2.2 命题与证明 课件 (共29张PPT)初中数学湘教版八年级上册

(共29张PPT)
2.2 　命题与证明
第1课时　定义与命题
学习目标
1. 理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式；
2. 了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例.
※ 新课导入
列举有关三角形的概念
三角形、等腰三角形、等边三角形以及三角形的高线、中线、角平分线等.
不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形；
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角.
※ 新知探究
对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.
“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义.
“同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“平行线”的定义.
说出下列概念的定义：
(1)方程； (2)三角形的角平分线.
注意：
定义必须能清楚地规定出概念最本质的特征.
我们把含有未知数的等式叫做方程.
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
方程
三角形的角平分线
在现实生活中，我们经常要对一件事情作出判断.数学中同样有许多问题需要我们作出判断.
下列叙述事情的语句中，哪些是对事情作出了判断？
（1）三角形的内角和等于180°；
（2）如果|a|=3，那么a=3；
（3）1月份有31天；
（4）作一条线段等于已知线段；
（5）一个锐角与一个钝角互补吗？
√
√
√
×
×
一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么
它就不是命题.
如：画线段AB=CD.
1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.
如：相等的角是对顶角.
注意：
命题的概念
例如，下列句子都不是命题：
(1)你喜欢数学吗 (2)作线段AB=CD.
(3)清新的空气. (4)不许讲话！
下列命题的表述形式有什么共同点？
（1）如果a=b且b=c，那么a=c ;
（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.
它们的表述形式都是“如果……，那么……”.
命题通常可写成“如果……，那么……”的形式， 其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.
有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词“如果”、“那么”.
“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”
简写
对顶角相等
“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”
简写
同角的余角相等
下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果 a = b，b = c，那么 a = c；
（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
练一练
解：(1)条件：两个角相等.
结论：它们是对顶角.
(2)条件：a = b，b = c.
结论：a = c.
(3)条件：已知三角形的一外角及与外角不相邻的两个内角的和.
结论：这一外角等于这两个内角的和.
（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：
命题 条件 结论 改写
①能被2整除的数是偶数.
②有公共顶点的两个角是对顶角.
③两直线平行，同位角相等.
④同位角相等，两直线平行.
能被2整除的数
两个角有公共顶点
两直线平行
两直线平行
同位角相等
同位角相等
这两个角是对顶角
这个数是偶数
如果一个能被2整除，那么这个数是偶数.
如果两个角有公共顶点，那么两个角是对顶角.
两条直线别第三条直线所截，如果两直线平行，那么同位角相等.
两条直线别第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.
(2)上述命题③和④的条件和结论之间有什么联系？
条件和结论互换位置.
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.
只要将一个命题的条件和结论互换，就可以得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.
例如，上述命题③与④就是互逆命题.
你还能举出其它的例子吗？
※ 针对训练
1.下列语句中，属于定义的是（ ）
A.直角都相等
B.作已知角的平分线
C.连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离
D.两点之间线段最短
C
2.指出下列语句中， 是命题， 不是命题.
①直线a⊥b.
②同位角都相等吗？
③如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互余.
④“0”不能做分母.
⑤如果邻补角相等，那么它们的公共边与另一边垂直.
①②
③④⑤
3.命题“三角形的中线分三角形为面积相等的两部分”的条件是
，
结论是 .将它改写成“如果……，
那么……”的形式是
.
三角形的中线把该三角形分成两个小三角形
这两小三角形的面积相等
如果三角形的一条中线把该三角形分成两个
三角形，那么这两个三角形的面积相等
4.写出下列命题的逆命题：
（1）若两数互为相反数，则它们的和是0；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）三边相等的三角形是等边三角形.
两个数相加等于0，则这两个数互为相反数.
同旁内角互补，两直线平行.
等边三角形的三条边都相等.
※ 课堂小结
定义
对一个概念的含义加以描述或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.
命题
一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.
表现形式：“如果……，那么……”.
互逆命题
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.
2.2 　命题与证明
第2课时　真假命题、基本事实与定理
学习目标
1. 了解真命题和假命题、公理、基本事实、定理、推论与证明、互逆命题的概念；
2. 能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例．
※ 新课导入
下列命题中，哪些正确，哪些错误？并说一说你的理由.
（1）每一个月都有31天；
（2）如果a是有理数，那么a是整数；
（3）同位角相等；
（4）同角的补角相等.
错误
错误
错误
正确
我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.
※ 新知探究
真、假命题的判断方法：
（1）要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题.
（2）要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.
这个过程叫证明
称为“举反例”
判断下列命题为真命题的依据是什么
（1）如果a是整数，那么a是有理数;
（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形.
有理数的定义
等腰（等边）三角形的定义
上面题目在判断一个命题是否为真命题时，利用了一些概念的定义，用定义只能判断一些很简单的命题的真假.
事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，光靠定义是远远不够的.
古希腊数学家欧几里得对他所在时代的数学知识作了系统的总结，挑选了一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.
我们把少数真命题作为基本事实.
例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等.
人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.
基本事实
同位角相等，
两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
我们把经过证明为真的命题叫作定理.
定理：我们把经过证明为真的命题叫作定理.
“三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”.
不是所有的真命题都是定理.
推论：由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
判断其他命题真假的依据
三角形内角和定理
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
推 理
注意：当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
判一判：命题“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假.
解：原命题是真命题.
逆命题:如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角.
逆命题是假命题.
命题“内错角相等，两直线平行”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假.
练一练
原命题是真命题. 逆命题:两直线平行，内错角相等.
逆命题是真命题.
互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.
任何定理都有逆命题，但不一定有逆定理.
“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”是互逆的定理.
判断一个定理是否有逆定理的方法：
先写出这个定理的逆命题，如果逆命题是真命题，那么它就有逆定理，否则就没有逆定理.
命题“等角的补角相等”有没有逆定理？
逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等.
这个逆命题正确，原定理有逆定理．
练一练
※ 针对训练
（1）同旁内角互补（ ）
（4）两点可以确定一条直线（ ）
（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（ ）
（2）一个角的补角大于这个角（ ）
1.判断下列命题的真假.真的画“√”，假的画“× ”.
（5）两点之间线段最短（ ）
（3）相等的两个角是对顶角（ ）
×
√
（6）同角的余角相等（ ）
×
√
√
√
×
2.举反例说明下列命题是假命题.
（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
（2）若 ab = 0，则 a + b = 0.
解：（1）如：两条平行线被第三条直线所截得的一组内错角，它们不是对顶角，但这两个角相等.
（2）如：当 a = 5，b = 0 时，ab = 0，但 a +b ≠ 0.
3.试着判断下列定理没有逆定理：
（1）对顶角相等；
（2）两直线平行，同旁内角互补.
解：（1）逆命题：相等的角是对顶角.
这个逆命题不正确，原定理没有逆定理．
（2）逆命题：同旁内角互补，两直线平行.
这个逆命题正确，原定理有逆定理．
※ 课堂小结
定理
逆定理
举反例
基本事实
少数
假命题
真命题
推论
证明
真命题
命题