函数单调性
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文档简介
学案精选
函数的单调性（第一课时）
数学教研组 王晓芸
学科：数学
年级：高一
课型：新授
【学习目标】
1、通过已学过的初等代数函数的图像，能了解单调函数的图像特征；并能用根据任意两点的坐标大小关系尝试归纳出单调函数的定义。
2、通过本课时的学习，运用单调函数的定义，逐步掌握判断及证明一些简单函数的单调性的一般方法。
3、通过对函数单调性的证明，能充分体验比较法，从而加深对逻辑推理的数学思想方法的认识。
【学习重点】
通过对单调函数的定义的学习理解，逐步掌握用定义判断单调性的一般方法。
【学习难点】
给定区间上有增有减函数的单调性研究中，对如何划分区间，寻找分界点，从而确定因式的符号，会成为你思维的难点。
【课前预习】
1、作出下列初等代数函数的图像
2、观察右图函数图像中的变化趋势
在上，随着x的增加，
函数值y_________；
在上，随着x的增加，函数值y__________；
在上，随着x的增加，函数值y__________；
在上，随着x的增加，函数值y__________。
【学习过程】
（一）学习函数单调性的概念
1、在图1上取两点，，是否能找到A、B两点坐标之间的数量关系？当A、B（A左B右）两点变化时，上述数量关系是否变化？
2、根据上述研究，给增函数下定义。
阅读课本上有关函数的单调性的定义，你觉得的其中的关键词在哪些？为什么？
3、类比增函数的定义，给减函数下个定义。
4、学习单调函数、单调区间的概念。
函数的增减区间与定义域之间存在什么关系？
（二）单调函数的判断及证明
写出引例中函数的单调区间。
例1：（如图）是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像说出的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。
思考：(1)递减与递减都可以吗？
(2)可否认为递减？为什么？
例2：证明在区间上是增函数。
思考：(1)如何证明该函数不是减函数？
(2)一次函数的单调性由什么量决定？
小结：函数单调性的一般步骤是什么？
练习：证明在区间是增函数。
例3：讨论函数在区间的单调性。
变式：函数在单调性如何？为什么？
小结：函数的单调性与函数的奇偶性有什么样的关系？
例4：判定下列函数在给定区间上的函数单调性，并求出它的单调区间。
（1），
（2），
小结：除了定义，还可以通过怎样的数学思想来寻找单调区间？
小结：用定义法求解单调区间时，如果不能由确定和的大小，说明了什么问题？如何解决？
【课堂小结】
（1）函数单调性的定义如何用数量关系表示？
（2）判断函数单调性的基本的方法是定义法，其一般步骤是怎样的？
（3）通过本课时的学习，你对数学逻辑证明有什么样的感悟？
【课外作业】
1、课本P69 练习3.4（2） 练习部分P33 5~8 一课一练P70 1~5
2、思考一次函数，反比例函数，二次函数的单调性。
【教学设计说明】
根据教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，确立了学生学习的目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识，强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透，突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成。
对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：一是如何用准确的数学符号语言去刻画函数图像的上升与下降，这种由形到数的转换，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；二是单调性的证明是在函数内容中首次接触到代数论证，而学生在逻辑推理方面的能力是比较薄弱的。
本节课是函数单调性的起始课，因此采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法较为合理。概念形成阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使充分理解单调性的概念。在概念应用阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤。其中学生的困难是难以确定分界点的确切位置，这时教师的主导作用要充分发挥。
【教后感】
函数单调性的教学中常有教师把概念交给学生，把重点放在单调性定义的证明上，造成的课堂后期沉闷，无聊，尤其遇到寻找区间分界点时，学生的思维一度停滞。这是由于概念学习过程是机械的，强记的。因此我们不能将学生概念的形成过程抹杀，这堂课力图达到这一点，我的预算是8分钟内学生完成从形到数的概念学习，但是总觉得学生不够积极，所以时间上多花了点。而例1完成后的练习，学生的推理还是没有预想的好。包括区间划分问题，是部分学生理解力达不到。也许学生遇到逻辑推理时，无意识的产生抗拒心理，这与初中重视代数运算，忽视代数证明有关。
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函数的单调性（第一课时）
数学教研组 王晓芸
学科：数学
年级：高一
课型：新授
【学习目标】
1、通过已学过的初等代数函数的图像，能了解单调函数的图像特征；并能用根据任意两点的坐标大小关系尝试归纳出单调函数的定义。
2、通过本课时的学习，运用单调函数的定义，逐步掌握判断及证明一些简单函数的单调性的一般方法。
3、通过对函数单调性的证明，能充分体验比较法，从而加深对逻辑推理的数学思想方法的认识。
【学习重点】
通过对单调函数的定义的学习理解，逐步掌握用定义判断单调性的一般方法。
【学习难点】
给定区间上有增有减函数的单调性研究中，对如何划分区间，寻找分界点，从而确定因式的符号，会成为你思维的难点。
【课前预习】
1、作出下列初等代数函数的图像
2、观察右图函数图像中的变化趋势
在上，随着x的增加，
函数值y_________；
在上，随着x的增加，函数值y__________；
在上，随着x的增加，函数值y__________；
在上，随着x的增加，函数值y__________。
【学习过程】
（一）学习函数单调性的概念
1、在图1上取两点，，是否能找到A、B两点坐标之间的数量关系？当A、B（A左B右）两点变化时，上述数量关系是否变化？
2、根据上述研究，给增函数下定义。
阅读课本上有关函数的单调性的定义，你觉得的其中的关键词在哪些？为什么？
3、类比增函数的定义，给减函数下个定义。
4、学习单调函数、单调区间的概念。
函数的增减区间与定义域之间存在什么关系？
（二）单调函数的判断及证明
写出引例中函数的单调区间。
例1：（如图）是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像说出的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。
思考：(1)递减与递减都可以吗？
(2)可否认为递减？为什么？
例2：证明在区间上是增函数。
思考：(1)如何证明该函数不是减函数？
(2)一次函数的单调性由什么量决定？
小结：函数单调性的一般步骤是什么？
练习：证明在区间是增函数。
例3：讨论函数在区间的单调性。
变式：函数在单调性如何？为什么？
小结：函数的单调性与函数的奇偶性有什么样的关系？
例4：判定下列函数在给定区间上的函数单调性，并求出它的单调区间。
（1），
（2），
小结：除了定义，还可以通过怎样的数学思想来寻找单调区间？
小结：用定义法求解单调区间时，如果不能由确定和的大小，说明了什么问题？如何解决？
【课堂小结】
（1）函数单调性的定义如何用数量关系表示？
（2）判断函数单调性的基本的方法是定义法，其一般步骤是怎样的？
（3）通过本课时的学习，你对数学逻辑证明有什么样的感悟？
【课外作业】
1、课本P69 练习3.4（2） 练习部分P33 5~8 一课一练P70 1~5
2、思考一次函数，反比例函数，二次函数的单调性。
【教学设计说明】
根据教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，确立了学生学习的目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识，强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透，突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成。
对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：一是如何用准确的数学符号语言去刻画函数图像的上升与下降，这种由形到数的转换，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；二是单调性的证明是在函数内容中首次接触到代数论证，而学生在逻辑推理方面的能力是比较薄弱的。
本节课是函数单调性的起始课，因此采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法较为合理。概念形成阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使充分理解单调性的概念。在概念应用阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤。其中学生的困难是难以确定分界点的确切位置，这时教师的主导作用要充分发挥。
【教后感】
函数单调性的教学中常有教师把概念交给学生，把重点放在单调性定义的证明上，造成的课堂后期沉闷，无聊，尤其遇到寻找区间分界点时，学生的思维一度停滞。这是由于概念学习过程是机械的，强记的。因此我们不能将学生概念的形成过程抹杀，这堂课力图达到这一点，我的预算是8分钟内学生完成从形到数的概念学习，但是总觉得学生不够积极，所以时间上多花了点。而例1完成后的练习，学生的推理还是没有预想的好。包括区间划分问题，是部分学生理解力达不到。也许学生遇到逻辑推理时，无意识的产生抗拒心理，这与初中重视代数运算，忽视代数证明有关。
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