2023-2024学年江苏省盐城市鹿鸣路初级中学九年级（下）期中数学试题（含解析）

2023-2024学年江苏省盐城市鹿鸣路初级中学九年级（下）期中数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列交通标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，、两点被一座山隔开，、分别是、中点，测量的长度为，那么的长度为
( )
A. B. C. D.
6.网络理论下载速度可以达到每秒以上，这意味着下载一部高清电影只需要秒．将数据用科学记数法表示为
( )
A. B. C. D.
7.如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为
( )
A. B. C. D.
8.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与其中的图像分别为直线和直线，下列结论中一定正确的是
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
10.一组数据：，，，中的众数为________．
11.分解因式：_____．
12.如图，点，，在上，若，则________．
13.反比例函数的图像如图所示，则的值可能是________只填一个符合题意的即可．
14.化学中直链烷烃的名称用“碳原子数烷”来表示，当碳原子数为时，依次用天干甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“”的个数是__________．
15.如图，在矩形中，，把该矩形绕点顺时针旋转度得矩形，点落在的延长线上，则图中阴影部分的面积是_____．
16.如图，在中，，，点在边上，，动点在边上，连接、，当的结果为整数时，此时点的个数为________．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算：．
18.解分式方程：
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
一个不透明的盒子中，装有个白球和个红球，这些球除颜色外其余都相同．
搅匀后从中任意摸出个球，摸出白球的概率是________．
搅匀后从中任意摸出个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出个球，用画树状图或列表的方法求次都摸到红球的概率．
21.本小题分
我校鹿鸣“博约”和融课程极大地满足了学生的兴趣需求，受到社会的广泛赞誉，现在“博约”和融课程需开设数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的数学类拓展性课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查每人必须且只选其中一项，并将统计结果绘制成如下统计图不完整根据统计图提供的信息，解答下列问题：
________，________；
在扇形统计图中，“实验探究”所对应的扇形的圆心角度数是________度；
请根据以上信息补全条形统计图；
我校共有名学生，试估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数．
22.本小题分
如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，交的延长线于点，连接，．

求证：四边形是平行四边形；
若，，，求的长．
23.本小题分
如图是我市某小区的“垃圾分类定时定点投放点”，智能化按键式开启投放门的投放方式，让我市人民的垃圾投放变得更智能更环保，图是投放门开启后的侧面示意图，投放口挡板长，挡板底部距地面高为，挡板开启后，张角的最大值为．
求投放门前端到的最大距离；
求投放门前端到地面的最大距离，参考数据：，，
24.本小题分
随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷盐城高铁站候车厅的饮水机图有温水、开水两个按钮，图为其示意图，小明先接温水后再接开水，接满的水杯，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题：
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是包括与，这一温度比较接近人体体温．
若先接温水秒，求再接开水的时间．
设接温水的时间为秒，接到水杯中水的温度为．
若，求的值；
求关于的函数关系式，并写出达到最佳水温时的取值范围．
25.本小题分
如图，为的直径，点为上一点，的平分线交于点，交于点，是延长线上一点，且．
试判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求的长；
连接交于点，请探究线段、、的数量关系并证明．
26.本小题分
鹿鸣学堂兴趣小组进行一次科学实验探究活动，图是由七根连杆链接而成的机械装置，图是其示意图．已知，两点固定，连杆，，、两点间距与长度相等．当绕点转动时，点，，的位置随之改变，点恰好在线段上来回运动．当点运动至点或时，点，重合，点，，，在同一直线上如图，此时点到的距离为．
直接判断与是否一定垂直：___________填“是”或“不是”；
求、两点间的距离；
当点，，在同一直线上时，求点到的距离．
27.本小题分
【知识回顾】我们知道：一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫对称中心．
【知识理解】求证：反比例函数且为常数的两支图像关于原点成中心对称．
【知识迁移】如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图像与轴交于点、，与轴交于点，抛物线：的图像与抛物线：的图像关于原点成中心对称，且抛物线：的图像与轴交于点、，与轴交于点，连接、，点为线段上的一个动点，过点作直线轴，交线段于，交抛物线的图像于点，交于．
求抛物线的函数表达式，并求出最大时点的坐标；
当最大时，点在抛物线对称轴右侧的图像上，线段交直线于点，线段与线段交于点，若，则线段与的比值为________．
【知识创新】如图，在两个同心圆上，连接大圆上的点和小圆上的点的线段叫做同心圆的“环弦”点是小圆内一定点，用无刻度的直尺和圆规作“环弦”，使得点是“环弦”的中点．保留作图痕迹，不写作法
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，符合题意；
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了小正方体堆砌而成的几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数，上面一层第一列和第二列各有个小正方形，下面一层三列各有一个小正方形，即看到的图形如下：
，
故选；．
4.【答案】
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】．与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】由三角形中位线定理即可求得的长度．
【详解】、分别是、中点，且，
是的中位线，
；
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】本题考查了科学记数法的表示，根据科学记数法正确表示即可，熟练掌握“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法”是解题的关键．
【详解】解：，
故选．
7.【答案】
【解析】【分析】由题意知，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据图像所过象限，结合一次函数性质判断，，，与的关系即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
一次函数与的图像都过一三象限，
，，
直线过第二象限和直线过第四象限，
，，且，
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可．
【详解】由题意可知，
．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】【分析】本题考查众数的定义，根据“出现次数最多的即是众数”得出答案即可，掌握众数的定义是解题的关键．
【详解】解：，，，中，出现的次数最多，
众数为．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可．
，
故填
12.【答案】度
【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆心角是圆周角的一半，进行作答即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
13.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质、反比例函数中比例系数的几何意义，对于反比例函数，根据题中图象在第一象限，据此可得，根据反比例函数中比例系数的几何意义，得出，写出符合的的值即可．熟练掌握反比例函数图象的性质、反比例函数中比例系数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：题中反比例函数的图象在第一象限，
，
题中长方形面积，函数图象在长方形上方，
，
的值可以是，
故答案为：答案不唯一．
14.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，根据题目中的图形，可以发现“”的个数的变化特点，然后即可写出第个庚烷分子结构式中“”的个数．
【详解】解：由图可得：甲烷分子结构中“”的个数是：，
乙烷分子结构中“”的个数是：，
丙烷分子结构中“”的个数是：，
庚烷分子结构中“”的个数是：，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】首先根据题意利用锐角三角函数关系得出旋转角的度数，进而求出，即可得出阴影部分面积．
【详解】解：在矩形中，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】作，点在线段上，且，连接，连接交于点，根据两点之间线段最短，结合勾股定理，求出“当点、、在同一直线上时，即点运动到时的最小值”，从向两端运动，逐渐变大，利用勾股定理，分别求出“当点运动到和点重合时”和“当点运动到和点重合时”，的值，根据的数值变化范围，分析得出当的结果为整数时，此时点的个数即可．
【详解】解：如图，作，点在线段上，且，连接，连接交于点，
在中，，，，
，，
在和中，
，
，
，
当点、、在同一直线上时，即点运动到时最小，
当点运动到和点重合时，，
当点运动到和点重合时，，
，，
，，
，
大于并小于等于的整数有“，”这个，
大于并小于的整数有“，，，，，，”这个
线段上有个点的位置，使得的结果为整数；线段上有个点的位置，使得的结果为整数，
，即当的结果为整数时，此时点的个数为．
故答案为：．
17.【答案】解：
．

【解析】【分析】本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、求算术平方根、特殊角的三角函数值，先计算负整数指数幂、零指数幂、求算术平方根、特殊角的三角函数值，最后加减计算即可，掌握运算法则、正确计算是解题的关键．
18.【答案】【详解】解：，
移项，得：，
，
，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
原方程的解是．

【解析】【分析】本题考查了分式方程的解法，根据分式方程的解法步骤求解即可，解决本题的关键是将分式方程转化为整式方程，检验也是解分式方程时经常容易被忽略的步骤．
19.【答案】【详解】解：，
，
，
，
上式，
，
．

【解析】【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式以及单项式乘以多项式的法则是解题的关键．先利用平方差公式、完全平方公式以及合并同类项的法则进行化简，再将变换为代入求值，即可解题．
20.【答案】【小问详解】
解：有个白球和个红球，
摸到白球的概率，
故答案为：；
【小问详解】
解：画树状图如下，
有种结果，其中次都摸到红球的结果有种，
次都摸到红球的概率．

【解析】【分析】本题考查了概率公式求概率、画树状图或列表求概率．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中次都摸到红球的结果有种，再由概率公式求解即可．
21.【答案】【小问详解】
解：观察条形统计图与扇形统计图知：选的有人，占，
故总人数有人，
，
，
故答案为：，；
【小问详解】
解：，
故答案为：；
【小问详解】
解：类别人数为人，
补全图形如下：
【小问详解】
解：人，
答：估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数有人．

【解析】【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息．
先用选的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比其所对应的人数总人数分别求出、的值；
用乘以所占的百分比即可求解；
用总人数乘以类别所占百分比即可求出对应人数，从而补全条形统计图；
用样本估计总体即可确定全校最喜欢“思想方法”的学生人数．
22.【答案】【小问详解】
证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
又，即，
四边形是平行四边形；
【小问详解】
解：，
，，
，
，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．

【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点推理证明解题的关键．
由是的中点知，由知，利用即可证，从而得，结合即可得证；
证明，得出，计算得出，由、得出答案即可．
23.【答案】【小问详解】
解：在中，，，
，
投放门前端到的最大距离为；
【小问详解】
解：，
，
投放门前端到地面的最大距离为．

【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，
在中，利用即可求得答案；
在中，利用，结合可求得答案．
24.【答案】【小问详解】
解：设再接开水的时间为秒，
根据题意得，，
解得，
答：再接开水的时间为秒；
【小问详解】
解：根据题意可得，温水体积，开水体积为，
，
解得；
根据题意可得：，
整理可得：，
饮水最佳温度是包括与，
当时，随的增大而减小，
，解得．

【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数性质的应用，解一元一次不等式，解题的关键在于读懂题意列出关系式．
设再接开水的时间为秒，根据“小明先接温水后再接开水，接满的水杯”，结合图中开水和温水的水流速度，列出等量关系式，即可求解；
根据等量关系，列式，即可求解；
根据等量关系，列出关于的函数，根据解析式列出不等式求解，即可解题．
25.【答案】【小问详解】
解：与相切，理由如下，
如图，连接、，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
平分，
，
，
，
，
又点在上，
是的切线，
与相切；
【小问详解】
解：，，，
，设，则，
过程已证，
，
，
，
，
解得；，
；
【小问详解】
解：，证明如下，
如图，连接，
为的直径，
，
平分，
，
，
又，
，
，
．

【解析】略
26.【答案】【小问详解】
解：，，
点都在的中垂线上，
点三点共线，
当时，此时三点共线，
一定垂直于；
故答案为：是；
【小问详解】
如图，延长交于点，过点作，则：，，
由题意，得：，，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问详解】
当点，，在同一直线上时，如图，过点作于点，
，
，
设，则：，
由勾股定理，得：，
，
解得：，
，
，
点到的距离为．

【解析】【分析】根据，，得到点都在的中垂线上，进而得到点三点共线，再根据时，三点共线，即可得出结论；
延长交于点，过点作，证明，列出比例式进行求解即可；
过点作于点，设，则：，利用勾股定理求出的值，再求出的长，即可．
27.【答案】解：知识理解：设反比例函数且为常数的图像上任意一点，
的关于原点对称的点为，
，
也在反比例函数且为常数的图像上，
反比例函数且为常数的图像上任意一点，都存在也在反比例函数且为常数的图像上且关于原点对称的点，
反比例函数且为常数的两支图像关于原点成中心对称；
知识迁移：抛物线：的图像与轴交于点、，
，
，
或，
解得：，，
，，
抛物线：的图像与轴交于点、，抛物线：的图像与抛物线：的图像关于原点成中心对称，
，，，
抛物线的函数表达式为，即，
，
，
又，
，
点为线段上的一个动点，过点作直线轴，交线段于，交抛物线的图像于点，交于，
设点的坐标为，则点坐标为，
直线轴，即，
，
，，，
，
最大时，，
最大时点的坐标为；
如图，连接，在延长线上取点，使得，连接，作轴于点，作于点，延长交于点，交抛物线于点，连接、、、；过点作轴，过点作轴，所作两线交于点，
过程已得，，，，，
，，
，
四边形是平行四边形，，
又，
四边形是菱形，
又，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
直线轴，轴，
直线轴，，
，
，
在和中，
，
，，
，
，，
，
，于点，
点为的中点，
直线是线段的垂直平分线，
，
又，
，，
，
情况一：当点在图中位置时，
在和中，
，
，
设直线解析式为，
，，
解得：
直线解析式为，
点在抛物线对称轴右侧的图像上，
，
整理得：，
，
点在抛物线对称轴右侧的图像上，
点横坐标为，
线段交直线于点，
点横坐标为，
轴，轴，
，，，
，，
，
；
情况二：当点、点和点重合时，点和点重合，，
，，
．
综上所述，线段与的比值为或，
故答案为：或；
知识创新：如图，即为所求作图形，
．

【解析】【分析】知识理解：设反比例函数且为常数的图像上任意一点，证明对称的点为也在反比例函数且为常数的图像上，即可得证；
知识迁移：根据抛物线：的图像与轴交于点、，求出点、的坐标，根据抛物线和抛物线关于原点成中心对称，得出、的坐标，得出抛物线解析式，设点的坐标为，结合图形与坐标，表示出，求出最大时，的值，得出点的坐标即可；连接，在延长线上取点，使得，连接，作轴于点，作于点，延长交于点，交抛物线于点，连接、、、；过点作轴，过点作轴，所作两线交于点，根据正方形的判定与性质，利用证明，推出，利用证明，结合图形与坐标，得出点的坐标，结合点坐标，证明并求出的中点的坐标．情况一：当点在图中位置时，利用证明，得出，根据，，求出直线解析式，结合抛物线解析式，求出点横坐标，根据轴，轴，证明推出，得出，结合图形与坐标计算即可；情况二：当点、点和点重合时，点和点重合，，根据图形与坐标，得出、的长，计算求出的值即可；
知识创新：在大圆上取两条不平行的弦，分别以弦两端为圆心，大于弦一半长度为半径画弧相交两点，连接两交点，作出两弦的垂直平分线相交于一点，即为两同心圆的圆心，连接并延长，以点为圆心，截取为半径画弧交延长线于一点，以该点为圆心，截取小圆半径为半径画圆，则该圆与小圆关于点成中心对称，点是对称中心，该圆与大圆交于点，连接并延长交小圆于点，点和点关于点成中心对称，则点是“环弦”的中点，故即为所求作的图形．
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