，所以切点为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
的定义域为，，
当时，对恒成立，在上为增函数；
当时，令，所以，，
，，函数单调递减，，，函数单调递增，
综上所述：当时，在上为增函数；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
记，则，
当时，，故在上单调递增，
，即，即．
【解析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程；
求出定义域，求导后，分与两种情况进行讨论得到函数单调性情况；
构造函数，利用函数的单调性即可比较与的大小关系．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：平面．
理由如下证明：取中点，连接，
因为为的中点，且，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面．
取的中点，连接，，
因为为等边三角形，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
如图所示，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的法向量为，
所以，
令，则，
，
故B到平面的距离．
设，，
所以，
所以，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
又平面的法向量为，
于是，
化简得，又，
得，
即，
故存在点，此时．
【解析】取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证；
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解；
平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解．
本题考查线面垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题．
19.【答案】解：，，
的单调递增区间，单调递减．
令，
则，
的单调递增区间，单调递减．
又，，
，，
在上有最小值
在上有两个不同的零点的条件是
，
实数的取值范围为．
证明：不妨设，
，
由，
则，
，
令，
构造函数，，
在上为增函数，
，即，
又，
．
【解析】将值代入并对复合函数进行求导，判断其正负所对取值；
令，所以对其进行求导判断单调性，并求其极值点，根据对应函数值，确定在上有两个不同的零点的条件是，得的取值范围为．
不妨设，因为，得，由，得，令，构造函数，对其求导判断单调性，所以，所以．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于难题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则下列向量中与成夹角的是( )
A. B. C. D.
3.在函数，，，中，导函数值不可能取到的是( )
A. B. C. D.
4.在空间四边形中，( )
A. B. C. D. 不确定
5.当时，函数取得最大值，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在平行六面体中，，，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知是定义在上的奇函数，的导函数为，若恒成立，则的解集为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，点为线段的中点设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则( )
A. B. C. D.
10.已知，下列说法正确的是( )
A. 在处的切线方程为
B. 单调递减区间为
C. 的极小值为
D. 方程有两个不同的解
11.材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是( )
A. 无极小值 B. 有极小值 C. 无极大值 D. 有极大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则 ______．
13.在中国古代数学著作九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为______．
14.若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，在时取得极小值．
求函数的解析式；
求函数在区间上的最值．
16.本小题分
如图，直三棱柱内接于圆柱，为圆柱底面的直径，，为中点，为中点．
求直线与平面所成角的正弦值；
若求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
若为常数，求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
判断与的大小关系，并说明理由．
18.本小题分
如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．
取线段中点连接，判断直线与平面是否平行并说明理由；
求到平面的距离；
线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，，，均为实数，为的导函数．
当，，时，求函数的单调区间；
当，时，若函数与直线在上有两个不同的交点，求实数的取值范围；
当，时，已知，，若存在，使得成立，求：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：已知，，
所以，
由于，
所以，解得．
故选：．
直接利用向量垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：不妨设向量为，
对于，若，则，不满足条件；
对于，若，则，满足条件；
对于，若，则，不满足条件；
对于，若，则，不满足条件．
故选：．
根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．
本题主要考查了空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，，当时，有；
对于，，，当时，有；
对于，，，存在的值，使得，符合题意；
对于，，，由于，则有，导函数值不可能取到．
故选：．
根据题意，依次求出个函数的导数，分析可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设，，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意，则，
则，
当时函数取得最值，可得也是函数的一个极值点，
，即．
，
易得函数在上单调递增，在上单调递减，
故处，函数取得极大值，也是最大值，
则．
故选：．
由已知求得，再由题意可得求得，得到函数解析式，求其导函数，即可求得．
本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据平行六面体中，，，，，，则，
故，
故．
故选：．
直接利用向量的数量积运算求出结果．
本题考查的知识点：向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：令函数，则，
因为，
所以，则 是增函数，
因为是奇函数，
所以，，
所以的解集为，即的解集为．
故选：．
令函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性求解即可．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设正方体的棱长，，，，，，
则，，
则，，
设平面的法向量，
则，即，令，
可得，
，，，
，，
设直线与平面所成的角为，，
所以，．
所以，
设
，
设，，
当时，即，
则时，函数单调递减，时，函数单调递增，
而时，；当时，；
当时，，
所以时，，所以，
进而可得
所以
故选：．
设正方体的棱长，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出平面的法向量的坐标，求出的坐标，求出向量，的夹角的余弦值，进而求出直线与平面所成的角的正弦值，进而可得它的余弦值，再由函数的单调性，可得余弦值的取值范围．
本题考查用空间向量的方法求线面角的正弦值，进而求出线面角的余弦值，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，
，，
，
又，，
又为单位向量，，
联立，得或，
两个单位向量，，
．
故选：．
由已知得，由为单位向量，得，由此能求出，两个单位向量，，得，由此能求出结果．
本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单位向量、向量夹角余弦值的坐标运算等知识点的合理运用．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
函数在上单调递增，在上单调递减．
函数在时取得极大值，，
，函数与函数有两个不同交点，
方程有两个不同的解．
，，
函数在处的切线方程为，即．
故选：．
利用导数研究函数的单调性与极值及切线方程，即可判断出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复合函数求导法则，考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
对函数求导，进而判断出其极值情况，从而得解．
【解答】
解：根据材料知，，
故，
令，解得，当时，，此时函数是单调递增；当时，，此时函数单调递减．
有极大值且为，无极小值．
故选：．
12.【答案】或
【解析】解：，
所以，解得或者．
故答案为：或．
先求出，再求出，然后求出即可．
本题考查空间向量的运算，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，则，，
所以，
又因为异面直线所成角的范围为
故异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
建立空间直角坐标系，用向量法求解异面直线与所成角的余弦值．
本题主要考查异面直线所成的角，考查向量法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由有意义可知，．
由，得，
令，即有．
因为，所以，令，
问题转化为存在，使得．
因为，令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，，所以当时，．
因为存在，使得成立，所以只需且，解得．
故答案为：．
题设中的不等式等价于，令，结合导数可得该函数的单调性，结合，可得的解，从而可求实数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：，，
由题意得，即，
解得或，
当，时，恒成立，
此时单调递增，无极值，不符合题意，
所以，，
所以．
由得，
令，可得，，
在区间上，，随的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，．
【解析】首先求函数的导数，利用条件列式求得函数的解析式；
利用的解析式，利用导数先求函数的极值点，判断单调性，列表后，比较端点值和极值的大小，从而可得函数的最值．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】解：由已知面，，
以为正交基底建立空间直角坐标系，
易知，，，，，，
，为，中点，
，，
则，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，，
，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
设平面的一个法向量为，
则，取，得，，
，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【解析】空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量以及，利用向量夹角公式即可求解；
空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解．
本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：，所以，，所以切点为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
的定义域为，，
当时，对恒成立，在上为增函数；
当时，令，所以，，
，，函数单调递减，，，函数单调递增，
综上所述：当时，在上为增函数；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
记，则，
当时，，故在上单调递增，
，即，即．
【解析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程；
求出定义域，求导后，分与两种情况进行讨论得到函数单调性情况；
构造函数，利用函数的单调性即可比较与的大小关系．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：平面．
理由如下证明：取中点，连接，
因为为的中点，且，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面．
取的中点，连接，，
因为为等边三角形，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
如图所示，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的法向量为，
所以，
令，则，
，
故B到平面的距离．
设，，
所以，
所以，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
又平面的法向量为，
于是，
化简得，又，
得，
即，
故存在点，此时．
【解析】取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证；
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解；
平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解．
本题考查线面垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题．
19.【答案】解：，，
的单调递增区间，单调递减．
令，
则，
的单调递增区间，单调递减．
又，，
，，
在上有最小值
在上有两个不同的零点的条件是
，
实数的取值范围为．
证明：不妨设，
，
由，
则，
，
令，
构造函数，，
在上为增函数，
，即，
又，
．
【解析】将值代入并对复合函数进行求导，判断其正负所对取值；
令，所以对其进行求导判断单调性，并求其极值点，根据对应函数值，确定在上有两个不同的零点的条件是，得的取值范围为．
不妨设，因为，得，由，得，令，构造函数，对其求导判断单调性，所以，所以．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于难题．
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