洛平许济 2023———2024 学年高三第四次质量检测
数学试卷参考答案
一、选择题
1 - 4:DBCA 5 - 8:CBBD
二、多项选择题
9. ABC 10. ABD 11. AC
三、填空题
12. 4 13. 2 14. 0, - 1
四、解答题
15. (1) 证明: ∵ 底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC = 120°, ∴ ∠DAB = 60°.
……1 分
∵ 在 △ABD 中,DA = 2,AB = 4,由余弦定理可得
DB2 = AB2 + AD2 - 2AB × ADcos60° = 12, ∴ DB = 2 3 . ……3 分
∴ DA2 + DB2 = AB2, ∴ △ADB 为直角三角形,AD ⊥ BD. ……4 分
又 ∵ DD1 ⊥ 平面 ABCD,DB 平面 ABCD, ∴ DD1 ⊥ BD. ……5 分
∵ AD 平面 ADD1A1,DD1 平面 ADD1A1,且 DA ∩ DD1 = D,
∴ BD ⊥ 平面 ADD1A1 . ……6 分
又 ∵ BD 平面 DBB1D1, ∴ 平面 DBB1D1 ⊥ 平面 ADD1A1 . ……7 分
(2)∵ ABCD-A B C D 7 3四棱台 1 1 1 1 的体积为 ,DD1 ⊥ 平面 ABCD,3
1
而 VABCD-A B C D = (SABCD + S1 1 1 1 3 A1B C D
+ S ·S
1 1 1 ABCD A1B1C D
)·DD1, ……8 分1 1
∴ 7 3 = 1 ·DD1·(AD·DB + A1D1·D1B1 + AD·DB·A1D1·D1B1 ) .3 3
∴ 7 3 = 1 ·DD1·7 3 ,解得 DD1 = 1.3 3
……9 分
如图,以点D为原点,DA,DB,DD1 所在直线分别为 x
轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,
则 B1(0, 3 ,1),C( - 2,2 3 ,0),
∴ B→1C = ( - 2, 3 , - 1) . ……10 分
高三数学答案 第1 页 (共 5 页) (2024. 5)
而平面 ADD1A1 的法向量为 n = (0,1,0), ……11 分
设直线 B1C 与平面 ADD1A1 所成角为 θ,
| n·B→C |
则 sinθ =| cos n,B→C | = 11 =
3 = 6 . ……12 分
| n |·| B→1C | 4 + 3 + 1 4
∴ 6直线 B1C 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 . ……13 分4
16. 解:(1) 抽取的 200 名考生数学成绩的方差估计值为
s2 = (80 - 110) 2 × 0. 02 + (90 - 110) 2 × 0. 09 + (100 - 110) 2 × 0. 22
+ (110 - 110) 2 × 0. 33 + (120 - 110) 2 × 0. 24 + (130 - 110) 2 × 0. 08
+ (140 - 110) 2 × 0. 02 = 150. ……4 分
故估计这 20000 名考生数学成绩方差为 150,标准差 S ≈ 150 = 5 6 ≈ 5 × 2. 4
= 12. ……5 分
(2) 由(1) 知 μ 可用x = 110 来估计,σ 2 可用 S2 = 150 来估计.
故 X ~ N(110,150) . ……7 分
σ = 150 = 5 6 ≈ 12. ……8 分
又 P(μ + σ ≤ X ≤ μ + 2σ)
= P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) - P(μ - σ ≤ X ≤ μ + σ)
2
= 0. 9545 - 0. 6827 = 0. 1359,
2
故 P(122 ≤ X ≤ 134) = 0. 1359. ……11 分
又 Y = 5X - 10,
∴ P(600 ≤ Y≤ 660) = P(600 ≤ 5X - 10 ≤ 660) = P(122 ≤X≤ 134) = 0. 1359.
……13 分
故这 20000 名考生中成绩在[600,660] 的人数服从二项分布 B(20000,0. 1359),
约为 20000 × 0. 1359 = 2718. ……15 分
2
- +
17. 解:(1) 由题意得,函数的导函数 f ′(x) = 1 + 1 - a = x ax 12 2 (x > 0) .x x x
……2 分
当 a = 2 时,f ′(1) = 0,f(1) = 0,即切点为(1,0), ……4 分
所以曲线 y = f(x) 在(1,0) 处的切线方程为 y - 0 = 0 × (x - 1),即 y = 0.
……5 分
(2) 不存在这样的 a. 假设存在 a,使得 k + a = 2. ……6 分
2
- +
易知:b,c 是方程 f ′(x) = x ax 1 =2 0 的两个不等实数根,x
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即 b + c = a(a > 2) 且 bc = 1, ……8 分
不妨令 b > c,则 b > 1,
k = f(b)
- f(c) = 2 - 2alnb
因为 ,所以由 k + a = 2 1得,b - -- 2lnb
= 0.
b c b - 1 b
b
……11 分
构造函数 h(x) = x - 1 - 2lnx,(x > 1), ……12 分
x
2 -
h′(x) = x 2x
+ 1
而 2 > 0,x
所以 h(x) 在(1, + ∞ ) 上单调递增,即 h(x) > h(1) = 0. ……14 分
1
所以当 b > 1 时,b - - 2lnb > 0 b - 1恒成立即 - 2lnb = 0 无解.
b b
所以,不存在 a 的值,使得 k + a = 2. ……15 分
2
18. 解:(1) 设 V(x,y),根据题意可知: y · y = 1 , x化简得: - y2 = 1
x + 3 x - 3 3 3
(y ≠ 0) . ……3 分
(2)① 当直线 PQ 斜率存在时,设 l 的方程为 y = kx + t,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),
ìx2
- y2 = 1
由í 3 得(3k2 - 1)x2 + 6ktx + 3( t2 + 1) = 0, ……4 分
y = kx + t
Δ = (6kt) 2 - 4(3t2 + 3)(3k2 - 1) > 0,即 3k2 - t2 - 1 < 0,
ì x1 + x
6kt
2
= -
3k2 - 1
且í ,
x x = 3t
2 + 3
1 2 3k2 - 1
又 y1y2 = (kx1 + t)(kx2 + t) = k2x1x2 + kt(x 21 + x2) + t ,
B→
因为 P·B→Q = (x1 - 3 )(x2 - 3 ) + y1y2 = 0, ……5 分
所以(k2 + 1)·x1x2 + (kt - 3 )·(x1 + x2) + t2 + 3 = 0,
(k2 + 1)·3t
2 + 3 + - -
所以 (kt 3 )· 6kt + t2 +2 2 3 = 0, ……6 分3k - 1 3k - 1
化简得 t2 + 3 3 kt + 6k2 = 0,即( t + 3 k)( t + 2 3 k) = 0,
所以 t1 = - 3 k,t2 = - 2 3 k. ……7 分
且均满足 3k2 - t2 - 1 < 0.
当 t1 = - 3k 时,直线 PQ的方程为 y = k(x - 3),直线过定点( 3,0),与已知矛盾,
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当 t2 = - 2 3 k时,直线 PQ的方程为 y = k(x - 2 3 ),过定点(2 3 ,0),记为点D.
……8 分
② 当直线 PQ 的斜率不存在时,由对称性不妨设直线 BP:y = x - 3 ,与双曲线 C
方程联立解得 xp = xQ = 2 3 ,此时直线 PQ 也过点 D(2 3 ,0),
综上,直线 PQ 过定点 D(2 3 ,0) . ……9 分
由于 BM ⊥ PQ,所以点 M 在以 BD 为直径的圆上,
故当 N 为该圆圆心,即点 N 为 BD 的中点时, | MN | 为该圆半径,即 | MN | =
1 | BD | , N(3 3
所以存在定点 ,0),使 | MN | 3为定值 . ……11 分
2 2 2
(3) 设 G(x3,y3),H(x4,y4), 易得直线 GH 的斜率不为 0, 可设直线 GH:x = ny
+ 3 3 ,
2
ì x = ny + 3 3
2 2 2 15 联立方程í ,可得(n - 3)y + 3 3 ny + = 0, ……12 分
x2 4- y2 = 1 3
ìy 3 3 n 3 + y4 = - n2 - 3
5 3
则í 15 , 故 ny3·y4 = - (y12 3
+ y4) . ……14 分
y3·y
4
4 =
n2 - 3
y3 3 3 y
k x + 3 y3(ny4 + ) ny y +
3
1 = 3 = 2
3 4
所以 = 2
k2 y4
y4(ny +
5 3 ) ny 5 3
x - 3 3 2 3
y4 + y2 44
- 5 3 (y3 + y
3 3 5 3
12 4
) + y
2 3
y3 - y
= = 12 12
4
= - 1 . ……17 分
- 5 3 (y + y 5 3 5 3 25 3
5
12 3 4
) + y4 - y2 12 3
+ y
12 4
= a(9
n - 1) = 1 3
n - 1 3n -19 . 解:(1)aa…a(9) a· · (
1 + 1), ……3 分
8 2 2 2
当 a = 1 时,aa…a(9) 就是一个三角形数. ……5 分
(2)11111(k) = k4 + k3 + k2 + k + 1, ……6 分
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(k2 + k ) 2 < k4 + k3 + k2 + k + 1 < (k2 + k + 1) 2,即(k2 + k ) 2 < 11111
2 2 2 (k)
< (k2 + k + 1) 2 . ……8 分
2
若 k 是偶数,则 k2 + k 和 k2 + k + 1 是两个连续正整数,所以上式不成立,得 k 是
2 2
奇数. ……9 分
+
所以 11111 2 k 1 2(k) = (k + ) = k4 + k3 + k2 + k + 1. ……10 分2
解得 k = 3,即 11111 = 34 + 33 + 32 + 3 + = 121 = 112
(3) . ……11 分
n -
(3)c 9 1n = , ……12 分8
S = 9
+ 92 + 93 + … + 9n
n -
n
8 8
9 n = (9 - 1) - n ……13 分
64 8
= 9 [(1 + 8) n - 1] - n
……14 分
64 8
> 9 [C0 1 2 2 n
64 n
+ Cn·8 + Cn·8 - 1] - 8
= 9 [8n + 32n(n - 1)] - n ……16 分
64 8
2
= 9n - 7n.
2
9n2 -∴ S > 7n
n . ……17 分2
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数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再逃涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
國
1.已知a,6均为单位向量，且夹角为写则1a+b1=
的
49
B.1
C.2
D.5
2
部
2.过抛物线y2=8x的焦点的直线交抛物线于A,B两点，若AB中点的横坐标为4，
则IABI=
长
A.16
B.12
C.10
D.8
&
3.已知m,n为两条不同的直线，，B为两个不同的平面，下列命题为真命题的是
部
A.若mc&,nc&,m∥B,n∥B,则a∥BB.若m∥a,nc&,则m∥n
C.若n∥m,m￠a,nca,则m∥x
D.若a∥B,mca,nCB,则m∥n
渐
4.为加强校企合作，促进大学毕业生就业，某企业欲从本市科技大学的农学院、外国语学
院、管理学院这三个学院招录6名大学生，每个学院至少招录1名，则不同的名额分配方
恕
案有
A.10种
B.20种
C.216种
D.729种
5.已知等比数列{a.}的公比为g,若a1+a2=12,且a1,a2+6,4,成等差数列，则g=
3
3
B.-2
C.3
D.-3
6,在△ABC中，AB=32,c08LBAC=-7,AD上AC,且AD交BC于点D,AD=3
则sinC=
8③
3
022
3
3
7.若关于x的不等式e+x+2n≥mx2+1m恒成立，则实数m的最大值为
B.
C.1
D.e2
高三数学第1页（共4页）
8已知点P(-c,0),R(e,0)分别是椭图+=1(a>b>0)的左右焦点，过R,的
2*3
直线1与(x-分2+少=公(e>6)相切，切，点为5，直线1与箱圆交于点P,且点S
在P与F2之间，若△PF,F2的面积为b2,则椭圆的离心率为
A25
5
B号
c号
0
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9已知复数如=一了+，西为心的共能复数，则
A.0w=1
B.w2+02=w+0
C.1+ω'+w2=(
D.w+w2+w3+…+w224=1
10.已知函数(x)=8inx+cosx,则
A当)<0时，sim(x+牙)<0
B函数牙+)为偶函数
C)在区间（(-牙，牙)上单调递增
D.f(x)的最大值为I
1L.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E是棱DD,上的动点（不含端点），过
A,B,E三点的平面将正方体分为两个部分，则下列说法正确的是
A.正方体被平面AEB,所截得的截面形状为梯形
D
B.存在一点E,使得点A,和点C到平面AEB,的距离相等
C.正方体被平面AEB,所截得的截面的面积随着线段D,E的
长度的增大而增大
D.当正方体被平面AEB,所截得的上部分的几何体的体积为
号时，E是DD,的中点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.定义集合运算：A⑧B=|zz=y(x+y),x∈A,y∈B引，若集合A=10,2|,
B={-1,1},则集合A②B中所有元索之和为
13.在△ABC中，aM=3anB,A-B的最大值为p.若函数f(x)=sin(ωx+p)(w>0)在
区间〔~石君]上单调递增，则w的最大值为
14.已知函数(x)的定义域为R,若(x-y）=(x)f(y）+(1+x)f八1+y),且
102
八0)≠2)，则f1=，∑八)=
高三数学第2页（共4页)
