3.1 平方根 课件 (共26张PPT)初中数学湘教版八年级上册

(共26张PPT)
3.1 　平方根
第1课时　平方根及算术平方根
学习目标
1.了解算术平方根、平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根和平方根.
2.了解平方和开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根.
※ 新课导入
某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8 m2，刚好用去正方形的地垫30块. 你能算出每块地垫的边长是多少吗？
每块正方形地垫的面积是
10.8÷30 = 0.36 (m2).
即边长×边长 = 0.36.
由于0.62 = 0.36，
因此面积为0.36 m2的正方形地垫的边长是0.6 m.
※ 新知探究
在实际问题中，有时要找一个数，使它的平方等于给定数.由此我们抽象出下述概念：
如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.这就是说，
若r2=a，则r是a的一个平方根.
例如，由于22=4，则2是4的一个平方根.
4的平方根除了2以外，还有其他的数吗？
-2
为什么-2也是4的平方根？
因为（-2）2=4，因此-2也是4的一个平方根.
除了2和-2以外，4的平方根还有其他的数吗？
因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以，比2大的数都不是4的平方根.
类似地，边长小于2的正方形，它的面积一定小于4，因此，比2小的正数都不是4的平方根.
由于（-b）2=b2，因此，-2以外的负数都不是4的平方根.
显然，0不是4的平方根.
4的平方根有且只有两个：2与-2.
一般地，如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.
4的平方根是2与-2，即 .
我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作 ，读作“根号a”；把a的负平方根记作 ，读作“负根号a”.
正数a的平方根可以用“ ”来表示，读作“正、负根号a”.
由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零的平方根就是0本身.我们把0的平方根也叫作0的算术平方根，记作 ，即 =0.
由于同号两数相乘得正数，且02=0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根.
零的平方根是多少？负数有平方根吗？
正数平方根有两个，它们互为相反数；
零的平方根是0；
负数没有平方根.
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
开平方与平方互为逆运算.
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
开平方
平方
例1
分别求下列各数的平方根：36， ，1.21.
解：由于62=36，
因此36的平方根是6与-6.
即
由于1.12=1.21，
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即
由于 ，
因此 的平方根是 与 .
即
练习：求 的平方根.
例2
分别求下列各数的算术平方根：
100， ， 0.49.
解：由于102=100，因此 .
由于0.72=0.49，因此 .
由于 = ，因此 .
正数的算术平方根只有一个.
※ 针对训练
1.下列说法正确的是(　　)
A.因为62＝36，所以6是36的算术平方根
B.因为(-6)2＝36，所以-6是36的算术平方根
C.因为(±6)2＝36，所以6和-6都是36的算术平方根
D.以上说法都不对
A
3.若 ，则x的值是(　　)
A.-1 B.0 C. 1 D.2
C
2.数4的算术平方根是(　　)
A.2 B.-2 C. ±2 D.
A
4.已知一个正数的两个平方根分别是2a-2和 a-4，则a的值是________．
2
※ 课堂小结
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
平方根与算术平方根的联系与区别：
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
联系：
区别：
1.个数不同：一个正数有两个平方根，
但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为± ，
而算术平方根表示为 .
3.1 　平方根
第2课时　无理数
学习目标
1. 通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；
2. 会用计算器求无理数的近似值；
3. 会判断一个数是有理数还是无理数.
※ 新课导入
如图，将一个长为4 cm，宽为2 cm的长方形纸片剪
拼成一个正方形.最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？
2
2
2
2
4
沿虚线对折
再沿虚线对折
展开铺平
剪开拼图
※ 新知探究
正方形的面积为8 cm2，由于22=4，32=9，又4＜8＜9，且面积较大的正方形的边长也较大，因此面积为8 cm2 的正方形的边长不是整数.
观察下列结果：
2.82 = 7.84， 2.92 = 8.41；
2.822 = 7.9524 2.832 = 8.0089
2.8282 = 7.997584 2.8292 = 8.003241
… …
从上述数据，你能猜出面积为8的正方形的边长是多少吗？
面积为8的正方形，它的边长应该比2.828大，比2.829小，……
由此猜想，面积为8cm2的正方形，它的边长是一个小数点后面的位数可以不断增加的小数.
我们可以说明这个边长不是分数，从而它既不是有限小数，也不是无限循环小数. 这种小数叫作无限不循环小数.
我们把无限不循环小数叫作无理数.
面积为8 cm2 的正方形的边长可记作 cm， 是一个无限不循环小数，即无理数.圆周率π=3.14159265…，也是无理数. ， 也是无理数.
无理数与有理数一样，也有正负之分.例如： , ,π是正无理数，- ,- ,
-π是负无理数.
根据实际需要，我们往往用一个有限小数来近似地表示一个无理数.
例如：π=3.1415926…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…得到π≈3.14，π≈3.142，…，我们称3.14，3.142是π的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值.
3.14，3.142，3.1416，…都是π的近似值，称它们为近似数.
例3
利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值.
用计算器求下列各式的值.
（1） ； （2） （精确到小数点后面第三位）.
解：
（1）依次按键：
显示：32
所以， =32.
1
0
2
4
=
（2）依次按键：
显示：2.828427125
所以， ≈2.828.
8
=
练一练
用计算器求下列各式的值.
（1） ； （2） （精确到小数点后面第三位）.
解：
（1）依次按键：
显示：44
所以， =44.
1
9
3
6
=
（2）依次按键：
显示：7.681145748
所以， ≈7.681.
5
9
=
※ 针对训练
1.在计算器上按键 ，下列计算结果正确的是（ ）
A.4.123105626 B.-4.13 C.-4 D.4.13
2.估计 在（ ）
A.3~4之间 B.4~5之间
C.5~6之间 D.6~7之间
1
7
=
A
C
4.下面各正方形的边长不是有理数的是（ ）．
A.面积为25的正方形
B.面积为36的正方形
C.面积为27的正方形
D.面积为1.44的正方形
C
C
3.下列各数中，是无理数的为（ ）
A. 3.14 B. C.0.305305530555… D.
… …
… …
规律：被开方数的小数点向右每移动 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 位;被开方数的小数点向左每移动 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 位.
5.根据要求完成问题
(1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律 你能说出其中的道理吗
2
2
1
1
0.25
0.790
2.5
7.906
79.06
25
250
(2)用计算器计算 （精确到0.001），并利用你在（1）中发现的规律说出 ， ， 的近似值，你能根据 的值说出 是多少吗？
≈1.732
≈0.1732
≈17.32
≈173.2
不能
解：
※ 课堂小结
认识无理数
无理数的概念：无限不循环小数称为无理数．
借助计算器求无理数的近似值
常用无理数的几种类型：
分类 举例
一般的无限不循环小数 1.4142135…
有规律但不循环的小数 1.1010010001…
某些含π的数 2π
开方开不尽的数的方根
无理数与有理数的和或差，结果都是无理数 π+2
无理数乘或除以一个不为的有理数，结果是无理数