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北师大版2023-2024学年七年级数学下册期中模拟测试卷（原卷版）
一、选择题
1．下列不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，和是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
4．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠E B．AC＝DF
C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
5．向一个容器内以固定的速度注入水，液面升高的高度h与注水时间t的图像大致如图所示，则符合图象条件的容器为（ ）
A． B． C． D．
6．北京2022年冬奥会会徽（冬梦），是第24届冬季奥林匹克运动会使用的标志，主要由会徽图形、文字标志、奥林匹克五环标志组成，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（ ）
A．a
9．下列结论中： ①若 ， 则 ；②若 ， 则 的值为 ； ③若规定： 当 时， ， 若 ， 则 ；④若 ， 则 可表示为 ； ⑤若 的运算结果中不含 的一次项， 则 . 其中正确的个数是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含
角的三角尺ADE固定不动，将含
角的三角尺ABC绕顶点
顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当
时，
，则
)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A． 和
B． 和
C． 和
D．以上都有可能
二、填空题
11．在如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3= °．
12．某电影院第x排的座位数为y个，y与x的关系如表格所示，第10排的座位数为 ．
x 1 2 3 4 5 ……
y 23 25 27 29 31 ……
13．对 ， 定义一种新运算 ，规定： （其中 ， 均为非零常数）.例如： ， .当 ， ，则 ；当 时， 对任意有理数 ， 都成立，则 ， 满足的关系式是 .
14．如图1是一张长方形纸带，∠DEF=20°，若将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数为 °.
15． 冬季奥运主题活动中， 某班设计如图 1 的 “红色徽章”， 其设计原理是： 如图 2 ， 在边长为 的正方形 四周分别放置四个边长为 的小正方形， 构造了一个大正方形 ，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章” 的图标． 现将阴影部分图形面积记作 ， 每一个边长为 的小正方形面积记作 ， 若 ， 则 的值是
三、综合题
16．已知：如图，．
（1）如图1，，判断直线和的位置关系，并给予证明；
（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．
17．如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）.
（1）用一个多项式表示图丁的面积.
（2）用两个整式的积表示图丁的面积.
（3）根据（1）（2）所得的结果，写一个表示因式分解的等式.
18．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
19．
（1）如图①，，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由．
（2）如图①，在的条件下，，．求的度数．
（3）如图②，，根据（1）中的结论进一步猜想，直接写出的度数．
20．如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD.
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF=70°，∠D=30°，求∠AEM的度数.
21．将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
（1）如图，若∠BON＝60°，求∠AOM的度数；
（2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度数；
（3）将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中：当∠BON＝120°时，求∠COM的度数．
22．
（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．
23．抛物线过点，，与轴交于点对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点，使得，求出点的坐标；
（3）点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由
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北师大版2023-2024学年七年级数学下册期中模拟测试卷（答案解析版）
一、选择题
1．下列不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A.，能用平方差公式计算，不符合题意；
B.，不能用平方差公式计算，符合题意；
C.，能用平方差公式计算，不符合题意；
D.，能用平方差公式计算，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式的计算方法逐项判断即可。
2．下列图形中，和是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同位角
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是同位角，故此选项正确，符合题意；
B、∠1与∠2是四条线相交形成的角，不是同位角，故此选项错误，不符合题意；
C、∠1与∠2是四条线相交形成的角，不是同位角，故此选项错误，不符合题意；
D、∠1与∠2是四条线相交形成的角，不是同位角，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】两条线被第三条线所截形成的8个角中，如果在被截直线的同侧，并在截线的同旁的两个角互为同位角，据此一一判断得出答案.
3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】长为（2a+3b），宽为（a+2b）的长方形的面积为：
（2a+3b）（a+2b）=2a2+4ab+3ab+6b2=2a2+7ab+6b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张.
故答案为：D.
【分析】根据长方形的面积=长×宽，可得大长方形的面积为（2a+3b）（a+2b）=2a2+7ab+6b2，由A类卡片的面积a2，B类卡片的面积b2，A类卡片的面积ab，从而可判断出需要A类、B类、C类卡片各多少张.
4．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠E B．AC＝DF
C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，
∴当添加∠B＝∠E时，根据 ASA 判定△ABC≌△DEF；
当添加AC＝DF时，根据 SAS 判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ACD＝∠BFE时，则∠ACB＝∠DFE，根据 AAS 判定△ABC≌△DEF．
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可。
5．向一个容器内以固定的速度注入水，液面升高的高度h与注水时间t的图像大致如图所示，则符合图象条件的容器为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵由图象可知第一个阶段是匀速的，注水的速度较慢；第二个注水速度快，用时较少，
∴此物体上面比较细，
∴符合题意的选项为B.
故答案为：B.
【分析】观察函数图象可知容器的形状是不均匀的，再观察容器的形状和函数图象，可得答案.
6．北京2022年冬奥会会徽（冬梦），是第24届冬季奥林匹克运动会使用的标志，主要由会徽图形、文字标志、奥林匹克五环标志组成，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故答案为：D．
【分析】轴对称图形的概念。
7．如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设大长方形的宽为d，
∴由图2知，d＝b﹣c+a，
∴l1＝2（a+b+c）+（d﹣a）+（d﹣c）+（a﹣b）+（b﹣c）＝2a+2b+2d，
S1＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2﹣c2，
l2＝a+b+c+d+a+c+（a﹣b）+（b﹣c）＝3a+b+c+d，
S2＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2+bc，
∴S2﹣S1＝bc+c2，
l1﹣l2＝b﹣c﹣a+d，
∴bc+c2＝（）2，
∴bc+c2＝（b﹣c）2，
∴3bc＝b2，
∴b＝3c，
∴c：b的值为．
故答案为：B．
【分析】设出图1中长方形的宽为d，根据题意表示出，代入 即可解答.
8．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（ ）
A．a【答案】C
【知识点】幂的乘方
【解析】【解答】解：∵a=833=299，b=1625=2100，c=3219=295，
295<299<2100，
c故答案为：C.
【分析】观察a、b、c所表示的幂，底数均为2的的倍数，根据幂的乘方运算法则将它们分别表示为以2为底数的幂，再比较大小即可.
9．下列结论中： ①若 ， 则 ；②若 ， 则 的值为 ； ③若规定： 当 时， ， 若 ， 则 ；④若 ， 则 可表示为 ； ⑤若 的运算结果中不含 的一次项， 则 . 其中正确的个数是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；零指数幂；定义新运算；幂的乘方
【解析】【解答】解：①可以分为三种情况：
当x+1＝0时，x＝﹣1；
当1﹣x＝1时，x＝0；
当1﹣x＝﹣1，x＝2，但x+1＝3不是偶数，舍去，
综上所述，x＝﹣1或0，
∴①不符合题意；
②（2﹣a）（2﹣b）
＝4﹣2b﹣2a+ab
＝4﹣2（a+b）+ab，
∵a﹣b＝1，a2+b2=3，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3﹣2ab＝1，
∴ab＝1，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5，
∴a+b＝± ，
当a+b＝时，原式＝4﹣2 +1＝5﹣2，
当a+b＝﹣ 时，原式＝4+2 +1＝5+2，
∴②不符合题意；
③根据定义得： =a+4﹣a﹣a（4﹣a）＝0，
∴a2-4a+4=0，
∴（a-2）2=0，
∴a＝2，
∴③符合题意；
④∵4x＝（22）x＝22x=a，8y＝（23）y＝23y=b，
∴24x﹣3y＝24x÷23y＝（22x）2÷23y＝a2÷b=，
∴④不符合题意；
⑤（x+1）（x﹣a）=x2-ax+x-a=x2-（a-1）x-a，
∵（x+1）（x﹣a）运算结果不含x的一次项，
∴a-1=0，
∴a=1，
∴⑤符合题意，
∴正确的有③⑤.
故答案为：D.
【分析】①可以是零指数幂，可以是1的任何次幂，可以是﹣1的偶数次幂，据此判断即可；②先求出ab的值，再求出a+b的值，最后代入代数式求值，据此判断即可；③根据新定义列出方程求解即可；④把a，b先化成底数为2的幂，再将原式进行化简求值，即可判断；⑤先把原式进行运算，根据结果不含一次项，进而可得出a的值．
10．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含
角的三角尺ADE固定不动，将含
角的三角尺ABC绕顶点
顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当
时，
，则
)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A． 和
B． 和
C． 和
D．以上都有可能
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图1，
①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
如图2，
②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；
如图3，
③当BC//AE时，
∵∠EAB-∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
如图4，
④当AB//DE时，
∵∠E=∠EAB=90°
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.
故答案为：B.
【分析】根据题意可分四种情况，并画出图形进行讨论：①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；③当BC//AE时，∠EAB-∠B=60°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；④当AB//DE时，∠E=∠EAB=90°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°，据此判断即可.
二、填空题
11．在如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3= °．
【答案】135
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠3=∠BAC，
在Rt△ABC中，∠BAC+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
由图可知，△ABF是等腰直角三角形，
∴∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．
故答案为：135．
【分析】由图知，用边角边可证得△ABC≌△DEA，于是∠1与∠3的余角相等，所以∠1+∠3=90°，再根据正方形的性质可得∠2=45°．则 ∠1+∠2+∠3 的度数可求解。
12．某电影院第x排的座位数为y个，y与x的关系如表格所示，第10排的座位数为 ．
x 1 2 3 4 5 ……
y 23 25 27 29 31 ……
【答案】41
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：第1排，有23个座位
第2排，有25个座位
第3排，有27个座位
第4排，有29个座位
由此可以发现，当x每增加1时，y增加2
∴y=2（x-1）+23
把x=10代入上式中得y=2×（10-1）+23=41
故答案为：41.
【分析】利用待定系数法求解一次函数解析式，再将x=10代入计算即可。
13．对 ， 定义一种新运算 ，规定： （其中 ， 均为非零常数）.例如： ， .当 ， ，则 ；当 时， 对任意有理数 ， 都成立，则 ， 满足的关系式是 .
【答案】；n=-3m
【知识点】解二元一次方程组；定义新运算
【解析】【解答】解：①根据题意得， ，
，
整理得： ，解得： ，
则
，
②由 得
，
整理得： ，
当 时， 对任意有理数 ， 都成立，
即 ；
故答案为： ； .
【分析】根据新运算 的定义，可得方程组，求出m、n的值，即得结论；由 得，整理得 ，由于
当 时， 对任意有理数 ， 都成立，可得3m+n=0，即得结论.
14．如图1是一张长方形纸带，∠DEF=20°，若将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数为 °.
【答案】120
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠DEF=20°，
∴∠EFC=180°-∠DEF=160°，∠BFE=∠DEF=20°，
∴图2中，∠GFC=∠EFC-∠BFE=160°-20°=140°，
由翻折性质可得图3中∠CFE=∠CFG-∠BFE=120°.
故答案为：120.
【分析】由两直线平行，同旁内角互补可得∠EFC=180°-∠DEF=160°，由两直线平行，内错角相等得∠BFE=∠DEF=20°，进而根据折叠的性质，由图2中，∠GFC=∠EFC-∠BFE，图3中∠CFE=∠CFG-∠BFE，代入计算可得答案.
15． 冬季奥运主题活动中， 某班设计如图 1 的 “红色徽章”， 其设计原理是： 如图 2 ， 在边长为 的正方形 四周分别放置四个边长为 的小正方形， 构造了一个大正方形 ，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章” 的图标． 现将阴影部分图形面积记作 ， 每一个边长为 的小正方形面积记作 ， 若 ， 则 的值是
【答案】
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，
S△DJI=（a+b）×b=ab+b2，
S△KMD=S正方形ABCD-S△DMC-S△DKA-S△KBM
=（a+2b）2-(a+b)(a+2b)-(a+2b)(a+b)-b2
=ab+b2，
S△NMC=（a+b）b=ab+b2，
∴S1=S△DJI+S△KMD+S△NMC=2ab+b2，
S2=b2，
∵S1=5S2，
∴2ab+b2=5b2，
整理得：2a=b，
∴.
故答案为：.
【分析】由图可知：阴影部分都是三角形，根据三角形的面积公式并结合等底等高的两个三角形面积相等，可将S△DJI、S△NMC用含a、b的代数式表示出来，由三角形面积的构成S△KMD=S正方形ABCD-S△DMC-S△DKA-S△KBM可将S△KMD用含a、b的代数式表示出来，然后根据已知的等式S1=5S2可得关于a、b的等式，整理即可求解.
三、综合题
16．已知：如图，．
（1）如图1，，判断直线和的位置关系，并给予证明；
（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：
证明如下：
，，
，
，
延长EF交CD于，如图，
，
，
，
，
．
（2）解：，
证明：由（1）得，作，，如图，
，，
，
，
∵，，
，
，，
，
，，
，，
，即．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）延长EF交CD于F1，先证明AB∥CD，进而根据平行线的性质即可得证；
（2）作QR∥AB，PL∥AB，可得AB∥CD∥PL，根据平行线的性质即可求解．
17．如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）.
（1）用一个多项式表示图丁的面积.
（2）用两个整式的积表示图丁的面积.
（3）根据（1）（2）所得的结果，写一个表示因式分解的等式.
【答案】（1）解：由题意得
（2）解：由题意得
（3）解：
【知识点】整式的混合运算；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据图形可得：图丁的面积=边长为x的正方形的面积+边长为y的正方形面积的2倍+长为x、宽为y的矩形面积的3倍，据此解答；
（2）由图形可得：图丁的长为(x+2y)，宽为(x+y)，然后根据矩形的面积公式进行解答；
（3）根据（1）（2）两种方式表示出的面积相等进行解答.
18．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm
（2）解：∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AM=CM，BN=CN， 根据三角形周长的计算方法及线段的和差等量代换即可，由 CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB， 即可算出答案；
（2）根据三角形的内角和得出 ∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°， 根据对顶角相等得出 ∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF， 故 ∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°， 根据直角三角形两锐角互余及角的和差，得出 ∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°， 根据等边对等角得出 ∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， 最后根据三角形的内角和，由 ∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B） 即可算出答案。
19．
（1）如图①，，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由．
（2）如图①，在的条件下，，．求的度数．
（3）如图②，，根据（1）中的结论进一步猜想，直接写出的度数．
【答案】（1）解：．理由如下：如图1，
过点作直线，使，
∴，
，
，
，
，
，
；
（2）解：同（1）可得：，
∴；
（3）
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】 解：（1）．理由如下：如图1，
过点作直线，使，
∴，
，
，
，
，
，
；
（2） 同（1）可得：，
∴；
（3）
【分析】（1）根据平行线性质可得，，从而推出；
（2）由（1）得，再将题干中 、的度数代入即可；
（3）连接BE，借助四边形内角和与平行线性质分析解答即可。
20．如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD.
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF=70°，∠D=30°，求∠AEM的度数.
【答案】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，
∴CE∥GF
（2）解：∵CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
∵∠C＝∠EFG，
∴∠FGD＝∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D＝180°
（3）解：∵∠DHG＝∠EHF＝70°，∠D＝30°，
∴∠CGF＝70°+30°＝100°，
∵CE∥GF，
∴∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝80°，
∴∠AEM＝180°﹣80°＝100°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据同位角相等，两直线平行，可证CE∥GF；(2)根据平行线的性质可得∠C＝∠FGD，根据等量关系可得∠FGD＝∠EFG，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，再根据平行线的性质可得∠AED与∠D之间的数量关系；(3)根据对顶角相等可求∠DHG，根据三角形外角的性质可求∠CGF，根据平行线的性质可得∠C，∠AEC，再根据平角的定义可求∠AEM的度数.
21．将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
（1）如图，若∠BON＝60°，求∠AOM的度数；
（2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度数；
（3）将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中：当∠BON＝120°时，求∠COM的度数．
【答案】（1）解：∵∠MON=90°，∠BON=60°，
∴∠AOM=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-60°=30°.
（2）解：∵射线OC平分∠AON，
∴∠AON=2∠AOC，
设∠COM=x，则∠AOM=2x，
∴∠CON=∠AOC=∠COM+∠AOM=x+2x=3x，
∵∠COM+∠CON=90°，
∴x+3x=90°，
解之：x=22.5°；
∴∠AON=6x=6×22.5°=135°
（3）解：当NO在直线AB的上方时，
∵∠AON=180°-∠BON，
∴∠AON=60°，
∵OC平分∠AON，
∴∠CON=∠AON=30°，
∵∠MON=90°，
∴∠COM=∠MON-∠CON=90°-30°=60°；
当ON在直线AB的下方时，
∵∠AON=180°-∠BON，
∴∠AON=60°，
∵OC平分∠AON，
∴∠CON=30°，
∴∠COM=∠MON+∠CON=90°+30°=120°；
∴∠COM的度数为60°或120°
【知识点】旋转的性质；线段的计算；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据∠AOM=180°-∠MON-∠BON，代入计算求出∠AOM的度数.
（2）利用角平分线的定义可证得∠AON=2∠AOC，设∠COM=x，可表示出∠AOM，∠CON的度数；再根据∠COM+∠CON=90°，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出∠AON的度数.
（3）分情况讨论：当NO在直线AB的上方时，利用邻补角的定义可求出∠AON的度数，利用角平分线的定义求出∠CON的度数，根据∠COM=∠MON-∠CON，代入计算求出∠COM的度数；当ON在直线AB的下方时，可求出∠AON，∠CON的度数，根据∠COM=∠MON+∠CON，代入计算求出∠COM的度数；综上所述可得到∠COM的度数.
22．
（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．
【答案】（1）解：如图1，
∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：．
如图2，
证明如下：
∵，
∴，
∴，
在和中．
．
∴，
∴，
∴；
（3）证明：过E作于M，的延长线于N．
∴，
由（1）和（2）的结论可知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴I是的中点．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）先根据三角形全等的判定与性质证明，进而得到，从而即可得到；（2），如图2，证明如下：先根据题意得到，进而得到，然后根据三角形全等的判定与性质证明，再结合题意即可求解；
（3）过E作于M，的延长线于N，进而得到，再根据（1）结合题意得到，然后运用三角形全等的判定与性质即可得到，进而即可求解。
23．抛物线过点，，与轴交于点对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点，使得，求出点的坐标；
（3）点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）解：抛物线过点，，
，
解得．
抛物线的解析式为：．
抛物线的对称轴为直线．
．
（2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作轴交于点，
令，解得，
，
，
，
，
，
，
令，则，
解得舍去或，
．
，
，
，
，
，即，
，
设直线的解析式为：，
，解得，
直线的解析式为：，
令，解得舍去或．
（3）解：存在，理由如下：
根据菱形的对称性可知是等腰三角形，需要分三种情况：
①当点为顶点，如图，分别记为和；
由(2)可知，，，，
，
．
过点作轴于点，过点作轴于点，
则，，
，
，
②当点为顶点，如图，记为，过点作轴于点，
．
，
，
，
设，
，，
，解得舍或，
，，
．
③当点为顶点，如图，取的中点，作交轴于点，交直线于点．
，，．
，．
，，
∽，
：：，即：：，
，
，
直线的解析式为：．
，，
直线的解析式为：，
令，解得，
综上，符合题意的点的坐标为：或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；菱形的性质；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，再求其对称轴即得点D坐标；
（2）过点作轴交抛物线于点，过点作轴交于点，由OC=OB可得，从而得出∠ECB=45°，由可得，根据正切值可求出F的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线解析式为方程组并解之即得点P坐标；
（3）存在，理由：根据菱形的对称性可知是等腰三角形，需要分三种情况：①当点为顶点，②当点为顶点，③当点为顶点，据此分别画出图形并解答即可.
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北师大版2023-2024学年七年级数学下册期中模拟测试卷（答题卡）
姓名：______________班级：______________
准考证号
选择题（请用2B铅笔填涂）
1. [A][B][C][D] 2. [A][B][C][D] 3. [A][B][C][D] 4. [A][B][C][D] 5. [A][B][C][D] 6. [A][B][C][D] 7. [A][B][C][D] 8. [A][B][C][D]9. [A][B][C][D]10. [A][B][C][D]
非选择题（请在各试题的答题区内作答）
11.答：
12.答：
13.答：
14.答：
15.答：
16.1.答：
16.2.答：
17.1.答：
17.2.答：
17.3.答：
18.1.答：
18.2.答：
19.1.答：
19.2.答：
19.3.答：
20.1.答：
20.2.答：
20.3.答：
21.1.答：
21.2.答：
21.3.答：
22.1.答：
22.2.答：
22.3.答：
23.1.答：
23.2.答：
23.3.答：
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记 ！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
注意事项
1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×]
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