数学：2.3.1《抛物线的简单几何性质》课件（新人教版a选修1-1）

(共17张PPT)
y
﹒
x
o
复习
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:
(1)范围
(2)对称性
(3)顶点
类比探索
x≥0,y∈R
关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.
抛物线和它的轴的交点.
X
Y
(4)离心率
(5)焦半径
(6)通径
始终为常数1
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
|PF|=x0+p/2
x
O
y
F
P
通径的长度：2P
思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
（p>0）
x2 = 2py
（p>0）
x2 = -2py
（p>0）
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y ≤ 0
x∈R
(0,0)
x轴
y轴
1
变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点
M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程.
典型例题：
例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2, ),求它的标准方程.
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论
x
y
O
F
A
B
B’
A’
例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
y2 = 4x
解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1
x
y
O
F
A
B
B’
A’
例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
y2 = 4x
解法二:由题意可知,
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，
交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆
和这抛物线的准线相切．
证明：如图．
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜
＝｜AF｜＋｜BF｜
＝｜AD｜＋｜BC｜
=2｜EH｜
练习:
1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是______________.
2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为
的直线,则被抛物线截得的弦长为_________
3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程.
y2 = 8x
X=3
例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
x
O
y
F
A
B
D
例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
x
y
O
F
A
B
D
小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;