益阳市2023年下学期普通高中期末质量检测
高一数学
注意事项：
1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括单项选择题、多项选择题、填空题
和解答题四部分，共4页，时量120分钟，满分150分.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置。请按
答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效，
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
试题卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1.已知集合M={1,3,6},N={1,3,5,7},则MnN=
A.0
B.{1,3}
C.{5,6,7}
D.{1,3,5,6,7}
2.下列函数中，在其定义域上是减函数的是
h
A.y=2x
B.y=x2
C.y=log2x
灯
D.y-
3.已知f(x)=
3,(x≥0)，
则f(3)=
log;x,(x<0)
A.1
B.3
C.9
D.27
4.
sin20°c0s40°+cos20°cos50°的值是
A.I
B月
C.
3
2
D.1
5.己知p:x∈A,q:x∈AnB,则p是q的
救
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
6.已知tana=3,则sina-sin2c_
cos2a
A.3
B,6
C.8
D.9
高一数学试题卷第1页（共4页）
7.己知函数f(x)=x2-ln(:+1),则它的部分图象大致是
B
8.若lna+a2=ln2b+b2,则
A.ln(2b-a+1)<0
B.In(a-2b+1)<0
C.ln(2b-a+1)>0
D.ln(a-2b+1)>0
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知a>b>0,c>d>0,则
A.a-d>b-c
B.ac>bd
D.8
10.下列等式成立的是
A.sin(a +B)-sin(a-B)=2cosa sin B
B.8sin a cosa cos 2a cos4a=sin 8a
C.cosa
-tan a
1-cos 2a
=tan'a
1+sin
2
D.
1+cos2a
11.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(2+x)=f(2-x),则下列说法正
确的是
A.f(2024)=0
B.y=f(x-2)是奇函数
C.f(4-x)=-f(4+x)
D.y=f(x)是周期为4的周期函数
12.已知函数f(x)=e-2x,则
A.Vx∈R,f(-x)=f(x)
B.xeR,fe)≥I
C.x,D.x>x2≥0，则(x,-x2儿f(x)-f(x2)]>0
高一数学试题卷第2页（共4页）益阳市 2023 年下学期普通高中期末质量检测
高一数学参考答案及评分细则
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．B 2．D 3．D 4．C 5．B 6．A 7．B 8．C
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．ABC 10．ABD 11．AC 12．BC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
1 15 + 3
13.9 14. 15. 16.3
3 8
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10分）
解：（1）∵全集 U=R，集合 A={ x | 2 x 3 }，∴ U A= x x 2或 x 3 ． ········ 5 分
（2）∵ A B，∴ 2a 1 3，∴ a 2，∴实数 a 的取值范围是 a 2． ········ 10 分
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）由题意可知： x2 6x + 5 0 (x 1)(x 5) 0 1 x 5．
所以，满足条件的 x 的取值范围是 (1, 5) ． ····················································· 5 分
（2）∵ x 2 ,∴ x 1 1,
f (x) x2 2x + 5 4 4
∴当 a =1时， g(x) = = = x 1+ 2 (x 1) = 4 ，
x 1 x 1 x 1 x 1
当且仅当 x = 3时， g(x)min = 4 ． ································································· 12 分
19．（本小题满分 12 分）
8 2 T
解：（1）由图可知： = T = 4 ，∴函数 f (x) 的最小正周期T = 4 ． ·············· 3 分
3 3 2
2 8
（2）函数 f (x) 的单调递减区间为： 4k + ,4k + (k Z )． ········ 6 分
3 3
2 1 1
（3）由图可知 A = 2 ，又T = 4 = = ，∴ f (x) = 2sin( x + ) ． ··················· 9 分
2 2
2 1 2
由图象过点 ( ，2)得： 2sin( + ) = 2 = 2k + ,k Z ，
3 2 3 6
又∵ ，∴ = ，
2 6
1
∴函数 f (x) 的解析式为： f (x) = 2sin( x + ) ． ············································ 12 分
2 6
高一数学参考答案 第1页（共 4 页）
{#{QQABSYQAggiAAJIAABgCAwmACkAQkBAACCoOgAAEsAAAiBNABAA=}#}
20.（本小题满分 12 分）
解：（1）∵ f (x) = 3sin 2x (2cos2 x 1) = 3sin 2x cos2x = 2sin(2x ) ，
6
∴ f ( ) = 2sin(2 ) =1． ···································································· 3 分
6 6 6
π 2π 7 3
（2）∵ x , ,∴ 2x .∴ sin(2x ) 1 .
12 3 3 6 6 2 6
∴ 3 f (x) 2 ,∴ f (x) 的值域为 3,2 ． ·············································· 7 分
（3）由题意可知： x3 = x1 + ，代入 x3 + 2x1 = 3x2 得： x2 = x1 + ．
3
k
由 2x = k + ,k Z x = + ,k Z .
6 2 2 3
x1 + x2 k k 又由 = + ,k Z ，及 x2 = x1 + ,解得 x1 = + ,k Z .
2 2 3 3 2 6
k
∴ a = 2sin 2( + ) = 2sin(k + ),k Z ，∴ a 的值为 1.
2 6 6 6
注：第（1）问将 x = 直接代入 f (x) ，求得 f ( ) =1也计 3 分． ········ 12 分
6 6
21.（本小题满分 12 分）
解：（1）由题意可知: a = k 0.2 k = 5a ，所以 k 的值为 5a． ········································ 2 分
（2）∵血液中的 A 药含量达到 a (mg)后，经过 x 小时患者血液中 A 药含量为 a(1 0.1)x (mg)．
3a 9 3
由 a(1 0.1)x ( )x
10 10 10
9 3 lg3 1 0.4771 1
两边取对数得： x lg lg x = 11.4 .
10 10 2lg3 1 2 0.4771 1
3a
∴患者完成 A 药的首次注射后，血液中 A 药含量不低于 mg 的时间可以维持 11.4h．
10
············································································································ 6 分
3 3
（3）解法一：设第一次注射开始后经过 t h 患者血液中 A 药的含量为 a ，则 t0 0.20 0.9 = ，
10 10
记第二次注射完成后患者血液中 A 药的含量为 f (x) ，其中 x （ x t0 + 0.2）为第一次注射
开始后经过的时间，则
x 0.2 x t 0.2f (x) = 0.9 a + 0.9 0 a = (0.9x 0.2
t
+ 0.9 0
+0.2
0.9x 0.4 )a = (0.9x 0.2
10
+ 0.9x 0.4)a
3
x 0.2 10 x 0.2 13 (0.9 + 0.9 )a = 0.9x 0.2 a． ······················································ 9 分
3 3
13
由 0.9x 0.2
3
a a 13 0.9x 0.2 0.9 13 0.9x 1.2 1，两边取对数得：
3 10
lg13 1.114
lg13 + (x 1.2) lg0.9 0 x 1.2 + =1.2 + 25.5 ，
1 2lg3 1 2 0.4771
又 25.5-0.2=25.3，
3a
∴经过两次注射后，患者血液中 A 药的含量不低于 mg 的时间可以维持 25h． ··· 12 分
10
高一数学参考答案 第2页（共 4 页）
{#{QQABSYQAggiAAJIAABgCAwmACkAQkBAACCoOgAAEsAAAiBNABAA=}#}
3 3a
解法二：由（2）可知，0.911.4 = ．第二次注射 0.2h 后，血液中 A 药含量为： 0.90.2 + a ,
10 10
经过 13.4h 后，患者血液中 A 药含量为：
3a
( 0.90.2 + a) 0.913.4
3a
= ( 0.90.2
3 3
+ a) 0.92 0.911.4 ( 0.9+1) 0.92 a ········ 10 分
10 10 10 10
3a 3a
=1.0287 ，又 13.4+11.4+0.2=25.
10 10
3a
∴经过两次注射后，患者血液中 A 药的含量不低于 mg 的时间可以维持 25h. ····· 12 分
10
22．（本小题满分 12 分）
解：（1）因为函数 f (x) 为奇函数，
a + x a x a2 x2
∴ f ( x) + f (x) = log2 + log2 = log2 = 0 ，
1 x 1+ x 1 x2
a2 x2
∴ =1 a2 =1．又∵ a 0，∴ a =1.经检验 a =1 符合题意． ·················· 2 分
1 x2
1 x 1 x
（2）由(1)得 f (x) = log ,由2 0 1 x 1．
1+ x 1+ x
∴ g( x) = f ( x) + x = f (x) + x = g(x) g(x)为奇函数． ······································ 3 分
1 x 2
又 g(x) = f (x) x = log x = log ( 1) x ，可知 g(x)在 x ( 1,1)单调递减； 2 2
1+ x 1+ x
由G(x) 0 g(2x2 ) + g(x 1) 0 g(2x2 ) g(x 1) = g(1 x) ．
1 2x2 1
1 1
∴ 1 1 x 1 ,解得: 0 x ．所以，集合 M={x | 0 x }． ······················· 6 分
2 2
2x
2 1 x
1 x
（3）∵ h(x) = 2 f (x) = ，且 1 x 1，
1+ x
2 2x
H (x) = 3h(2x 1) k 2|x|+1 + 3k 1= 3 2k 2|x| + 3k 1，且 x 1，
2x
2 2x
令 H (x) = 0 3 2k 2|x| + 3k 1= 0 2k 2|x| 2x (3k 4) 2x 6 = 0 .
2x
①当0 x 1时，有1 2x 2，
H(x) = 0 2k(2x )2 (3k 4) 2x 6 = 0 (2 2x 3) (k 2x + 2) = 0．
x 3 3由2 2 3 = 0得2x = ，即x = log 0,1)． 2
2 2
当 k = 0时，方程 k 2x + 2 = 0在 0,1)无实数解．
2 2
当 k 0时，由k 2x + 2 = 0得2x = ，由1 2,解得-2 k 1．
k k
2 4 3
即当-2 k 1时， x = log2 ( ) ，而当 k = 时， x = log2 ．
k 3 2
3
所以，当 4k 2或k = 或k 1时函数 H (x) 在 x 0,1)只有一个零点 x = log2 ．
3 2
高一数学参考答案 第3页（共 4 页）
{#{QQABSYQAggiAAJIAABgCAwmACkAQkBAACCoOgAAEsAAAiBNABAA=}#}
4 3 2
当 2 k 1且k 时,函数 H (x) 在 x 0,1)有两个零点: x = log2 和 x = log2 ( ) .
3 2 k
············································································································ 9 分
② 当 x 0时，有 0< 2x 1， H(x) = 0 2k (3k 4) 2x 6 = 0 (3k 4) 2x = 2k 6．
4
当 k = 时，函数 H (x) 在 ( ,0)没有零点.
3
4 2k 6 2k 6
当 k 时， H (x) = 0 2x = ，由0 1得 k 2或 k 3．
3 3k 4 3k 4
所以，当 k 2或 k 3时，函数 H (x) 在 x ( ,0) 有一个零点．当 2 k 3时，函数 H (x)
在 x ( ,0) 没有零点．
4
综上所述，当 k [ 1,3]时，函数 H (x) 有且只有一个零点；
3
4 4
当 k ( , ) ( , 1) (3,+ )时，函数 H (x) 有两个零点． ·························· 12 分
3 3
注:本卷的解答题的其他正确解法请参照评分.
高一数学参考答案 第4页（共 4 页）
{#{QQABSYQAggiAAJIAABgCAwmACkAQkBAACCoOgAAEsAAAiBNABAA=}#}
