2.4 线段的垂直平分线 课件 (共26张PPT)初中数学湘教版八年级上册

(共26张PPT)
2.4 　线段的垂直平分线
第1课时　线段垂直平分线的判定与性质
学习目标
1. 理解线段垂直平分线的概念；
2. 探索并证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理；
3. 通过对线段垂直平分线性质定理的探索，进一步了解原命题与逆命题之间的关系.
※ 新课导入
如图，人字形屋顶的框架中,点A与点A'关于线段CD所在的直线l对称,问线段CD所在的直线l与线段AA'有什么关系？
发现：AD=A'D，l⊥AA'.
※ 新知探究
我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到右图.
点A与点A'关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直AA′.
A
A′
D
l
1
2
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB之间有什么关系
作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合.
从而线段PA与线段PB重合，
于是PA=PB.
由此得出线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，若AC=2.3 cm，BD=1.6 cm，则四边形ACBD的周长是（ ）.
A. 3.9 cm
B. 7.8 cm
C. 3.2 cm
D. 4.6 cm
练一练
B
我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？
分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论.
(1) 当点P在线段AB上时，如右图.
因为PA=PB，
所以点P为线段 AB 的中点.
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.
A
B
P
(2) 当点P在线段AB外时，如右图.
因为PA =PB，
所以△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，
从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即PC⊥AB，且AC=BC.
因此直线PC是线段AB的垂直平分线，
此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
由此得出线段垂直平分线的性质的逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
例
已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OA=OB.
同理OB=OC.
∴OA=OC.
∴点O在AC的垂直平分线上.
结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
练一练
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
将该购物中心应建于AB，BC，AC三条线段的垂直平分线的交点处，才能使得它到三个小区的距离相等.
※ 针对训练
1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是（　　）
A. AB 垂直平分 CD
B. CD 垂直平分 AB
C. AB 与 CD 互相垂直平分
D. CD 平分∠ACB
A
2.如图，在△ABC中，AB=5 cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD 的周长为8 cm，则线段AC 的长为 .
3 cm
3.已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC.
证明：∵∠1=∠2，∴ EB=EC.
∴ 点E在线段BC的垂直平分线上.
又∵∠3=∠4，所以∠ABC=∠ACB，
∴ 点A也在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD垂直平分BC.
4.已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.求证：AO = BO.
证明：∵AC=BC，AD=BD，
∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上.
∴CD垂直平分线段AB.
又∵AB与CD相交于点O，
∴AO=BO.
※ 课堂小结
线段的轴对称性 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴
线段的垂直平分线 定义 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线
性质定理 文字语言：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
数学语言：若点P在线段AB的垂直平分线上（AC=BC，PC⊥AB），则PA=PB
性质定理的逆定理 文字语言：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
数学语言：如图，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
2.4 　线段的垂直平分线
第2课时　线段垂直平分线的尺规作图
学习目标
1. 学会用尺规作线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线；
2. 通过作线段的垂直平分线去解决实际问题.
※ 新课导入
如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线.
A
B
根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB两端距离相等的两点.
※ 新知探究
作法：
①分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C 和点D；
②过点 C，D 作直线CD，则直线CD为所求.
A
B
C
D
为什么？
如果画的弧小于 AB的长，那么两弧没有交点；
如果画的弧等于 AB的长，那么两弧只有一个交点.
D
因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点.
A
B
C
D
如何过一点P作已知直线l的垂线呢？
由于两点确定一条直线，因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.
点P与已知直线l的位置关系有两种:
P
l
P
l
点P在直线l上
点P在直线l外
(1)当点P在直线l上.
①在直线l上点P的两旁分别截取线段PA，PB，使PA=PB；
②分别以A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧交于点C；
③过点C，P作直线CP,则直线CP为所求作的直线.
l
P
A
B
C
(2)当点P在直线l外.
①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的线段长为半径画弧，交直线l于点A，B；
②分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
③过点C，P作直线CP.则直线CP为所求作的直线.
A
B
C
1.在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　　）
A.∠A的平分线
B. AC边的中线
C. AB边上的高线
D. AB边的垂直平分线
※ 针对训练
D
2.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以AB的垂直平分线与公路的交点便是.
A
B
公共汽车站
解：如图，点P即为公共汽车站应建的位置.
P
3.如图，作出△ABC的BC边上的高.
A
B
C
※ 课堂小结
过一点P作已知直线l的垂线
作已知线段的垂直平分线