2024年中考数学精选压轴之探究项目式学习（二）

2024年中考数学精选压轴之探究项目式学习（二）
一、实践探究题
1．（2024·深圳模拟）【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用。
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 …
运动速度v/（cm/s） 10 9 8 7 6 5 …
滑行距离y/cm 0 19 36 51 64 75 …
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：
（2）【任务二：观察分析】数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）
（3）【任务三：问题解决】当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：
（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以2cm/s的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为　 　．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：设，代入得
，
解得：
；
二次函数经过原点（0，0），可设，代入得
，
解得：
（3）解：当时，
解得：，
将代入
得：，
当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离为．
（4）
【知识点】二次函数的其他应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（4）黑球到达A点的速度为10cm/s.
若黑球x秒撞上电动小车，则.
整理得：
由于黑球不能撞上小车，即方程无解，故
解得n>64.
故答案为：n>64.
【分析】（1）直接在坐标系中描点，连线即可；
（2）利用待定系数法求解即可.
（3）令v=0，可得停下时滑行的时间x，把x值代入，即可求出此时的滑行距离.
（4）设x秒能追上，得到关于x的一元二次方程，令，得关于x的不等式，求解即可得到撞不上时n的取值.
2．根据以下素材，探索完成任务.如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是某抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m.据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高.
素材2
为迎佳节，拟在图1桥沿前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布.
问题解决
（1）任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.
（2）任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.
（3）任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.
【答案】（1）解：以拱顶为原点，建立如图1 所示的直角坐标系，
则顶点为(0，0)，且过点B(10，一5)，易求抛物线的函数表达式为 y=- x .
（2）解：∵该河段水位再涨1.8m 达到最高，灯笼底部距离水面不小于 1m，灯笼长0.4m，∴悬挂点的纵坐标y≥-5+1.8+1+0.4=-1.8，即悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8，当y=-1.8时∴x=±6，∴悬挂点的横坐标的取值范围是-6≤x≤6.
（3）解：方案一：如图2(坐标轴的横轴)，从顶点处开始悬挂灯笼，
∵-6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4>6，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3<6，∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为-1.6×3=-4.8；
方案二：如图3.
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×(5-1)>6，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×(4-1)<6，∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂8 盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为-0.8-1.6×3=-5.6.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）根据该河段水位再涨1.8m 达到最高，灯笼底部距离水面不小于 1m，灯笼长0.4m，可计算出悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8m，再求出y=-1.8m时x值，继而得出x的范围；
（3）分两种方案，挂7盏和8盏，据此分别解答即可.
3．（2023九上·瑞安月考）阅读素材，完成任务．
测试机器人行走路径
素材一 图1是某校科技兴趣小组设计的一个可以帮助餐厅上菜的机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．如图为机器人所走的路径．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆时针旋转，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为，所走路径形成的封闭图形的面积为S．
素材二 如图2，当每次直行路程均为1（即），时，机器人的运动路径为，机器人共走的路程，由图2图3易得所走路径形成的封闭图形的面积为．
素材三 如图4，若，机器人执行六次指令后回到起点处停止．
解决问题
任务 固定变量 探索变量 探索内容
任务一 直行路程 旋转角度与路程
任务二 旋转角度 直行路程 若，求与的值．
任务三 旋转角度，路程 路径形成的封闭图形面积S． 若，请直接写出与之间的数量关系，并求出当S最大时的值．
【答案】解：任务一：当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：12，8，5．
任务二：构造如图所示的三角形，△ABC，△AHH，△DBE，△GFC，
∵α=60°，
∴△ABC，△AHH，△DBE，△GFC为等边三角形，
∴CG=b2=4，AH=b4=3，
∴AC=AH+b3+CG=4+1.5+3=8.5，
则 AB=AC=BC=8.5，
∵b1=2，b2=4，
∴EF=2，CF=4，
∴b6=BE=BC-EF-CF=8.5-2-4=2.5，
∴b5=DI=AB-AI-BD=8.5-3-2.5=3.
任务三：如图，构造等边△GHI，
∴GI=b3+b4+4，b6=GI-4-2=b3+b4-2，b5=GI-b6-b4=6-b4，
∵l=20，
∴2+4+b3+b4+6-b4+b3+b4-2=20，
∴2b3+b4=10；
如图：令等边三角形边长为a，高为h，
则，
∴等边三角形面积，
∴，
∴，
∴当S最大时，.
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；等边三角形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】任务一：每次逆时针旋转α ，则旋转次，即可回到起点，代入计算即可；
任务二：首先构造四个等边三角形，根据等边三角形的三条边相等，即可求出等边三角形的边长，即可求解；
任务三：构造等边△GHI，根据等边三角形的三条边相等表示出b6、b5的长度，结合题意求得2b3+b4=10，令等边三角形边长为a，高为h，根据特殊角的三角形函数值可得，根据三角形的面积公式可求出S的表达式，结合二次函数的性质即可求解.
4．（2023九上·青秀月考）【综合与实践】根据以下素材，探索完成任务．
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
（1）任务1 确定桥拱形状：在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2 探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
（3）任务3 拟定设计方案：请你设计一种符合所有悬挂条件的方案．
【答案】（1）解：以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，则顶点为，且过点，
设抛物线的解析式为，
把点代入上式得，
解得，
故抛物线的函数表达式为；
（2）解：该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，
当悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，
，
悬挂点的横坐标的取值范围是；
（3）解：方案一：如图（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂7盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为；
方案二：如图，
若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂8盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为：．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法即可求解；
（2）根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可得悬挂点的纵坐标最小值是-1.8m，
由此得到关于x的一元二次方程，解方程即可求解自变量的取值范围；
（3）方案一、从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可得一共可挂7盏灯笼，最左边一盏灯笼横坐标为；方案二、根据顶点一侧悬挂5盏灯笼和4盏灯笼进行讨论，可得顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，再根据抛物线的对称性即可得出结论.
5．（2023九上·龙湾期中）根据素材回答问题：
素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4 米，AB//OQ，AD//OP，且AB与OQ的距离为10 米，AD与OP的距离为8 米．
素材2 现利用两条小路，再购置30 米长的栅栏(图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1 任务2
小明同学按如图2的设计，若EF=16米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）． 若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．
项目反 思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．
【答案】解：任务1：如图2，
由题意知：EF=16，FG=14，矩形OEFG面积为224，
224-16=208，
答：花圃的面积为208
任务2：由图3，设BF=x，花圃面积为y，
由题意得： y=10x+8(12-x)+40+80+32=2x+248
当x=12时，y有最大值为272
由图4，设EF=x，花圃面积为y，则FG=22-x，
由题意得：y=x(22-x)+40+80+32
得：， 当x=11时，y有最大值为273
所以：图4方案的最大面积更大，为273
项目反思：由图5，设GF=2x，花圃面积为y，则FE=22-2x，
由题意得： y=x(22-2x)++40+80+32
所以：图5方案最大面积更大.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】根据矩形的面积列出函数解析式，根据二次函数的性质得最大值，比较即可.
6．（2023九上·杭州期中）完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》．
《蔬菜大棚的设计》
驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？ 2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？ 3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？
项目背景 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间．
数学建模 如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线AED的顶点E（0，4）
问题解决 如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长．
问题解决 为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图，在某一时刻，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．
【答案】解：数学建模：∵抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为，
图象过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
问题解决：由题意，可知L、R的纵坐标为，
代入函数解析式，得，
解得，
∴点L，R的坐标分别为，，
∴点G，M的坐标分别为，，
∴，
答：两个正方形装置的间距的长为；
问题解决：设直线的解析式为，
点A，C的坐标分别为，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，设直线的解析式
∴直线与抛物线联立
，整理得有两个相等实数根，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，即，
解得，
∴，
∴．
答：的长为
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】数学建模：设抛物线的解析式为，把代入解析式，计算求解即可；
问题解决：根据抛物线的解析式求出点G，M的坐标分别为，，即可求出的长；
问题解决：先求出直线的解析式为，设直线的解析式，与抛物线解析式联立，利用即可求出，即直线的解析式为，令，推出，进而可求的长．
7．（2023九上·上虞月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽40m，拱顶离水面8m．据调查，该河段水位在此基础上再涨2.1m达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
（1）任务1：确定桥拱形状：
在图2建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2：探究悬挂范围：
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
（3）任务3：拟定设计方案：
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【答案】（1）解：如下图建立空间直角坐标系：
则顶点坐标为，则可设抛物线的解析式为：又抛物线经过点，则解得：则抛物线的解析式为：
（2）解：由题意知： 河段水位在此基础上再涨2.1m达到最高且 灯笼底部距离水面不小于1m ，灯笼长0.4m，则灯笼悬挂点的纵坐标：所以悬挂点的纵坐标最小值为，当时解得：所以悬挂点横坐标的取值范围为：
（3）解：从顶点处开始悬挂，因为，且相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，若顶点一侧悬挂灯笼时，则顶点一侧最多悬挂15盏灯笼，此时最左边悬挂点的横坐标为：共悬挂30盏灯笼.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的实际应用.能根据题意建立二次函数的模型是关键.
（1）建立以原点为顶点的直角坐标系，设出函数的顶点式，再将点代入即可求解；
（2）根据题意可得纵坐标y必须满足：从而解得：得到横坐标的取值范围；
（3）本小问答案不唯一，如果从顶点处开始悬挂，根据相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，可得解得顶点一侧最多悬挂15盏灯笼，此时最左边悬挂点的横坐标为：共悬挂30盏灯笼.
8．（2023九上·瑞安月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计警戒线之间的宽度？
素材1 图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度AB=24米，拱顶离水面的距离为CD=4米．
素材2 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横 截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三 角形．测得相关数据如下：EF=EK=1.7米，FK=3米， GH=IJ=1.26米，FG=JK=0.4米．
素材3 为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设置航行警戒线，要求如下： ①游船底部HI在P，Q之间通行； ②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．
问题解决
（1）任务1：确定拱桥形状
在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
（2）任务2：设计警戒线之间的宽度
求PQ的最大值．
【答案】（1）解：以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵AB=24，CD=4，
∴点B的坐标为（12，0），顶点为（0，4）
设抛物线解析式为y=ax2+4，
把B（12，0）代入得
∴；
（2）解：过点E作EM⊥FK于点M
∵EF=EK=1.7米，FK=3米，
∴FM=1.5米，
∴（米）．
由题意可知，当PQ最大时，
点E的纵坐标为0.8+1.26+0.5=2.56；
令y=2.56，得，
解得：x1=7.2，x2=-7.2（舍去），
∵FG=JK=0.4米，
∴MG=MJ=1.1米，
∵游船底部HI在P，Q之间通行，
∴PQ的最大值为（7.2+1.1）×2=16.6（米）；
【知识点】等腰三角形的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求出点B的坐标为（12，0），顶点C为（0，4），再用待定系数法可得求解；
（2）过点E作EM⊥FK于点M，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出EM=0.8，当PQ最大时，点E的纵坐标为2.56，代入求出x的值，可得MG=MJ=1.1米，即可得PQ的最大值．
9．（2024·江门模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉安全通道？ 在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．
素材1 图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
素材2 图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面． 图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度．
素材3 安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．
问题解决
任务1 确定喷泉形状． 在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐 标系，求出抛物线的函数表达式．
任务2 确定喷泉跨度的最小值． 若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值．
任务3 设计通道位置及儿童的身高上限． 现在需要一条宽为的安全通道，为了确保进入安全通道 上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人 的最大身高为多少？（精确到）
【答案】解：任务
点坐标为，点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的最高点为3，顶点坐标为
设抛物线的函数表达式为过点，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为．
任务
当喷水管最高可伸长到时，
设此时的抛物线的函数表达式为，
当时，，解得：，
由，得，解得：或（舍），
．
任务
由题意得：当点落在上，
当点落在上时，最大．
延长交抛物线与点，
，，
，关于直线对称，点的横坐标为0.5，
当时，，
∴则能够进入该安全通道的人的最大身高为1.3米．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】 由任务1先求出抛物线的对称轴，顶点坐标，设解析式为顶点式，将（0，0）代入解析式，求出二次项系数，从而可得抛物线的解析式；
任务2设抛物线解析式为：，（0，2.25）代入可求抛物线解析式，从而求OB的值；
在任务3中，设F（n，h），可得用n，h表示E点坐标，代入对应的抛物线解析式求解．
10．（2024·广西壮族自治区模拟）综合与实践
优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
信息1 如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．
信息2 如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物线y2是由外边缘抛物线y1向左平移得到，外边抛物线y1最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．
问题解决
任务1 确定浇灌方式 （1）求外边缘抛物线y1的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）直接写出内边缘抛物线y与x轴的正半轴交点B的坐标；
任务2 提倡有效浇灌 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
【答案】【解答】解：（1）如图1， 由题意得是外边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
，
，
∴外边缘抛物线的函数解析式为，
当y=0时，，解得(舍去)，
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵对称轴为直线
∴点的对称点为，
∴y2是由y1向左平移4m得到的，
由（1）可得，
∴点B的坐标为；
（3）∵EF=0.5m，
∴点F的纵坐标为0.5，
，
解得 ，
∵，
，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时， 要使，
则，
∵当时， y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴OD的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴OD的最小值为2，
∴OD的取值范围是.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得，是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为0时的x的值即可求喷出水的最大射程OC；
（2）根据y2对称轴为直线可得点的对称点为，则y2是由y1向左平移4m得到的，即可求出点B的坐标；
（3）根据EF=0.5m，求出点F的坐标，利用增减性可得OD的最大值和最小值，从而得出答案.
11．（2024九上·鄞州期末）根据以下材料，探索完成任务：
智能浇灌系统使用方案
材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP最大高度不超过2.4m），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面0.1m． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长8m，宽6m的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处．
问题解决
任务1 确定水流形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管OP的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留）
任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管OP至少需要调节到什么高度？
【答案】解：任务1：如图，以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
此时，，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达为，
将代入得，，
∴抛物线的函数表达式为．
（其他建系方式均可，按步给分）
任务2：当时，即将抛物线向上平移2.4个单位，
得．
令，则，解得：，（舍去），
∴浇灌最大圆形区域面积为．
任务3：连结AC，如图：
由题意知AC过点O，，
∴，
∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为5m．
设，此时抛物线函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴OP至少调节到1.5m．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）以O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，表示出点O和M以及顶点的坐标，可用两点式设函数表达式，代入顶点坐标求出a值，即可得表达式；
（2）灌溉面积最大时，OP=2.4米，相当于将函数图象向上平移2.4个单位，求出新的函数表达式，令y=0，求解，即可得到最大灌溉半径，从而得到最大灌溉面积；
（3）确定灌溉完整个矩形区域时的最大灌溉半径r，即矩形对角线的一半长，设水管调节高度为h，即向上平移h个单位，得到新的函数表达式，把半径r的值代入，即可得到调节高度h.
12．（2024九下·温州模拟）根据以下素材，探索完成任务
如何调整足球的发球方向
素材1 如图是某足球场的一部分，球门宽DE=CF=7m，高CD=EF=2.5m，小梅站在A处向门柱CD一侧发球，点A正对门柱CD(即AC⊥CF)，AC=24m，足球运动的路线是抛物线的一部分.
素材2 如图，当足球运动到最高点时，高度为4.5m，即，此时水平距离，以点为原点，直线BA为轴，建立平面直角坐标系.
素材3 距离球门正前方6m处放置一块矩形拦网HGMN，拦网面垂直于地面，且GH∥CF，拦网高HN=4m.
问题解决
任务1 结合素材1，2，求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式.
任务2 结合素材1，2，小梅不改变发球的方向，射门路线的形状和最大高度保持不变此时足球能否进入球门 若不能进入，他应该带球向正后方至少移动多少米射门才能让足球进入球门
任务3 结合以上素材，小梅站在A处，只改变发球方向，射门路线的形状和最大高度保持不变，请探求此时足球能否越过拦网，在点E处进入球门
上述任务1、任务2、任务3中球落在门柱边线视同足球进入球门
【答案】解：任务一：由题意得抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
抛物线经过点，
，
解得，
足球运动轨迹抛物线的函数表达式为
任务二：当时，即时，
，
足球不能进入球门，
小梅带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：
把点代入得：，
解得(舍去)或
向正后方移动1米射门
任务三：
如图构造三角形，
由题意可知：
当时，，
能过拦网.
当时，
能在处入网
【知识点】相似三角形的应用；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务一：根据题意，确定抛物线顶点坐标，设抛物线的顶点式，再把代入，即可求出抛物线解析式.
任务二：根据题意，确定C点横坐标为24，代入抛物线解析式求得C点纵坐标，与CD比较，若小于CD长则可以进入球门，否则不能进入球门，利用函数图象的平移规律，设出移动后的抛物线解析式，再把点代入，求出平移距离即可.
任务三，根据题意，构建数学模型，运用相似三角形性质，求出拦网处的横坐标，再由纵坐标判断是否可以过网，由于AF=25，故验证x=25时，纵坐标与2.5的大小，判断能否在点E处进入球门.
13．（2024九下·沈阳开学考）根据以下素材，探索完成任务．
如何选择合适的跳台高度？
素材1 跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞行至着陆坡．图1是某小型跳台滑雪训练场的实物图，图2是其横截面示意图，以地面的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位于点O的正上方米处，最右端在水平线上，且最高点在距O点水平距离8米处．
素材2 小雪从点O正上方米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝a（x 7）2+8运动．该滑雪场有若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不变．
（1）任务1 确定滑行路径 求a的值；
（2）任务2 确定山坡形状 当小雪滑行到离A处的水平距离为11米时，恰好落在小山坡上，求抛物线C1的函数表达式；
（3）任务3 选择跳台高度 若小雪选择的跳台高度增加了米，请判断在该训练场地滑行时是否会落在小山坡上．
【答案】（1）解：把（0，）代入抛物线C2：y＝a（x 7）2+8得，
a（0﹣7）2+8，
解得a；
（2）解：由（1）知，抛物线C2：y（x 7）2+8，
当x＝11时，y（11﹣7）2+816+8＝6，
∴小雪在小山坡的落地点坐标为（11，6），
设抛物线C1的解析式为y＝m（x﹣8）2+k，
把（0，），（11，6）代入y＝m（x﹣8）2+k得，
，
解得，
∴抛物线C1的解析式为y（x﹣8）2；
（3）解：小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上．
∵跳台高度增加了米，相当于把抛物线C2向上平移了个单位长度，
∴平移后的解析式为y（x﹣7）2+8，
令y＝0，则（x﹣7）2+80，
解得x1＝16，x2＝﹣2（舍去），
∴小雪落地时距O点16米；
对于抛物线C1：令y＝0，则（x﹣8）20，
解得x＝17或x＝﹣1（舍去），
∵17＞16，
∴小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】( 1 )根据题意，将（0，）代入抛物线C2：y＝a（x 7）2+8求出a的值即可；
（2）首先设抛物线的解析式为：y=m(x-8)2 +k，再根据抛物线C2求出小雪在小山坡的落地点的坐标为(11，6)，然后再把(0，)，(11，6)两点代入y= m(x-8)2+k中，可得关于字母m、k的方程组，从而得到C1的解析式即可；
（3）先求出跳台增高后的抛物线解析式，然后当y=0时，求出x的值；再令抛物线中 y=0，求出x的值，最后即可得出结论.
14．（2024九上·杭州月考）根据以下素材，探索完成任务
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案
素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示． 某时测得水面宽，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
问题解决
（1）任务1 确定桥拱形状
根据图2，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2 拟定设计方案
求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
（3）任务3 探究救生绳长度
当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
【答案】（1）解：如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为，抛物线经过，，得
，解得
∴．
（2）解：抛物线，令，，解得或10
∴点
如题，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，
∵
∴左侧可挂3个，桥面可挂6个．
最右侧位于点上方1m处，即点．
（3）解：
如图，当水位达到最高时，水位线为，
救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，当时，，，，
中，（m），故至少需21m．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式，将已知两个点的坐标代入解析式，列二元一次方程组，解方程即可求出抛物线的解析式；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点的性质，与x轴相交时，令y=0，解一元二次方程即可求出点F的坐标；根据关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求出点G的坐标；
（3）根据实际水位达到最高时，列代数式即可求出此时的水位线即y的值；根据勾股定理，即可求出EM的值.
15．（2023九上·金华月考）根据以下素材，探究完成任务
　
素材1 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计)，碗高GF=7cm，碗底宽AB=3cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD= 12cm，
此时面汤最大深度EG= 6cm，
素材2 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当点A离MN距离为1.8cm时停止.
问题解决
任务1 确定碗体形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式。
任务2 拟定设计方案1 根据图2位置，把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度(离桌面MN距离)为5cm时，求此时碗中液面宽度。
任务3 拟定设计方案2 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗中液面宽度CH。
【答案】解：（1）如图，以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，
则点E（0，-6），C（6，0），
设所求的函数解析式为y=ax2-6，
将点（6，0）代入，
得36a-6=0，
解得a=
∴抛物线解析式为；
（2） 把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度(离桌面MN距离)为5cm时，y=-2，
把y=-2代入，
得，
解得x=，
∴ 此时碗中液面宽度为：cm；
（3）如图，仍以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，
此时A点离MN的距离为1.8cm，而AB=3cm，
∴sin∠ABM=，
∴tan∠ABM=，
∵CH∥MN，
∴此时坐标系中，CH与x轴的夹角∠DCH=∠ABM，
设直线CH为
将点C（6，0）代入，
得，
解得a=，
∴直线CH的解析式为，
联立直线CH与抛物线的解析式得，
解得，，
∴H（）
∴.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）如图，以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，则点E（0，-6），C（6，0），从而利用待定系数法可求出函数解析式；
（2）将y=-2代入（1）所求的函数解析式算出对应的自变量的值为x=，从而即可求出答案；
（3）如图，仍以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，由题意易得sin∠ABM=，则tan∠ABM=，由CH∥MN，可得此时坐标系中，CH与x轴的夹角∠DCH=∠ABM，设直线CH为将点C（6，0）代入，可算出a的值，从而求出直线CH的解析式，解联立直线CH与抛物线的解析式组成的方程组可得点H（），从而根据坐标平面内两点间的距离公式可算出CH的长.
16．（2023九上·浙江期中）根据以下素材，探索完成任务．
绿化带灌溉车的操作方案
素材1 辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出|喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点。
素材2 路边的绿化带宽4米 　
素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”。针一般打在离地面1.5米到2米的高度(包含端点)。
问题解决
（1）任务1：确定上边缘水流形状
建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式．
（2）任务2：探究灌溉范围
灌溉车行驶过程中喷出的水能浇浓到整个绿化带吗？请说明理由．
（3）任务3：拟定设计方案
灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落。那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围。
【答案】（1）解：设y=a(x+3)2+
把点（0，1.6）代入，得a=
∴y=(x+3)2+
（2）解：能
上边缘y=(x+3)2+
令y=0，即(x+3)2+=0
解得x1=2(舍去)，x2=-8
下边缘：由题意得y=x2+1.6
令y=0，解得x1=4(舍去)，x2=-4
∵(-4)-(-8)=4（m）
喷出来的水能浇灌整个绿化带
（3）解：有影响
∵要满足最大灌溉面积
∴在任务2的前提下
在y=(x+3)2+
令x=-6，得y=1.6>1.5
∴有影响
设打针高度为h(cm)
由素材3知
范围为1.6【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）由（1）得，上边缘，下边缘：由题意得，令y=0，分别求出抛物线与轴交点，进而得解；
（3）根据题意，将x=-6代入，解得得y=1.6>1.5，求出的值与1.5比较，即可求解．
17．（2024九上·杭州月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图，有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米．当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下： x（米）0234y（米）121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求y关于x的表达式．
任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
【答案】解：任务1：根据表格可设二次函数的解析式为：
，
将代入，
解得，
抛物线的解析式为：；
任务2：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：
，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于，
解得，
水管高度至少向上调节米，
喷头距离湖面高度的最小值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：结合表格中的数据，根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
任务2：根据题意和函数解析式，列出不等式，求解，即可求解.
18．（2023·永嘉模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计跳长绳方案
素材1 图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米．
素材2 某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米．
问题解决
任务1 确定长绳形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
任务2 探究站队方式 当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？
任务3 拟定位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．
【答案】解：任务一：
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为 轴，建立直角坐标系，如图：
由已知可得， ， 在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的函数解析式为 ；
任务二：
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
名同学，以直线 为对称轴，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，对称轴左侧的 位男同学所在位置横坐标分布是 ， 和 ，
当 时， ，
∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，
同理当 时， ，
∴绳子不能顺利的甩过女队员的头顶；
∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；
任务三：
两路并排，一排 人，
当 时， ，
解得 或 ，
但第一位跳绳队员横坐标需不大于 （否则第二、三位队员的间距不够 米）
∴ ．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，由已知可得：（0，1）、（6，1）在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为2.5，设y=ax2+bx+c，代入求出a、b、c的值，据此可得对应的函数表达式；
任务二：由函数表达式可得对称轴为直线x=3，以直线x=3为对称轴，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，对称轴左侧的3位男同学所在位置横坐标分布是、、，分别求出x=、对应的y的值，然后进行判断；
任务三：令y=1.66，求出x的值，据此不难得到x的范围.
19．（2023·青岛）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，由题意可得，
，，，
∴，，
把点A坐标代入所设解析式中得：，
解得：，
∴；
（2）解：设的解析式为：，的解析式为：，
分别将，代入得，
，，
解得：，，
∴的解析式为：，的解析式为：，
联立直线解析式与抛物线得：，
解得（舍去），
同理，解，得（舍去），
∴，，
∴E，F两点之间的距离为：；
（3）解：当时，，
解得：，
∴，
∵抛物线向右平移个单位，
∴，
当时，，
当时，，解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），
综上所述：m等于2或4；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1） 设抛物线的解析式为， 利用待定系数法，根据点A、B、C的坐标，即可得出抛物线的表达式；
（2）首先利用待定系数法求得直线AO和BO的解析式，然后与抛物线解析式联立方程组，求得点E、F的坐标，然后根据两点之间的距离求得它们之间的距离即可；
（3）根据平移的性质可得： ，从而得出OD=，即可得出答案。
20．（2023·赤峰）乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离x/
竖直高度y/
（1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：①；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）解：∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：(2)观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
【分析】(1)先将列表中的有序数对表示在坐标系中，再用光滑的曲线连接.
(2)观察图象，根据表格所给信息可得到函数的对称轴，进而得到所需结果；
先将点坐标代入解析式，再利用待定系数法求出解析式.
(3)先表示出新的函数表达式，再将点B坐标代入表达式求解即可.
1 / 12024年中考数学精选压轴之探究项目式学习（二）
一、实践探究题
1．（2024·深圳模拟）【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用。
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 …
运动速度v/（cm/s） 10 9 8 7 6 5 …
滑行距离y/cm 0 19 36 51 64 75 …
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：
（2）【任务二：观察分析】数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）
（3）【任务三：问题解决】当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：
（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以2cm/s的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为　 　．
2．根据以下素材，探索完成任务.如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是某抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m.据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高.
素材2
为迎佳节，拟在图1桥沿前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布.
问题解决
（1）任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.
（2）任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.
（3）任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.
3．（2023九上·瑞安月考）阅读素材，完成任务．
测试机器人行走路径
素材一 图1是某校科技兴趣小组设计的一个可以帮助餐厅上菜的机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．如图为机器人所走的路径．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆时针旋转，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为，所走路径形成的封闭图形的面积为S．
素材二 如图2，当每次直行路程均为1（即），时，机器人的运动路径为，机器人共走的路程，由图2图3易得所走路径形成的封闭图形的面积为．
素材三 如图4，若，机器人执行六次指令后回到起点处停止．
解决问题
任务 固定变量 探索变量 探索内容
任务一 直行路程 旋转角度与路程
任务二 旋转角度 直行路程 若，求与的值．
任务三 旋转角度，路程 路径形成的封闭图形面积S． 若，请直接写出与之间的数量关系，并求出当S最大时的值．
4．（2023九上·青秀月考）【综合与实践】根据以下素材，探索完成任务．
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
（1）任务1 确定桥拱形状：在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2 探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
（3）任务3 拟定设计方案：请你设计一种符合所有悬挂条件的方案．
5．（2023九上·龙湾期中）根据素材回答问题：
素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4 米，AB//OQ，AD//OP，且AB与OQ的距离为10 米，AD与OP的距离为8 米．
素材2 现利用两条小路，再购置30 米长的栅栏(图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1 任务2
小明同学按如图2的设计，若EF=16米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）． 若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．
项目反 思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．
6．（2023九上·杭州期中）完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》．
《蔬菜大棚的设计》
驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？ 2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？ 3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？
项目背景 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间．
数学建模 如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线AED的顶点E（0，4）
问题解决 如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长．
问题解决 为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图，在某一时刻，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．
7．（2023九上·上虞月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽40m，拱顶离水面8m．据调查，该河段水位在此基础上再涨2.1m达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
（1）任务1：确定桥拱形状：
在图2建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2：探究悬挂范围：
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
（3）任务3：拟定设计方案：
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
8．（2023九上·瑞安月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计警戒线之间的宽度？
素材1 图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度AB=24米，拱顶离水面的距离为CD=4米．
素材2 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横 截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三 角形．测得相关数据如下：EF=EK=1.7米，FK=3米， GH=IJ=1.26米，FG=JK=0.4米．
素材3 为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设置航行警戒线，要求如下： ①游船底部HI在P，Q之间通行； ②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．
问题解决
（1）任务1：确定拱桥形状
在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
（2）任务2：设计警戒线之间的宽度
求PQ的最大值．
9．（2024·江门模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉安全通道？ 在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．
素材1 图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
素材2 图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面． 图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度．
素材3 安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．
问题解决
任务1 确定喷泉形状． 在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐 标系，求出抛物线的函数表达式．
任务2 确定喷泉跨度的最小值． 若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值．
任务3 设计通道位置及儿童的身高上限． 现在需要一条宽为的安全通道，为了确保进入安全通道 上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人 的最大身高为多少？（精确到）
10．（2024·广西壮族自治区模拟）综合与实践
优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
信息1 如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．
信息2 如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物线y2是由外边缘抛物线y1向左平移得到，外边抛物线y1最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．
问题解决
任务1 确定浇灌方式 （1）求外边缘抛物线y1的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）直接写出内边缘抛物线y与x轴的正半轴交点B的坐标；
任务2 提倡有效浇灌 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
11．（2024九上·鄞州期末）根据以下材料，探索完成任务：
智能浇灌系统使用方案
材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP最大高度不超过2.4m），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面0.1m． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长8m，宽6m的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处．
问题解决
任务1 确定水流形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管OP的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留）
任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管OP至少需要调节到什么高度？
12．（2024九下·温州模拟）根据以下素材，探索完成任务
如何调整足球的发球方向
素材1 如图是某足球场的一部分，球门宽DE=CF=7m，高CD=EF=2.5m，小梅站在A处向门柱CD一侧发球，点A正对门柱CD(即AC⊥CF)，AC=24m，足球运动的路线是抛物线的一部分.
素材2 如图，当足球运动到最高点时，高度为4.5m，即，此时水平距离，以点为原点，直线BA为轴，建立平面直角坐标系.
素材3 距离球门正前方6m处放置一块矩形拦网HGMN，拦网面垂直于地面，且GH∥CF，拦网高HN=4m.
问题解决
任务1 结合素材1，2，求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式.
任务2 结合素材1，2，小梅不改变发球的方向，射门路线的形状和最大高度保持不变此时足球能否进入球门 若不能进入，他应该带球向正后方至少移动多少米射门才能让足球进入球门
任务3 结合以上素材，小梅站在A处，只改变发球方向，射门路线的形状和最大高度保持不变，请探求此时足球能否越过拦网，在点E处进入球门
上述任务1、任务2、任务3中球落在门柱边线视同足球进入球门
13．（2024九下·沈阳开学考）根据以下素材，探索完成任务．
如何选择合适的跳台高度？
素材1 跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞行至着陆坡．图1是某小型跳台滑雪训练场的实物图，图2是其横截面示意图，以地面的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位于点O的正上方米处，最右端在水平线上，且最高点在距O点水平距离8米处．
素材2 小雪从点O正上方米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝a（x 7）2+8运动．该滑雪场有若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不变．
（1）任务1 确定滑行路径 求a的值；
（2）任务2 确定山坡形状 当小雪滑行到离A处的水平距离为11米时，恰好落在小山坡上，求抛物线C1的函数表达式；
（3）任务3 选择跳台高度 若小雪选择的跳台高度增加了米，请判断在该训练场地滑行时是否会落在小山坡上．
14．（2024九上·杭州月考）根据以下素材，探索完成任务
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案
素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示． 某时测得水面宽，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
问题解决
（1）任务1 确定桥拱形状
根据图2，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2 拟定设计方案
求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
（3）任务3 探究救生绳长度
当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
15．（2023九上·金华月考）根据以下素材，探究完成任务
　
素材1 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计)，碗高GF=7cm，碗底宽AB=3cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD= 12cm，
此时面汤最大深度EG= 6cm，
素材2 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当点A离MN距离为1.8cm时停止.
问题解决
任务1 确定碗体形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式。
任务2 拟定设计方案1 根据图2位置，把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度(离桌面MN距离)为5cm时，求此时碗中液面宽度。
任务3 拟定设计方案2 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗中液面宽度CH。
16．（2023九上·浙江期中）根据以下素材，探索完成任务．
绿化带灌溉车的操作方案
素材1 辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出|喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点。
素材2 路边的绿化带宽4米 　
素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”。针一般打在离地面1.5米到2米的高度(包含端点)。
问题解决
（1）任务1：确定上边缘水流形状
建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式．
（2）任务2：探究灌溉范围
灌溉车行驶过程中喷出的水能浇浓到整个绿化带吗？请说明理由．
（3）任务3：拟定设计方案
灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落。那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围。
17．（2024九上·杭州月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图，有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米．当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下： x（米）0234y（米）121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决
任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求y关于x的表达式．
任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
18．（2023·永嘉模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计跳长绳方案
素材1 图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米．
素材2 某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米．
问题解决
任务1 确定长绳形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
任务2 探究站队方式 当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？
任务3 拟定位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．
19．（2023·青岛）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．
20．（2023·赤峰）乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离x/
竖直高度y/
（1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：设，代入得
，
解得：
；
二次函数经过原点（0，0），可设，代入得
，
解得：
（3）解：当时，
解得：，
将代入
得：，
当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离为．
（4）
【知识点】二次函数的其他应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（4）黑球到达A点的速度为10cm/s.
若黑球x秒撞上电动小车，则.
整理得：
由于黑球不能撞上小车，即方程无解，故
解得n>64.
故答案为：n>64.
【分析】（1）直接在坐标系中描点，连线即可；
（2）利用待定系数法求解即可.
（3）令v=0，可得停下时滑行的时间x，把x值代入，即可求出此时的滑行距离.
（4）设x秒能追上，得到关于x的一元二次方程，令，得关于x的不等式，求解即可得到撞不上时n的取值.
2．【答案】（1）解：以拱顶为原点，建立如图1 所示的直角坐标系，
则顶点为(0，0)，且过点B(10，一5)，易求抛物线的函数表达式为 y=- x .
（2）解：∵该河段水位再涨1.8m 达到最高，灯笼底部距离水面不小于 1m，灯笼长0.4m，∴悬挂点的纵坐标y≥-5+1.8+1+0.4=-1.8，即悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8，当y=-1.8时∴x=±6，∴悬挂点的横坐标的取值范围是-6≤x≤6.
（3）解：方案一：如图2(坐标轴的横轴)，从顶点处开始悬挂灯笼，
∵-6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4>6，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3<6，∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为-1.6×3=-4.8；
方案二：如图3.
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×(5-1)>6，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×(4-1)<6，∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂8 盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为-0.8-1.6×3=-5.6.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）根据该河段水位再涨1.8m 达到最高，灯笼底部距离水面不小于 1m，灯笼长0.4m，可计算出悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8m，再求出y=-1.8m时x值，继而得出x的范围；
（3）分两种方案，挂7盏和8盏，据此分别解答即可.
3．【答案】解：任务一：当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：12，8，5．
任务二：构造如图所示的三角形，△ABC，△AHH，△DBE，△GFC，
∵α=60°，
∴△ABC，△AHH，△DBE，△GFC为等边三角形，
∴CG=b2=4，AH=b4=3，
∴AC=AH+b3+CG=4+1.5+3=8.5，
则 AB=AC=BC=8.5，
∵b1=2，b2=4，
∴EF=2，CF=4，
∴b6=BE=BC-EF-CF=8.5-2-4=2.5，
∴b5=DI=AB-AI-BD=8.5-3-2.5=3.
任务三：如图，构造等边△GHI，
∴GI=b3+b4+4，b6=GI-4-2=b3+b4-2，b5=GI-b6-b4=6-b4，
∵l=20，
∴2+4+b3+b4+6-b4+b3+b4-2=20，
∴2b3+b4=10；
如图：令等边三角形边长为a，高为h，
则，
∴等边三角形面积，
∴，
∴，
∴当S最大时，.
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；等边三角形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】任务一：每次逆时针旋转α ，则旋转次，即可回到起点，代入计算即可；
任务二：首先构造四个等边三角形，根据等边三角形的三条边相等，即可求出等边三角形的边长，即可求解；
任务三：构造等边△GHI，根据等边三角形的三条边相等表示出b6、b5的长度，结合题意求得2b3+b4=10，令等边三角形边长为a，高为h，根据特殊角的三角形函数值可得，根据三角形的面积公式可求出S的表达式，结合二次函数的性质即可求解.
4．【答案】（1）解：以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，则顶点为，且过点，
设抛物线的解析式为，
把点代入上式得，
解得，
故抛物线的函数表达式为；
（2）解：该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，
当悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，
，
悬挂点的横坐标的取值范围是；
（3）解：方案一：如图（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂7盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为；
方案二：如图，
若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂8盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为：．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法即可求解；
（2）根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可得悬挂点的纵坐标最小值是-1.8m，
由此得到关于x的一元二次方程，解方程即可求解自变量的取值范围；
（3）方案一、从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可得一共可挂7盏灯笼，最左边一盏灯笼横坐标为；方案二、根据顶点一侧悬挂5盏灯笼和4盏灯笼进行讨论，可得顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，再根据抛物线的对称性即可得出结论.
5．【答案】解：任务1：如图2，
由题意知：EF=16，FG=14，矩形OEFG面积为224，
224-16=208，
答：花圃的面积为208
任务2：由图3，设BF=x，花圃面积为y，
由题意得： y=10x+8(12-x)+40+80+32=2x+248
当x=12时，y有最大值为272
由图4，设EF=x，花圃面积为y，则FG=22-x，
由题意得：y=x(22-x)+40+80+32
得：， 当x=11时，y有最大值为273
所以：图4方案的最大面积更大，为273
项目反思：由图5，设GF=2x，花圃面积为y，则FE=22-2x，
由题意得： y=x(22-2x)++40+80+32
所以：图5方案最大面积更大.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】根据矩形的面积列出函数解析式，根据二次函数的性质得最大值，比较即可.
6．【答案】解：数学建模：∵抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为，
图象过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
问题解决：由题意，可知L、R的纵坐标为，
代入函数解析式，得，
解得，
∴点L，R的坐标分别为，，
∴点G，M的坐标分别为，，
∴，
答：两个正方形装置的间距的长为；
问题解决：设直线的解析式为，
点A，C的坐标分别为，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，设直线的解析式
∴直线与抛物线联立
，整理得有两个相等实数根，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，即，
解得，
∴，
∴．
答：的长为
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】数学建模：设抛物线的解析式为，把代入解析式，计算求解即可；
问题解决：根据抛物线的解析式求出点G，M的坐标分别为，，即可求出的长；
问题解决：先求出直线的解析式为，设直线的解析式，与抛物线解析式联立，利用即可求出，即直线的解析式为，令，推出，进而可求的长．
7．【答案】（1）解：如下图建立空间直角坐标系：
则顶点坐标为，则可设抛物线的解析式为：又抛物线经过点，则解得：则抛物线的解析式为：
（2）解：由题意知： 河段水位在此基础上再涨2.1m达到最高且 灯笼底部距离水面不小于1m ，灯笼长0.4m，则灯笼悬挂点的纵坐标：所以悬挂点的纵坐标最小值为，当时解得：所以悬挂点横坐标的取值范围为：
（3）解：从顶点处开始悬挂，因为，且相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，若顶点一侧悬挂灯笼时，则顶点一侧最多悬挂15盏灯笼，此时最左边悬挂点的横坐标为：共悬挂30盏灯笼.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的实际应用.能根据题意建立二次函数的模型是关键.
（1）建立以原点为顶点的直角坐标系，设出函数的顶点式，再将点代入即可求解；
（2）根据题意可得纵坐标y必须满足：从而解得：得到横坐标的取值范围；
（3）本小问答案不唯一，如果从顶点处开始悬挂，根据相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，可得解得顶点一侧最多悬挂15盏灯笼，此时最左边悬挂点的横坐标为：共悬挂30盏灯笼.
8．【答案】（1）解：以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵AB=24，CD=4，
∴点B的坐标为（12，0），顶点为（0，4）
设抛物线解析式为y=ax2+4，
把B（12，0）代入得
∴；
（2）解：过点E作EM⊥FK于点M
∵EF=EK=1.7米，FK=3米，
∴FM=1.5米，
∴（米）．
由题意可知，当PQ最大时，
点E的纵坐标为0.8+1.26+0.5=2.56；
令y=2.56，得，
解得：x1=7.2，x2=-7.2（舍去），
∵FG=JK=0.4米，
∴MG=MJ=1.1米，
∵游船底部HI在P，Q之间通行，
∴PQ的最大值为（7.2+1.1）×2=16.6（米）；
【知识点】等腰三角形的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求出点B的坐标为（12，0），顶点C为（0，4），再用待定系数法可得求解；
（2）过点E作EM⊥FK于点M，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出EM=0.8，当PQ最大时，点E的纵坐标为2.56，代入求出x的值，可得MG=MJ=1.1米，即可得PQ的最大值．
9．【答案】解：任务
点坐标为，点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的最高点为3，顶点坐标为
设抛物线的函数表达式为过点，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为．
任务
当喷水管最高可伸长到时，
设此时的抛物线的函数表达式为，
当时，，解得：，
由，得，解得：或（舍），
．
任务
由题意得：当点落在上，
当点落在上时，最大．
延长交抛物线与点，
，，
，关于直线对称，点的横坐标为0.5，
当时，，
∴则能够进入该安全通道的人的最大身高为1.3米．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】 由任务1先求出抛物线的对称轴，顶点坐标，设解析式为顶点式，将（0，0）代入解析式，求出二次项系数，从而可得抛物线的解析式；
任务2设抛物线解析式为：，（0，2.25）代入可求抛物线解析式，从而求OB的值；
在任务3中，设F（n，h），可得用n，h表示E点坐标，代入对应的抛物线解析式求解．
10．【答案】【解答】解：（1）如图1， 由题意得是外边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
，
，
∴外边缘抛物线的函数解析式为，
当y=0时，，解得(舍去)，
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵对称轴为直线
∴点的对称点为，
∴y2是由y1向左平移4m得到的，
由（1）可得，
∴点B的坐标为；
（3）∵EF=0.5m，
∴点F的纵坐标为0.5，
，
解得 ，
∵，
，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时， 要使，
则，
∵当时， y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴OD的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴OD的最小值为2，
∴OD的取值范围是.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得，是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为0时的x的值即可求喷出水的最大射程OC；
（2）根据y2对称轴为直线可得点的对称点为，则y2是由y1向左平移4m得到的，即可求出点B的坐标；
（3）根据EF=0.5m，求出点F的坐标，利用增减性可得OD的最大值和最小值，从而得出答案.
11．【答案】解：任务1：如图，以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
此时，，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达为，
将代入得，，
∴抛物线的函数表达式为．
（其他建系方式均可，按步给分）
任务2：当时，即将抛物线向上平移2.4个单位，
得．
令，则，解得：，（舍去），
∴浇灌最大圆形区域面积为．
任务3：连结AC，如图：
由题意知AC过点O，，
∴，
∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为5m．
设，此时抛物线函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴OP至少调节到1.5m．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）以O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，表示出点O和M以及顶点的坐标，可用两点式设函数表达式，代入顶点坐标求出a值，即可得表达式；
（2）灌溉面积最大时，OP=2.4米，相当于将函数图象向上平移2.4个单位，求出新的函数表达式，令y=0，求解，即可得到最大灌溉半径，从而得到最大灌溉面积；
（3）确定灌溉完整个矩形区域时的最大灌溉半径r，即矩形对角线的一半长，设水管调节高度为h，即向上平移h个单位，得到新的函数表达式，把半径r的值代入，即可得到调节高度h.
12．【答案】解：任务一：由题意得抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
抛物线经过点，
，
解得，
足球运动轨迹抛物线的函数表达式为
任务二：当时，即时，
，
足球不能进入球门，
小梅带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：
把点代入得：，
解得(舍去)或
向正后方移动1米射门
任务三：
如图构造三角形，
由题意可知：
当时，，
能过拦网.
当时，
能在处入网
【知识点】相似三角形的应用；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务一：根据题意，确定抛物线顶点坐标，设抛物线的顶点式，再把代入，即可求出抛物线解析式.
任务二：根据题意，确定C点横坐标为24，代入抛物线解析式求得C点纵坐标，与CD比较，若小于CD长则可以进入球门，否则不能进入球门，利用函数图象的平移规律，设出移动后的抛物线解析式，再把点代入，求出平移距离即可.
任务三，根据题意，构建数学模型，运用相似三角形性质，求出拦网处的横坐标，再由纵坐标判断是否可以过网，由于AF=25，故验证x=25时，纵坐标与2.5的大小，判断能否在点E处进入球门.
13．【答案】（1）解：把（0，）代入抛物线C2：y＝a（x 7）2+8得，
a（0﹣7）2+8，
解得a；
（2）解：由（1）知，抛物线C2：y（x 7）2+8，
当x＝11时，y（11﹣7）2+816+8＝6，
∴小雪在小山坡的落地点坐标为（11，6），
设抛物线C1的解析式为y＝m（x﹣8）2+k，
把（0，），（11，6）代入y＝m（x﹣8）2+k得，
，
解得，
∴抛物线C1的解析式为y（x﹣8）2；
（3）解：小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上．
∵跳台高度增加了米，相当于把抛物线C2向上平移了个单位长度，
∴平移后的解析式为y（x﹣7）2+8，
令y＝0，则（x﹣7）2+80，
解得x1＝16，x2＝﹣2（舍去），
∴小雪落地时距O点16米；
对于抛物线C1：令y＝0，则（x﹣8）20，
解得x＝17或x＝﹣1（舍去），
∵17＞16，
∴小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】( 1 )根据题意，将（0，）代入抛物线C2：y＝a（x 7）2+8求出a的值即可；
（2）首先设抛物线的解析式为：y=m(x-8)2 +k，再根据抛物线C2求出小雪在小山坡的落地点的坐标为(11，6)，然后再把(0，)，(11，6)两点代入y= m(x-8)2+k中，可得关于字母m、k的方程组，从而得到C1的解析式即可；
（3）先求出跳台增高后的抛物线解析式，然后当y=0时，求出x的值；再令抛物线中 y=0，求出x的值，最后即可得出结论.
14．【答案】（1）解：如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为，抛物线经过，，得
，解得
∴．
（2）解：抛物线，令，，解得或10
∴点
如题，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，
∵
∴左侧可挂3个，桥面可挂6个．
最右侧位于点上方1m处，即点．
（3）解：
如图，当水位达到最高时，水位线为，
救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，当时，，，，
中，（m），故至少需21m．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式，将已知两个点的坐标代入解析式，列二元一次方程组，解方程即可求出抛物线的解析式；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点的性质，与x轴相交时，令y=0，解一元二次方程即可求出点F的坐标；根据关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求出点G的坐标；
（3）根据实际水位达到最高时，列代数式即可求出此时的水位线即y的值；根据勾股定理，即可求出EM的值.
15．【答案】解：（1）如图，以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，
则点E（0，-6），C（6，0），
设所求的函数解析式为y=ax2-6，
将点（6，0）代入，
得36a-6=0，
解得a=
∴抛物线解析式为；
（2） 把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度(离桌面MN距离)为5cm时，y=-2，
把y=-2代入，
得，
解得x=，
∴ 此时碗中液面宽度为：cm；
（3）如图，仍以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，
此时A点离MN的距离为1.8cm，而AB=3cm，
∴sin∠ABM=，
∴tan∠ABM=，
∵CH∥MN，
∴此时坐标系中，CH与x轴的夹角∠DCH=∠ABM，
设直线CH为
将点C（6，0）代入，
得，
解得a=，
∴直线CH的解析式为，
联立直线CH与抛物线的解析式得，
解得，，
∴H（）
∴.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）如图，以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，则点E（0，-6），C（6，0），从而利用待定系数法可求出函数解析式；
（2）将y=-2代入（1）所求的函数解析式算出对应的自变量的值为x=，从而即可求出答案；
（3）如图，仍以CD所在的直线为x轴，EG所在的直线为y轴建立直角坐标系，由题意易得sin∠ABM=，则tan∠ABM=，由CH∥MN，可得此时坐标系中，CH与x轴的夹角∠DCH=∠ABM，设直线CH为将点C（6，0）代入，可算出a的值，从而求出直线CH的解析式，解联立直线CH与抛物线的解析式组成的方程组可得点H（），从而根据坐标平面内两点间的距离公式可算出CH的长.
16．【答案】（1）解：设y=a(x+3)2+
把点（0，1.6）代入，得a=
∴y=(x+3)2+
（2）解：能
上边缘y=(x+3)2+
令y=0，即(x+3)2+=0
解得x1=2(舍去)，x2=-8
下边缘：由题意得y=x2+1.6
令y=0，解得x1=4(舍去)，x2=-4
∵(-4)-(-8)=4（m）
喷出来的水能浇灌整个绿化带
（3）解：有影响
∵要满足最大灌溉面积
∴在任务2的前提下
在y=(x+3)2+
令x=-6，得y=1.6>1.5
∴有影响
设打针高度为h(cm)
由素材3知
范围为1.6【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）由（1）得，上边缘，下边缘：由题意得，令y=0，分别求出抛物线与轴交点，进而得解；
（3）根据题意，将x=-6代入，解得得y=1.6>1.5，求出的值与1.5比较，即可求解．
17．【答案】解：任务1：根据表格可设二次函数的解析式为：
，
将代入，
解得，
抛物线的解析式为：；
任务2：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：
，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于，
解得，
水管高度至少向上调节米，
喷头距离湖面高度的最小值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：结合表格中的数据，根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
任务2：根据题意和函数解析式，列出不等式，求解，即可求解.
18．【答案】解：任务一：
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为 轴，建立直角坐标系，如图：
由已知可得， ， 在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的函数解析式为 ；
任务二：
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
名同学，以直线 为对称轴，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，对称轴左侧的 位男同学所在位置横坐标分布是 ， 和 ，
当 时， ，
∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，
同理当 时， ，
∴绳子不能顺利的甩过女队员的头顶；
∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；
任务三：
两路并排，一排 人，
当 时， ，
解得 或 ，
但第一位跳绳队员横坐标需不大于 （否则第二、三位队员的间距不够 米）
∴ ．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，由已知可得：（0，1）、（6，1）在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为2.5，设y=ax2+bx+c，代入求出a、b、c的值，据此可得对应的函数表达式；
任务二：由函数表达式可得对称轴为直线x=3，以直线x=3为对称轴，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，对称轴左侧的3位男同学所在位置横坐标分布是、、，分别求出x=、对应的y的值，然后进行判断；
任务三：令y=1.66，求出x的值，据此不难得到x的范围.
19．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，由题意可得，
，，，
∴，，
把点A坐标代入所设解析式中得：，
解得：，
∴；
（2）解：设的解析式为：，的解析式为：，
分别将，代入得，
，，
解得：，，
∴的解析式为：，的解析式为：，
联立直线解析式与抛物线得：，
解得（舍去），
同理，解，得（舍去），
∴，，
∴E，F两点之间的距离为：；
（3）解：当时，，
解得：，
∴，
∵抛物线向右平移个单位，
∴，
当时，，
当时，，解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），
综上所述：m等于2或4；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1） 设抛物线的解析式为， 利用待定系数法，根据点A、B、C的坐标，即可得出抛物线的表达式；
（2）首先利用待定系数法求得直线AO和BO的解析式，然后与抛物线解析式联立方程组，求得点E、F的坐标，然后根据两点之间的距离求得它们之间的距离即可；
（3）根据平移的性质可得： ，从而得出OD=，即可得出答案。
20．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：①；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）解：∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：(2)观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
【分析】(1)先将列表中的有序数对表示在坐标系中，再用光滑的曲线连接.
(2)观察图象，根据表格所给信息可得到函数的对称轴，进而得到所需结果；
先将点坐标代入解析式，再利用待定系数法求出解析式.
(3)先表示出新的函数表达式，再将点B坐标代入表达式求解即可.
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