课件19张PPT。2019/3/13等比数列的前n项和2019/3/13上节课我们学习了等比数列的有关知识,现在请同学们首先回顾一下等比数列的有关内容:在等比数列中,公比q是不能为0的。那它能为1吗?若能,则是一个什么数列? q (n≥2,q≠0)an= a1qn-1 (a1≠0且q≠0)即: … = q (n≥2,q≠0)2019/3/13 传说古代印度有一国王喜爱国际象棋,中国智者云游到此,国王得知智者棋艺高超,于是派人请来智者与其对弈,并傲慢地说:“如果你赢了我将答应你的任何要求。”智者心想,我应该治一治国王的傲慢,当国王输棋后,智者说:“陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格,第1格1粒,第2格2粒,第3格4粒,……依此下去,以后每格是前一格粒数的2倍。”国王听后:哈哈大笑,这个问题也太简单了罢!于是国王吩咐手下马上去办,可是过了好多天,手下惊慌地报到国王,大事不好了,即使我们印度近几十年来生产的所有麦子加起来也还不够啊!国王呆了! 2019/3/13即求: + + + + + =? 1212223263…2019/3/13 分析:由等比数列的通项公式可知,任一项皆可用首项及公比来表示,因此上式可变为:如果将等式①两边同乘q,则得到一个新的等式
我们注意观察相邻两项的结构,有何特点?提出问题:已知 等比数列{an},公比为q,
求 Sn=a1+a2+…+an Sn =a1+a1q+a1q2 + … +a1qn—1 ①qSn= a1q+a1q2+a1q3 + … +a1qn ②从第二项起,每一项为前一项的q倍2019/3/13Sn=a1+a2+…+ an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 ……①qSn= a1q+a1q2+…+a1qn-1 +a1qn ……②① - ②得Sn-qSn=a1-a1qn (1-q)Sn=a1-a1qn ⑴当q≠1时 ⑵当q=1时Sn=Sn=na1即:2019/3/13当q≠1时 Sn2019/3/13以上推导公式的方法我们称之为“错位相减法” 等比数列的前n项和公式可不只有上面这种方法啊!它的推导方法还有好多种,有兴趣的同学可别忘了下去研究啊!等比数列的前n项和公式为:
以下问题你能回答吗?①公式中的qn的n是项数n吗?是 ②在公式(1)中,当q≠1时,
分母是1-q时,分子是 ,
分母是q-1时,分子是 。当公比q不确定时,应当分q=1和q≠1两种情况讨论。2019/3/13D D练习:
①等比数列1,21,22,23,…,263 的所有项的和是( )
A. 264 B.263-1 C.264+1 D.264-1
②数列a,a2,a3,…,an的前n项和为( )
A. B. 0 C. n D.以上都不对
③等比数列 , , ,… 前8项和为_____________ 264-1,这个数很大,超过了1.84×1019,假定千粒麦子的质量为40g,则填满棋盘所需麦粒的总质量约为7000亿吨。2019/3/13“ , , ”………+ + + + = ?一尺之棰日取其半万世不竭n天之后取得的木棒的总长呢?2019/3/13n天之后,我们总共取的木棒长度为:Sn=2019/3/13例1:远望巍巍塔七层, 分析:这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景,最后一句把它变成了一个数学问题?你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗? 红光点点倍加增,其灯三百八十一,请问尖头几盏灯?这首古诗的答案是什么??解:设尖头有灯a1盏,则由题意得:
S7=
解得 a1 =3, 故尖头有灯3盏 数学建模:已知等比数列 ,公比q=2 n=7,S7=381求a12019/3/13 通过上面例题与习题的求解,可以看出,在公式中涉及到了五个量,我们只要知道其中的三个量,利用等比数列的通项公式,及等比数列的前n项和公式就可以求出另外两个量。即“知三求二”。 2019/3/13例2:求和:
Sn= 分析:上面各括号内的式子均由两项组成,其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列。分别求这两个等比数列的和,就能得到所求式子的和。 2019/3/13引申:(1)当把x≠1这个条件去掉时,上式该如何求和呢?(2)当把x≠1,y≠1这两个条件去掉时,上式又该如何求和呢?Sn=分析:应该分x=1和x≠1两种情况讨论=2019/3/13四、小结:1、两个公式:2、两种方法:3、两种思想:五、 作业:P61 1、4、5、6错位相减法、分组求和法分类讨论的思想(q=1和q≠1)
方程思想(知三求二)2019/3/13等比数列前n项和公式的其他推导方法(一) 用等比定理推导当 q = 1 时 Sn = n a1因为所以或2019/3/13Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )2019/3/13祝同学们学习进步
谢谢大家