2.2 命题与证明 第3课时 命题的证明与反证法 课件 (共17张PPT)初中数学湘教版八年级上册

(共17张PPT)
2.2 　命题与证明
第3课时　命题的证明与反证法
学习目标
1. 了解证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式；
2. 掌握综合法证明的格式；
3. 通过实例体会反证法的含义.
※ 新课导入
观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论.
采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.
剪拼法：
猜测：三角形的三个外角之和等于 360°.
度量法：
3
1
2
∠3 ≈ 138.2°
∠1 ≈ 105.6°
∠2 ≈ 118.5°
猜测：三角形的三个外角之和等于 360°.
※ 新知探究
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°，但是由于存在误差，剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地都得到360°.
猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题.要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.
数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.证明的每一步都必须要有根据.
证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.
已知：如图，∠BAF，∠CBD 和∠ACE 分别是△ABC 的三个外角.
求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°.
证明：如图，
∵∠BAF =∠2 +∠3，
∴∠BAF +∠CBD +∠ACE = 2(∠1 +∠2 +∠3).
∠CBD =∠1 +∠3，
∠ACE =∠1 +∠2，
∵∠1 +∠2 +∠3 = 180°(三角形内角和定理)，
∴∠BAF +∠CBD +∠ACE= 2×180° = 360°.
符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”.
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步
画出图形
根据题意
第二步
写出已知、求证
根据命题的条件和结论，结合图形
第三步
写出证明的过程
通过分析，找出证明的途径
例1
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE∥BC.
证明：∵∠DAC =∠B +∠C (三角形外角性质)，
∠B =∠C (已知)，
∴ ∠DAC = 2∠B (等式的性质).
又∵AE 平分∠DAC (已知)，
∴∠DAC = 2∠DAE (角平分线的定义)
∴∠DAE =∠B (等量代换).
∴ AE∥BC (同位角相等，两直线平行).
例2
已知：∠A，∠B，∠C 是△ABC 的内角.
求证：∠A，∠B，∠C 中至少有一个角大于或等于 60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于 60°，
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A +∠B +∠C＜180°.
这与“三角形的内角和等于 180°”矛盾，
所以假设不正确.
因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于 60°.
分析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”“有两个”“有三个”这三种情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.
像这样，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.
反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.
应用反证法的情形：
(1) 直接证明困难；
(2) 需分成很多类进行讨论；
(3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”的一类命题；
(4) 结论为“唯一”类命题.
原词语 否定词 原词语 否定词
等于 任意的
是 至少有一个
都是 至多有一个
大于 至少有n个
小于 至多有n个
对所有x成立 对任何x不成立
不是
不都是
不大于
不小于
一个也没有
至少有两个
至多有(n-1)个
至少有(n+1)个
存在某个x不成立
存在某个x成立
不等于
某个
※ 针对训练
1.用反证法证明：“在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°.”第一步应假设（ ）
A. ∠A＝60° B. ∠A＜60°
C. ∠A ≠ 60° D. ∠A ≤ 60°
D
2.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 (　　)
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
C
3. 求证：△ABC 中不能有两个钝角．
证明：假设△ABC 中有两个钝角，
不妨设∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
则∠A＋∠B＋∠C＞180°.
这与三角形的内角和定理相矛盾，
所以假设不成立，因此原命题正确，
即△ABC 中不能有两个钝角．
※ 课堂小结
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步
画出图形
根据题意
第二步
写出已知、求证
根据命题的条件和结论，结合图形
第三步
写出证明的过程
通过分析，找出证明的途径
直接证明一个命题为真有困难时
假设命题不成立
利用命题的条件或有关的结论
推理
导出矛盾
假设不成立
即所证明的命题正确
反证法
（间接证明）
否定结论，导出矛盾，肯定结论.
※ 课后练习
课本第58页练习第1-3题，
习题2.2第4,6题