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2023-2024北师大版七年级数学下册第五章《生活中的轴对称》
综合复习（原卷版）
选择题
1．如图，四个图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，那么线段AC的对应线段是（ ）
A．AB B．DF C．DE D．EF
4．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．线段 B．角 C．直角三角形 D．等腰三角形
5．如图图形是以科学家名字命名的，其中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.．如图，P是 外的一点，M，N分别是 两边上的点，点P关于 OA 的对称点Q恰好落在线段 MN 上，点P关于 OB 的对称点R恰好落在 MN 的延长线上． 若 ， ， ，则线段 QN 的长为 （ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
如图，四边形 中， ，在 、 上分别找一点 ，使 周长最小时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC=2，点E是AC边上的动点，则BE+ED的和最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
9．如图所示，正方形ABCD的面积为16， 是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PB＋PE的和最小，则这个最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使B点恰好与D点重合，已知AD＝8，CD＝4，则折痕EF的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
填空题
11．如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有 个。
12．小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 .
13．折纸是一项有趣的活动，如图所示，一张长方形纸片，先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后若，则
14．如图，AB 是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 (结果保留π)．
15．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于B，C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，，，，其中交于点E．若，则下列结论正确的是 ．（只填序号）
①；②；③；④；⑤若，则与的周长差1.5．
综合题
16．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
（2）写出AA1的长度．
17．如图，已知的边，边的垂直平分线分别交于点，连结．
（1）找出图中相等的线段： ；（写出一组即可）
（2）若的周长为，求边．
18．请将下面的推理过程补充完整．
（1）如图，已知，，分别，相交，，平分，求的度数．
解：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等）
∵平分（已知），
∴∠= ▲ ∠ ▲ =70°（角平分线的定义）
∵（已知）．
∴（ ）
（2）如图，，，，分别与，相交，且，求证．
证明：∵（已知），
∴（ ），
∵（ ），
∴（ ）．
又（已知），
∴∠ ▲ =∠ ▲ ．
∴（ ）．
19．已知直线，点E在、之间，点P、Q分别在直线、上，连接、.
（1）如图①，过点E作，为探究、、之间的数量关系，请你完成下列解题过程：
，（已知），
，
▲ ， ▲ （ ），
，
.
（2）如图②，请直接写出、、之间的数量关系；
（3）如图③，平分，平分，当时，直接写出的度数.
20．同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．
（1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在纸上画出一条直线BC，在BC外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线BC上（如图2），记折痕DE与BC的交点为A，将纸片展开铺平．则 ▲ ．
②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线DP上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，PF就是BC的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；
（2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，连接DF交AB于点G，连接EF，并在EF上找一点H，使得，试判断线段HP与DF的位置关系，并说明理由．
21．在中，，线段、分别平分、交于点G.
（1）如图1，求的度数；
如图2，求证：；
（3）如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长，
22． 在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
在x轴上有两个点，它们的坐标分别为（a，0）和（c，0），则这两点所成线段的长为|a﹣c|；同样的，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两点所成线段的长为|b﹣d|．
如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别是（a，b）和（c，d），分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q＝|a﹣c|，PQ＝|b﹣d|，利用勾股定理可得，线段P1P2的长为．
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A（7，﹣2），B（7，7），则线段AB的长为 ．
（2）在平面直角坐标系中，已知M（﹣4，3），N（8，﹣2），则线段MN的长为 ．
（3）若点C在y轴上，点D的坐标是（﹣3，1），且CD=5，则点C的坐标是 ．
（4）如图2，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的动点，且A、B、C三点不在同一直线上，求△ABC周长的最小值．
23．在中，．
（1）如图1，在边上找一点E，连接，使得，过点B作的垂线交延长线于点G，延长，交于点D．若，求的长度；
（2）如图2，在内部找一点E，连接，将绕点E旋转至交于点O，使得，连接，取的中点D，连接．求证：；
（3）如图3，在（2）问的条件下，若，且，交于点R，点P为线段上一动点，连接，将线段绕着R点顺时针方向旋转，得到线段，连接．当线段长度最小时，请直接写出的值．
∴ PR：AQ的值是.
【分析】本题主要考查等边三角形旋转的性质，垂线段最短、等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，构造全等三角形是关键。
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2023-2024北师大版七年级数学下册第五章《生活中的轴对称》
综合复习（答案解析版）
选择题
1．如图，四个图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C.
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确
故答案为：D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确
故答案为：D．
3．如图，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，那么线段AC的对应线段是（ ）
A．AB B．DF C．DE D．EF
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴AC=DF.
故答案为：B.
4．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．线段 B．角 C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： A 、线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线，故A项不符合题意；
B 、角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故B项不符合题意；
C 、直角三角形不一定是轴对称图形，故C项符合题意；
D、 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的角平分线所在的直线，故D项不符合题意.
故答案为：C.
5．如图图形是以科学家名字命名的，其中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：“笛卡尔心形线”和“科克曲线”是轴对称图形，共有2个，
故答案为：B．
6.．如图，P是 外的一点，M，N分别是 两边上的点，点P关于 OA 的对称点Q恰好落在线段 MN 上，点P关于 OB 的对称点R恰好落在 MN 的延长线上． 若 ， ， ，则线段 QN 的长为 （ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴PM＝MQ，PN＝NR，
∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，MR＝7cm，
∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm，
即NQ＝MR MQ-RN＝7-2.5-3＝1.5（cm）．
故答案为：B．
7．如图，四边形 中， ，在 、 上分别找一点 ，使 周长最小时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180° 120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°，
故答案为：C.
8．如图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC=2，点E是AC边上的动点，则BE+ED的和最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，
∵B、B′关于AC的对称，
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD= ，BD=CD=1，BB′=2AD=2 ，
作B′G⊥BC的延长线于G，
∴B′G=AD= ，
在Rt△B′BG中，
BG= =3，
∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，
在Rt△B′DG中，BD= ．
故BE+ED的最小值为 ．
故选B．
9．如图所示，正方形ABCD的面积为16， 是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PB＋PE的和最小，则这个最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BD，交AC于O，
∵正方形ABCD，
∴OD=OB，AC⊥BD，
∴D和B关于AC对称，
则DE交于AC的点是P点，此时PB+PE最小，
∵在AC上取任何一点（如Q点），QB+QE都大于PB+PE即DE的长，
∴此时PB+PE最小，
此时PB+PE=DE，
∵正方形的面积是16， 是等边三角形，
∴BE=AB= ，
即最小值是4．
故答案为：C．
10．如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使B点恰好与D点重合，已知AD＝8，CD＝4，则折痕EF的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作于H，则，
四边形为矩形，
，，，，
，
矩形沿折叠，使B点与D点重合，
，，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
故答案为：D．
填空题
11．如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有 个。
【答案】3
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：在3个空白的角落处的小方格中分别画上半径相等的圆，即可得到轴对称图形.
故这样的轴对称图形共有3个.
12．小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 .
【答案】15：01
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为15：01；
故答案为：15：01
13．折纸是一项有趣的活动，如图所示，一张长方形纸片，先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后若，则
【答案】17
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠GEF=∠BFE=62°，
∴∠AEF=180°-∠GEF=118°，
由题意得：∠A′=∠A=90°，∠A′EF=∠AEF=118°，∠DGH=∠D′GH，
∴∠A′EG=∠A′EF-∠GEF=118°-62°=56°，
∴∠A′GE=180°-90°-∠A′EG=34°，
∴∠DGD′=∠A′GE=34°，
∴；
故答案为：17.
14．如图，AB 是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 (结果保留π)．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连结OC，
则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，
∴S弓形BO =S弓形CO．
在Rt△BOD中，OD=DE= R=2，OB=R=4，
∴∠OBD=30° ，∠AOC= 60°，
∴S阴影= S扇形AOC = = .
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，则点E是的中点，连结OC，由折叠可得S弓形BO =S弓形CO，根据S阴影= S扇形AOC 即可求解.
15．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于B，C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，，，，其中交于点E．若，则下列结论正确的是 ．（只填序号）
①；②；③；④；⑤若，则与的周长差1.5．
【答案】①②③④
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
根据作图可知，，
∴，故①正确；
②根据作图可知，，，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④∵，
∴，故④正确；
⑤在上取点F，使，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∵，
，
∴，故⑤错误；
综上分析可知，正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
综合题
16．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
（2）写出AA1的长度．
【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）解：由网格可得：AA1的长度为：10；
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）由网格图的特征并结合轴对称的性质可求解；
（2）由网格图的特征可求解.
17．如图，已知的边，边的垂直平分线分别交于点，连结．
（1）找出图中相等的线段： ；（写出一组即可）
（2）若的周长为，求边．
【答案】（1）
（2）解：∵为的垂直平分线，
∴
∴的周长
∵
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，∠EDB=∠EAD=90°，
又ED=ED，
可证(SAS)
则AE=BE.
【分析】（1）本题直接利用垂直平分线的性质证全等，即可知AE=BE。
（2）由上题可知AE=BE，则BC=CE+AE，因为 的周长为，边 ，可知CE+AE=7a，则BC=7a。
18．请将下面的推理过程补充完整．
（1）如图，已知，，分别，相交，，平分，求的度数．
解：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等）
∵平分（已知），
∴∠= ▲ ∠ ▲ =70°（角平分线的定义）
∵（已知）．
∴（ ）
（2）如图，，，，分别与，相交，且，求证．
证明：∵（已知），
∴（ ），
∵（ ），
∴（ ）．
又（已知），
∴∠ ▲ =∠ ▲ ．
∴（ ）．
【答案】（1）解：（已知），
（两直线平行，同位角相等）．
平分 （已知），
（角平分线的定义）．
（已知），
两直线平行，内错角相等）；
（2）证明：（已知），
（两直线平行，同位角相等）．
（对顶角相等），
（等量代换）．
又（已知），
．
（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】本题考查平行线的性质与判定和角平分线的性质。熟悉平行线的性质判定是解题关键。根据平行线，得出三类角（同位角相等，内错角相等，同旁内角互补）的关系，或根据角度的关系判定直线平行。（1） 由AD∥BC得 ，由平分得 ，则；（2）由得；结合得；结合可得，则有.
19．已知直线，点E在、之间，点P、Q分别在直线、上，连接、.
（1）如图①，过点E作，为探究、、之间的数量关系，请你完成下列解题过程：
，（已知），
，
▲ ， ▲ （ ），
，
.
（2）如图②，请直接写出、、之间的数量关系；
（3）如图③，平分，平分，当时，直接写出的度数.
【答案】（1）；；两直线平行，内错角相等.
（2）
（3）
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（2）如图，过点E作EH∥AB，
，
，
(3)如图，过点E作EH∥AB，过点F作MF∥CD，
， EH∥AB，MF∥CD，
EH∥CD，MF∥AB，
，
平分，平分，
MF∥CD，
【分析】（1）根据平行线的性质即可求解；
（2）过点E作EH∥AB，利用平行线的性质和角的和差关系即可求解；
（3）过点E作EH∥AB，过点F作MF∥CD，利用平行线的性质与角平分线的定义即可求解.
20．同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．
（1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在纸上画出一条直线BC，在BC外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线BC上（如图2），记折痕DE与BC的交点为A，将纸片展开铺平．则 ▲ ．
②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线DP上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，PF就是BC的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；
（2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，连接DF交AB于点G，连接EF，并在EF上找一点H，使得，试判断线段HP与DF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：①90；
②证明：与重合，
，
又，
，
由①知，
，
；
（2）解：，理由如下：
由②知，，
又，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）①由折叠可得∠PAC=∠PAB.
∵∠PAC+∠PAB=180°，
∴2∠PAB=180°，
∴∠PAB=90°.
故答案为：90.
【分析】（1）①由折叠可得∠PAC=∠PAB，根据平角的概念可得∠PAC+∠PAB=180°，据此求解；
②由题意可得∠EPF=∠E′PF，根据平角的概念可得∠EPF+∠E′PF=180°，则∠EPF=90°，由①知∠PAB=90°，则∠EPF=∠PAB，然后根据平行线的判定定理进行解答；
（2）由②知PF∥BC，根据平行线的性质可得∠PFD=∠AGD，由已知条件可知∠HPF=∠AGD，则∠HPF=∠PFD，然后根据平行线的判定定理进行解答.
21．在中，，线段、分别平分、交于点G.
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，求证：；
（3）如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长，
【答案】（1）解：在中
∵
∴
∵平分、平分
∴，
∴
在中
∴
（2）解：作平分交于点
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
（3）解：作交延长线于点
作交延长线于点
作于点
∵平分
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴平分
∵，
∴
∵平分，，
∴
∴
∴平分
∵
∴
∴
由（1）得
∴
∵
∴
∵
∴
由（2）得
∴
∵
∴
∴
∵
∴
作于点，于点，于点
∵
∴
∴
∴
∴
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理结合已知条件得到，再根据角平分线的性质即可得到，进而求出的度数；
（2）作平分交于点，根据角平分线的性质得到利用"SAS"证明得到，再利用"SAS"证明得到，进而证明；
（3） 作交延长线于点，作交延长线于点，作于点 作于点，于点，于点，根据角平分线的性质得到，证明得到进而证明得到利用等面积法，得到，求出MG的长度，进而即可求解.
22． 在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
在x轴上有两个点，它们的坐标分别为（a，0）和（c，0），则这两点所成线段的长为|a﹣c|；同样的，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两点所成线段的长为|b﹣d|．
如图1，在直角坐标系中的任意两点P1，P2，其坐标分别是（a，b）和（c，d），分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P1Q＝|a﹣c|，PQ＝|b﹣d|，利用勾股定理可得，线段P1P2的长为．
根据上面材料，回答下面的问题：
（1）在平面直角坐标系中，已知A（7，﹣2），B（7，7），则线段AB的长为 ．
（2）在平面直角坐标系中，已知M（﹣4，3），N（8，﹣2），则线段MN的长为 ．
（3）若点C在y轴上，点D的坐标是（﹣3，1），且CD=5，则点C的坐标是 ．
（4）如图2，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的动点，且A、B、C三点不在同一直线上，求△ABC周长的最小值．
【答案】（1）9
（2）13
（3）（0，5）或（0，-3）
（4）解：作点A关于y轴的对称点D（-1，4），连接BD交y轴于点C，则此时△ABC周长最小，
∵CA=CD，AB为定长，
∴△ABC周长=AB+AC+BC=AB+CD+BC=AB+BD为最小，
则，
同理可得：，
故△ABC周长的最小值=AB+AC+BC=AB+CD+BC=AB+BD=．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的综合；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：9；
（2）
故答案为：13；
（3）设C（0，a），
则
解得a=5或-3，
即点C的坐标为（0，5）或（0，-3）
故答案为：（0，5）或（0，-3）；
【分析】（1）由平面内两点间的距离公式直接计算即可求解；
（2）由平面内两点间的距离公式直接计算即可求解；
（3）设C（0，a），由平面内两点间的距离公式建立方程，解得a=5或-3，即可得到答案；
（4）作点A关于y轴的对称点D（-1，4），连接BD交y轴于点C，则此时△ABC周长最小，根据平面内两点间的距离公式分别计算AB和BD的长，然后相加即可得到答案.
23．在中，．
（1）如图1，在边上找一点E，连接，使得，过点B作的垂线交延长线于点G，延长，交于点D．若，求的长度；
（2）如图2，在内部找一点E，连接，将绕点E旋转至交于点O，使得，连接，取的中点D，连接．求证：；
（3）如图3，在（2）问的条件下，若，且，交于点R，点P为线段上一动点，连接，将线段绕着R点顺时针方向旋转，得到线段，连接．当线段长度最小时，请直接写出的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，，
∴，
在和中
∴
∴；
（2）解：如图所示，延长到G，使，连，
∵D为的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，，
由旋转知：，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理的应用；旋转的性质
【解析】【解答】（3）如图所示，
由（2）得：
∴ DC=FD 即 FC=2DC
∵ FC=2AE
∴ AE=DC
由（2）得：是等腰直角三角形
∴ ∠AED=45°
∵ ∠AED+∠CDE=90°
∴ ∠CDE=45°
∴ AE∥DC
∴ 四边形AECD为平行四边形
∴ AR=
以AR为边，在AR左侧作等边三角形AMR，点P在AB上，连接PR，顺时针旋转60° ，得到RQ，连接PM，AQ
∴ PR=RQ，∠PRM=∠QRA=60°-∠PRA
∴（SAS）
∴ PM=QA
∴ AQ长度最小时，即PM最小。
∴ PM⊥AB，此时PM最小
∵ ∠MAR=60°
∴ 在中，∠PAM=30°，则PM=AM=AR=AC，AP===
∴ 在中，PR====
∴ PR：AQ=（）：（AR）=：1
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