黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年七年级下学期开学测试数学试题
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1．（2024七下·哈尔滨开学考）下列各式中，是方程的是（ ）
A．3x-1=x B．x2-4x<3 C．5-4=1 D．xy-3
2．（2019·阜新）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是（ ）
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
3．（2024七下·哈尔滨开学考）在解方程时，去分母正确的是（ ）
A．2-2（2x-4）=-（x-7） B．12-2（2x-4）=-x-7
C．12-4x-8=-（x-7） D．12-2（2x-4）=x-7
4．如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠A与∠B是同旁内角 B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角 D．∠1与∠2是同位角
5．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是 D，则下列说法正确的是（ ）
A．线段 AC 的长表示点C 到 AB 的距离
B．线段 CD 的长表示点A 到 CD 的距离
C．线段 BC 的长表示点B 到 AC 的距离
D．线段 BD 的长表示点C 到 DB 的距离
6．（2024七下·哈尔滨开学考）一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大9，则原来的两位数是（ ）
A．54 B．27 C．72 D．45
7．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，把长方形ABCD 沿 EF 对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（ ）
A．125° B．130° C．65° D．115°
8．（2024七下·哈尔滨开学考）如图， AB//CD，MP//AB，MN 平分∠AMD，∠A=40°，∠D=30°， 则∠NMP 等于（ ）
A．10° B．15° C．5° D．7.5°
9．（2017·连云港）关于 的叙述正确的是（ ）
A．在数轴上不存在表示 的点 B． = +
C． =±2 D．与 最接近的整数是3
二、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
10．（2017八上·南召期中） 的立方根是 ．
11．（2024七下·哈尔滨开学考）1-的绝对值是
12．（2024七下·哈尔滨开学考）在坐标平面内，已知点A（a，b）， 那么点A 关于y 轴的对称点A'的坐标为
13．（2024七下·哈尔滨开学考）已知点A（-4，-6），将 点A先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到A'，则 A'的坐标
14．（2024七下·哈尔滨开学考）若 x＜0，y＞0，则点P （x，y）在第 象限.
15．（2016七上·揭阳期末）已知OA⊥OC，∠AOB: ∠AOC=2:3，则∠BOC= ．
16．（2023七上·哈尔滨期中）若∠1和∠2是对顶角，∠1=35°，则∠2的补角是 ．
17．（2024七下·哈尔滨开学考）一项工作，由一个人做要40小时完成，现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作，若每个人的工作效率相同，应先安排 人工作.
18．（2024七下·哈尔滨开学考）当n= 时，代数式7x2y2n+1-x2y5可以合并成一项
三、解答题（本题共9小题，共66分）
19．（2024七下·哈尔滨开学考）计算：
（1）（）
（2）
20．（2024七下·哈尔滨开学考）解方程：
（1）4x+7=32-x
（2）
21．（2024七下·哈尔滨开学考）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，1）.
（1） C点的坐标为 ；
（2）将三角形ABC先向下平移4个单位，在向左平移3个单位，它的像是三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1
（3）三角形A1B1C1的面积为 .
22．（2024七下·哈尔滨开学考） 如图 ，EF//AD，∠1=∠2，∠BAC=70°， 将求∠AGD 的过程填写完整.
解：∵EF//AD（ 已知 ）
∴∠2=∠3（ ）
∵∠1=∠2
∴∠1=∠3（ 等量代换 ）
∴AB// ▲ （ ）
∴∠BAC+ ▲ =180°（ ）
∵∠BAC=70°
∴∠AGD= ▲
23．（2024七下·哈尔滨开学考）当x=-3 时，整式（2-m）x+2m+3的值是一7；当x 为何值时，这个整式的值是0？
24．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，∠ABD 和 ∠BDC 的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°，试说明：
（1）AB//CD；
（2）∠2+∠3=90° .
25．（2024七下·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），其中a为常数，则称点B是点A的“a倍相关点”。
例如，点A（1，2）的 “3倍相关点” B的横坐标为：1+3×2=7，纵坐标为：3×1+2=5，所以点A的 “3倍相关点” B的坐标为（7，5）.
（1）已知点M（-4，6）的 “倍相关点”是点N（s，t），求2s+t的值；
（2）已知点P（1，2m）的 “-2倍相关点”是点Q，且点Q在y轴上，求点Q到x轴的距离。
26．（2024七下·哈尔滨开学考）某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天.在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、乙厂每天费用120元.
（1）求这批校服共有多少件？
（2）为了尽快完成这批校服，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了， 而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是 甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？
（3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三： 按（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并 由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种即省时又省钱的加工方案.
27．（2024七下·哈尔滨开学考）已知，如图AB//CD，AF平分∠EAB，DF 平分∠EDC.
（1）如图1，探究∠F 与∠E的数量关系并证明.
（2）如图2，在（1）的条件下，过A作 AH//ED 交 DC 于 点H，AD 平分∠EAH， 延 长AF交 DC 于 G，∠DAG：∠FDE=2：7，求∠BAH的度数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】方程的定义及分类
【解析】【解答】解：A、3x-1=x是方程，故A符合题意；
B、x2-4x＜3，不是方程，是不等式，故B不符合题意；
C、5-4=1是等式，不是方程，故C不符合题意；
D、xy-3是代数式不是方程，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用一元一次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数项的次数是1的整式方程，再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设这种衬衫的原价是x元，
依题意，得：0.6x+40=0.9x-20，
解得：x=200.
故答案为：C.
【分析】设这种衬衫的原价是x元，则进价为（0.6x+40）元，或（0.9x-20）元，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子应该相等，从而列出方程，求解即可.
3．【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：
去分母得：12-2（2x-4）=x-7.
故答案为：D.
【分析】去分母，在方程的两边同时乘以6，左边的2不能漏乘，据此可得答案.
4．【答案】D
【知识点】同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】A、∠A与∠B是同旁内角，说法正确；B、∠3与∠1是同旁内角，说法正确；C、∠2与∠3是内错角，说法正确；D、∠1与∠2是邻补角，原题说法错误，故答案选：D
【分析】根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角可得答案．
5．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：A、线段 AC的长表示点A到BC的距离，故A不符合题意；
B、线段CD 的长表示点C到AB的距离，故B不符合题意；
C、线段 BC的长表示点B到AC的距离，故C符合题意；
D、线段BD的长表示点B到CD的距离，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用点到直线的距离的定义，对各选项逐一判断即可.
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原来的个位数字为x，十位数字为y，
解之：
∴原来的两位数为4×10+5=45.
故答案为：D..
【分析】设原来的个位数字为x，十位数字为y，利用已知条件：个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大9，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，即可得到原来的两位数.
7．【答案】D
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵把长方形ABCD 沿 EF 对折后使两部分重合，
∴∠BFE=∠EFB'，
∵∠1=50°，
∴∠BFE+∠EFB'+∠1=180°，
∴∠BFE=65°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=180°-∠BFE=180°-65°=115°.
故答案为：D.
【分析】利用折叠的性质可证得∠BFE=∠EFB'，利用已知条件求出∠BFE的度数，再利用平行线的性质可求出∠AEF的度数.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB//CD，MP//AB，
∴AB//CD∥MP
∴∠A=∠AMP=40°，∠D=∠DMP=30°，
∴∠AMD=∠AMP+∠DMP=40°+30°=70°，
∵MN平分∠AMD，
∴∠AMN=∠AMD=35°，
∴∠NMP=∠AMP-∠AMN=40°-35°=5°.
故答案为：C.
【分析】利用平行线公理的推论可证得AB//CD∥MP，利用平行线的性质可求出∠AMP，∠DMP的度数；再根据∠AMD=∠AMP+∠DMP，代入计算求出∠AMD的度数，利用角平分线的定义求出∠AMN的度数；然后根据∠NMP=∠AMP-∠AMN，代入计算求出结果.
9．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A、在数轴上存在表示 的点，故选项错误；
B、 ≠ + ，故选项错误；
C、 =2 ，故选项错误；
D、与 最接近的整数是3，故选项正确．
故选：D．
【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的加法法则，算术平方根的计算法则计算即可求解．
10．【答案】3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】∵ ，
∴27的立方根是3.
故答案为：3.
【分析】根据立方根的概念，由于 ，故27的立方根是3.
11．【答案】-1
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，可求出结果.
12．【答案】（﹣a，b）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（a，b），
∴点A 关于y 轴的对称点A'的坐标为（﹣a，b）
故答案为：（﹣a，b）.
【分析】利用关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得答案.
13．【答案】（0，0）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点A（-4，-6），将 点A先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到A'，
∴点A'的坐标为（0，0）
故答案为：（0，0）.
【分析】利用点的坐标平移规律：上加下减（纵坐标），左减右加（横坐标），据此可得到点A'的坐标.
14．【答案】二
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵x＜0，y＞0，
∴点P（x，y）在第二象限.
故答案为：二.
【分析】利用已知x，y的取值范围，可得点P所在的象限.
15．【答案】30°或150°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】根据题意可得：∠AOC=90°，∠AOB=60°，当射线OB在∠AOC内部时，∠BOC=90°－60°=30°；
当射线OB在∠AOC外部时，∠BOC=90°+60°=150°；
故答案为：30°或150°.
【分析】根据题意可得：∠AOC=90°，∠AOB=60°，然后在分射线OB在∠AOC内部和射线OB在∠AOC外部两种情况计算.
16．【答案】145°
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵是对顶角，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：145°.
【分析】根据对顶角的性质以及补角的定义，对题目内容进行求解即可.
17．【答案】2
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设应安排x人工作，根据题意得
，
解之：x=2
故答案为：2.
【分析】设应安排x人工作，根据题意可知x人工作4小时的工作量和（x+2）个人工作8小时的工作量之和为1，可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可.
18．【答案】2
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵ 7x2y2n+1-x2y5可以合并成一项，
∴2n+1=5
解之：n=2.
故答案为：2.
【分析】利用已知可得到 7x2y2n+1和x2y5是同类项，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先去括号，再合并同类二次根式即可.
（2）此题的运算顺序：先进行开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
20．【答案】（1）解：4x+x=32-7
5x=25
x=5
（2）解：8-（7+3x）=2（3x-10）-8x，
8-7-3x=6x-20-8x
-3x-6x+8x=-20-8+7
-x=-21
x=21
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先移项，再合并同类项，然后将x的系数化为1，可求出方程的解.
（2）先去分母（两边同时乘以8，左边的1和右边的x也要乘以8，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1.
21．【答案】（1）（3，4）
（2）解：如图
（3）3
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）由图形可知点C的坐标为：（3，4）.
故答案为：（3，4）.
（3）∵点B（3，1），点C（3，4），
∴BC∥y轴，BC=4-1=3，
∵点A（1，2），
由题意可知△ABC的面积等于△A1B1C1的面积，
∴S△ABC=S△A1B1C1=×3×2=3.
故答案为：3.
【分析】（1）利用平面直角坐标系，可得到点C的坐标.
（2）利用点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，将△ABC先向下平移4个单位，在向左平移3个单位，然后画出平移后的三角形即可.
（3）利用点B，C的坐标可得到BC∥y轴，同时求出BC的长，利用平移后两个三角形的面积相等，利用点A的坐标，可求出△A1B1C1的面积.
22．【答案】解：∵EF//AD（ 已知 ）
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠2
∴∠1=∠3（ 等量代换 ）
∴AB// DG（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠AGD =180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC=70°
∴∠AGD=110°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】利用平行线的性质可证得∠2=∠3，可推出∠1=∠3，利用内错角相等，两直线平行，可证得AB// DG，然后根据两直线平行，同旁内角互补，可求出∠AGD的度数.
23．【答案】解：∵当x=-3时，整式(2-m)x+2m+3的值是一7
∴(2-m)×(-3)+2m+3=-7
解之：
∴
当时，
解得
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【分析】利用已知条件，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，将m的值代入 （2-m）x+2m+3=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值
24．【答案】（1）证明：∵BE、DE分别为∠ABD、∠BDC的角平分线
∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABD+∠BDC=180°
∴AB//CD
（2）证明：∵BE为∠ABD的角平分线
∴∠ABF=∠1
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABF+∠2=90°
∵AB//CD
∴∠ABF=∠3
∴∠3+∠2=90°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，再利用已知条件可证得∠ABD+∠BDC=180°，利用平行线的判定定理可证得结论.
（2）利用角平分线的定义可证得∠ABF=∠1，利用已知可推出∠ABF+∠2=90°，再利用平行线的性质可证得∠ABF=∠3，由此可证得结论.
25．【答案】（1）解：点N的横坐标为：-4+×6=﹣1
点N的纵坐标为：×（﹣4）+6=4
2s+t=2×（﹣1）+4=2
（2）解：∵点Q在y轴上
∴点Q的横坐标为0
∵点Q是点P的“﹣2倍相关点”
∴1+（﹣2）×2m=0 解得：m=﹣
∴点P的纵坐标为2×（﹣）=﹣
∴点Q的纵坐标为：1×（﹣2）+（﹣）=﹣
∴点Q到x轴的距离为=
【知识点】坐标与图形性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用“a倍相关点”的定义，列式计算可求出点N的坐标，然后代入计算求出2s+t的值.
（2）点Q在y轴上，可得到点Q的横坐标为0，再根据点Q是点P的“﹣2倍相关点”，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，然后求出点P和点Q的纵坐标，即可求出点Q到x轴的距离.
26．【答案】（1）解：设这批校服共有x 件 .
解得x=960
答：这批校服共有960件.
（2）解：设甲工厂加工了a天.
(16+24)a+24×(1+25%)×(2a+4-a)=960
解得a=12
2a+4=2×12+4=28
答：甲工厂加工了28天.
（3）解：方案一：由甲厂单独完成，需要耗时960÷16=60(天)，
需要费用为：60×(10+80)=5400(元)；
方案二：由乙厂单独完成，需要耗时为960÷24=40(天)，
需要费用为：40×(120+10)=5200(元)；
方案三：按(2)问方式完成，需要耗时为28天，
需要费用为：12×(10+80)+28×(10+120)=4720(元)
∵28<40<60，4720<5200<5400
∴学校选择方案三既省时又省钱.
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）设这批校服共有x 件，根据单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天，可得到关于x的方程，解方程即可求解.
（2）设甲工厂加工了a天，利用校服总件数为960件，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后求出2a+4的值即可.
（3）分别求出由甲厂单独完成；由乙厂单独完成；按(2)问方式完成；分别需要的费用，然后比较大小，可作出判断.
27．【答案】（1）解：
证明：过点F作FN//AB，过点E作EM//CD，
∵AB//CD
∴FN//CD
∴∠BAF=∠AFN
∴∠NFD=∠FDC
∵AB//CD
∴EM//AB
∴∠BAE+∠AEM=180°
∴∠MED+∠EDC=180°
∵AF平分∠EAB，
∵DF平分∠EDC，
（2）解：∵∠DAG：∠FDG=2：7
∴∠DAG=2a，∠FDG=7α
∴∠EDH=2∠FDG =14a
∵∠GAD=∠GAE-∠DAE
∴∠BAH=4α
∵AB//CD
∴∠AHD=∠BAH=4a
∵AH//ED
∴∠AHD+∠EDH=180°
∴4α+14a=180°
解得α=10°
∴∠BAH=4α=40°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过点F作FN//AB，过点E作EM//CD，利用平行线公理的推论可证得FN∥CD∥AB∥EM，利用平行线的性质可证得∠BAF=∠AFN，∠NFD=∠FDC，∠BAE+∠AEM=180°，∠MED+∠EDC=180°；再利用角平分线的定义可证得，，由此可证得∠AFD和 ∠AED之间的数量关系.
（2）利用已知条件设∠DAG=2a，∠FDG=7α，由此可表示出∠EDH，根据∠GAD=∠GAE-∠DAE，可证得∠GAD=∠BAH，由此可表示出∠BAH，利用平行线的性质可表示出∠AHD，根据∠AHD+∠EDH=180°，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到∠BAH的度数.
1 / 1黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年七年级下学期开学测试数学试题
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1．（2024七下·哈尔滨开学考）下列各式中，是方程的是（ ）
A．3x-1=x B．x2-4x<3 C．5-4=1 D．xy-3
【答案】A
【知识点】方程的定义及分类
【解析】【解答】解：A、3x-1=x是方程，故A符合题意；
B、x2-4x＜3，不是方程，是不等式，故B不符合题意；
C、5-4=1是等式，不是方程，故C不符合题意；
D、xy-3是代数式不是方程，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用一元一次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数项的次数是1的整式方程，再对各选项逐一判断即可.
2．（2019·阜新）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是（ ）
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设这种衬衫的原价是x元，
依题意，得：0.6x+40=0.9x-20，
解得：x=200.
故答案为：C.
【分析】设这种衬衫的原价是x元，则进价为（0.6x+40）元，或（0.9x-20）元，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子应该相等，从而列出方程，求解即可.
3．（2024七下·哈尔滨开学考）在解方程时，去分母正确的是（ ）
A．2-2（2x-4）=-（x-7） B．12-2（2x-4）=-x-7
C．12-4x-8=-（x-7） D．12-2（2x-4）=x-7
【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：
去分母得：12-2（2x-4）=x-7.
故答案为：D.
【分析】去分母，在方程的两边同时乘以6，左边的2不能漏乘，据此可得答案.
4．如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠A与∠B是同旁内角 B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角 D．∠1与∠2是同位角
【答案】D
【知识点】同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】A、∠A与∠B是同旁内角，说法正确；B、∠3与∠1是同旁内角，说法正确；C、∠2与∠3是内错角，说法正确；D、∠1与∠2是邻补角，原题说法错误，故答案选：D
【分析】根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角可得答案．
5．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是 D，则下列说法正确的是（ ）
A．线段 AC 的长表示点C 到 AB 的距离
B．线段 CD 的长表示点A 到 CD 的距离
C．线段 BC 的长表示点B 到 AC 的距离
D．线段 BD 的长表示点C 到 DB 的距离
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：A、线段 AC的长表示点A到BC的距离，故A不符合题意；
B、线段CD 的长表示点C到AB的距离，故B不符合题意；
C、线段 BC的长表示点B到AC的距离，故C符合题意；
D、线段BD的长表示点B到CD的距离，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用点到直线的距离的定义，对各选项逐一判断即可.
6．（2024七下·哈尔滨开学考）一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大9，则原来的两位数是（ ）
A．54 B．27 C．72 D．45
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原来的个位数字为x，十位数字为y，
解之：
∴原来的两位数为4×10+5=45.
故答案为：D..
【分析】设原来的个位数字为x，十位数字为y，利用已知条件：个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大9，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，即可得到原来的两位数.
7．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，把长方形ABCD 沿 EF 对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（ ）
A．125° B．130° C．65° D．115°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵把长方形ABCD 沿 EF 对折后使两部分重合，
∴∠BFE=∠EFB'，
∵∠1=50°，
∴∠BFE+∠EFB'+∠1=180°，
∴∠BFE=65°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=180°-∠BFE=180°-65°=115°.
故答案为：D.
【分析】利用折叠的性质可证得∠BFE=∠EFB'，利用已知条件求出∠BFE的度数，再利用平行线的性质可求出∠AEF的度数.
8．（2024七下·哈尔滨开学考）如图， AB//CD，MP//AB，MN 平分∠AMD，∠A=40°，∠D=30°， 则∠NMP 等于（ ）
A．10° B．15° C．5° D．7.5°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB//CD，MP//AB，
∴AB//CD∥MP
∴∠A=∠AMP=40°，∠D=∠DMP=30°，
∴∠AMD=∠AMP+∠DMP=40°+30°=70°，
∵MN平分∠AMD，
∴∠AMN=∠AMD=35°，
∴∠NMP=∠AMP-∠AMN=40°-35°=5°.
故答案为：C.
【分析】利用平行线公理的推论可证得AB//CD∥MP，利用平行线的性质可求出∠AMP，∠DMP的度数；再根据∠AMD=∠AMP+∠DMP，代入计算求出∠AMD的度数，利用角平分线的定义求出∠AMN的度数；然后根据∠NMP=∠AMP-∠AMN，代入计算求出结果.
9．（2017·连云港）关于 的叙述正确的是（ ）
A．在数轴上不存在表示 的点 B． = +
C． =±2 D．与 最接近的整数是3
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A、在数轴上存在表示 的点，故选项错误；
B、 ≠ + ，故选项错误；
C、 =2 ，故选项错误；
D、与 最接近的整数是3，故选项正确．
故选：D．
【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的加法法则，算术平方根的计算法则计算即可求解．
二、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
10．（2017八上·南召期中） 的立方根是 ．
【答案】3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】∵ ，
∴27的立方根是3.
故答案为：3.
【分析】根据立方根的概念，由于 ，故27的立方根是3.
11．（2024七下·哈尔滨开学考）1-的绝对值是
【答案】-1
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，可求出结果.
12．（2024七下·哈尔滨开学考）在坐标平面内，已知点A（a，b）， 那么点A 关于y 轴的对称点A'的坐标为
【答案】（﹣a，b）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（a，b），
∴点A 关于y 轴的对称点A'的坐标为（﹣a，b）
故答案为：（﹣a，b）.
【分析】利用关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得答案.
13．（2024七下·哈尔滨开学考）已知点A（-4，-6），将 点A先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到A'，则 A'的坐标
【答案】（0，0）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点A（-4，-6），将 点A先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到A'，
∴点A'的坐标为（0，0）
故答案为：（0，0）.
【分析】利用点的坐标平移规律：上加下减（纵坐标），左减右加（横坐标），据此可得到点A'的坐标.
14．（2024七下·哈尔滨开学考）若 x＜0，y＞0，则点P （x，y）在第 象限.
【答案】二
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵x＜0，y＞0，
∴点P（x，y）在第二象限.
故答案为：二.
【分析】利用已知x，y的取值范围，可得点P所在的象限.
15．（2016七上·揭阳期末）已知OA⊥OC，∠AOB: ∠AOC=2:3，则∠BOC= ．
【答案】30°或150°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】根据题意可得：∠AOC=90°，∠AOB=60°，当射线OB在∠AOC内部时，∠BOC=90°－60°=30°；
当射线OB在∠AOC外部时，∠BOC=90°+60°=150°；
故答案为：30°或150°.
【分析】根据题意可得：∠AOC=90°，∠AOB=60°，然后在分射线OB在∠AOC内部和射线OB在∠AOC外部两种情况计算.
16．（2023七上·哈尔滨期中）若∠1和∠2是对顶角，∠1=35°，则∠2的补角是 ．
【答案】145°
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵是对顶角，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：145°.
【分析】根据对顶角的性质以及补角的定义，对题目内容进行求解即可.
17．（2024七下·哈尔滨开学考）一项工作，由一个人做要40小时完成，现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作，若每个人的工作效率相同，应先安排 人工作.
【答案】2
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设应安排x人工作，根据题意得
，
解之：x=2
故答案为：2.
【分析】设应安排x人工作，根据题意可知x人工作4小时的工作量和（x+2）个人工作8小时的工作量之和为1，可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可.
18．（2024七下·哈尔滨开学考）当n= 时，代数式7x2y2n+1-x2y5可以合并成一项
【答案】2
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵ 7x2y2n+1-x2y5可以合并成一项，
∴2n+1=5
解之：n=2.
故答案为：2.
【分析】利用已知可得到 7x2y2n+1和x2y5是同类项，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
三、解答题（本题共9小题，共66分）
19．（2024七下·哈尔滨开学考）计算：
（1）（）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先去括号，再合并同类二次根式即可.
（2）此题的运算顺序：先进行开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
20．（2024七下·哈尔滨开学考）解方程：
（1）4x+7=32-x
（2）
【答案】（1）解：4x+x=32-7
5x=25
x=5
（2）解：8-（7+3x）=2（3x-10）-8x，
8-7-3x=6x-20-8x
-3x-6x+8x=-20-8+7
-x=-21
x=21
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先移项，再合并同类项，然后将x的系数化为1，可求出方程的解.
（2）先去分母（两边同时乘以8，左边的1和右边的x也要乘以8，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1.
21．（2024七下·哈尔滨开学考）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，1）.
（1） C点的坐标为 ；
（2）将三角形ABC先向下平移4个单位，在向左平移3个单位，它的像是三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1
（3）三角形A1B1C1的面积为 .
【答案】（1）（3，4）
（2）解：如图
（3）3
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）由图形可知点C的坐标为：（3，4）.
故答案为：（3，4）.
（3）∵点B（3，1），点C（3，4），
∴BC∥y轴，BC=4-1=3，
∵点A（1，2），
由题意可知△ABC的面积等于△A1B1C1的面积，
∴S△ABC=S△A1B1C1=×3×2=3.
故答案为：3.
【分析】（1）利用平面直角坐标系，可得到点C的坐标.
（2）利用点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，将△ABC先向下平移4个单位，在向左平移3个单位，然后画出平移后的三角形即可.
（3）利用点B，C的坐标可得到BC∥y轴，同时求出BC的长，利用平移后两个三角形的面积相等，利用点A的坐标，可求出△A1B1C1的面积.
22．（2024七下·哈尔滨开学考） 如图 ，EF//AD，∠1=∠2，∠BAC=70°， 将求∠AGD 的过程填写完整.
解：∵EF//AD（ 已知 ）
∴∠2=∠3（ ）
∵∠1=∠2
∴∠1=∠3（ 等量代换 ）
∴AB// ▲ （ ）
∴∠BAC+ ▲ =180°（ ）
∵∠BAC=70°
∴∠AGD= ▲
【答案】解：∵EF//AD（ 已知 ）
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠2
∴∠1=∠3（ 等量代换 ）
∴AB// DG（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠AGD =180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC=70°
∴∠AGD=110°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】利用平行线的性质可证得∠2=∠3，可推出∠1=∠3，利用内错角相等，两直线平行，可证得AB// DG，然后根据两直线平行，同旁内角互补，可求出∠AGD的度数.
23．（2024七下·哈尔滨开学考）当x=-3 时，整式（2-m）x+2m+3的值是一7；当x 为何值时，这个整式的值是0？
【答案】解：∵当x=-3时，整式(2-m)x+2m+3的值是一7
∴(2-m)×(-3)+2m+3=-7
解之：
∴
当时，
解得
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【分析】利用已知条件，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，将m的值代入 （2-m）x+2m+3=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值
24．（2024七下·哈尔滨开学考）如图，∠ABD 和 ∠BDC 的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°，试说明：
（1）AB//CD；
（2）∠2+∠3=90° .
【答案】（1）证明：∵BE、DE分别为∠ABD、∠BDC的角平分线
∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABD+∠BDC=180°
∴AB//CD
（2）证明：∵BE为∠ABD的角平分线
∴∠ABF=∠1
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABF+∠2=90°
∵AB//CD
∴∠ABF=∠3
∴∠3+∠2=90°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，再利用已知条件可证得∠ABD+∠BDC=180°，利用平行线的判定定理可证得结论.
（2）利用角平分线的定义可证得∠ABF=∠1，利用已知可推出∠ABF+∠2=90°，再利用平行线的性质可证得∠ABF=∠3，由此可证得结论.
25．（2024七下·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），其中a为常数，则称点B是点A的“a倍相关点”。
例如，点A（1，2）的 “3倍相关点” B的横坐标为：1+3×2=7，纵坐标为：3×1+2=5，所以点A的 “3倍相关点” B的坐标为（7，5）.
（1）已知点M（-4，6）的 “倍相关点”是点N（s，t），求2s+t的值；
（2）已知点P（1，2m）的 “-2倍相关点”是点Q，且点Q在y轴上，求点Q到x轴的距离。
【答案】（1）解：点N的横坐标为：-4+×6=﹣1
点N的纵坐标为：×（﹣4）+6=4
2s+t=2×（﹣1）+4=2
（2）解：∵点Q在y轴上
∴点Q的横坐标为0
∵点Q是点P的“﹣2倍相关点”
∴1+（﹣2）×2m=0 解得：m=﹣
∴点P的纵坐标为2×（﹣）=﹣
∴点Q的纵坐标为：1×（﹣2）+（﹣）=﹣
∴点Q到x轴的距离为=
【知识点】坐标与图形性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用“a倍相关点”的定义，列式计算可求出点N的坐标，然后代入计算求出2s+t的值.
（2）点Q在y轴上，可得到点Q的横坐标为0，再根据点Q是点P的“﹣2倍相关点”，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，然后求出点P和点Q的纵坐标，即可求出点Q到x轴的距离.
26．（2024七下·哈尔滨开学考）某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天.在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、乙厂每天费用120元.
（1）求这批校服共有多少件？
（2）为了尽快完成这批校服，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了， 而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是 甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？
（3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三： 按（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并 由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种即省时又省钱的加工方案.
【答案】（1）解：设这批校服共有x 件 .
解得x=960
答：这批校服共有960件.
（2）解：设甲工厂加工了a天.
(16+24)a+24×(1+25%)×(2a+4-a)=960
解得a=12
2a+4=2×12+4=28
答：甲工厂加工了28天.
（3）解：方案一：由甲厂单独完成，需要耗时960÷16=60(天)，
需要费用为：60×(10+80)=5400(元)；
方案二：由乙厂单独完成，需要耗时为960÷24=40(天)，
需要费用为：40×(120+10)=5200(元)；
方案三：按(2)问方式完成，需要耗时为28天，
需要费用为：12×(10+80)+28×(10+120)=4720(元)
∵28<40<60，4720<5200<5400
∴学校选择方案三既省时又省钱.
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）设这批校服共有x 件，根据单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天，可得到关于x的方程，解方程即可求解.
（2）设甲工厂加工了a天，利用校服总件数为960件，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后求出2a+4的值即可.
（3）分别求出由甲厂单独完成；由乙厂单独完成；按(2)问方式完成；分别需要的费用，然后比较大小，可作出判断.
27．（2024七下·哈尔滨开学考）已知，如图AB//CD，AF平分∠EAB，DF 平分∠EDC.
（1）如图1，探究∠F 与∠E的数量关系并证明.
（2）如图2，在（1）的条件下，过A作 AH//ED 交 DC 于 点H，AD 平分∠EAH， 延 长AF交 DC 于 G，∠DAG：∠FDE=2：7，求∠BAH的度数.
【答案】（1）解：
证明：过点F作FN//AB，过点E作EM//CD，
∵AB//CD
∴FN//CD
∴∠BAF=∠AFN
∴∠NFD=∠FDC
∵AB//CD
∴EM//AB
∴∠BAE+∠AEM=180°
∴∠MED+∠EDC=180°
∵AF平分∠EAB，
∵DF平分∠EDC，
（2）解：∵∠DAG：∠FDG=2：7
∴∠DAG=2a，∠FDG=7α
∴∠EDH=2∠FDG =14a
∵∠GAD=∠GAE-∠DAE
∴∠BAH=4α
∵AB//CD
∴∠AHD=∠BAH=4a
∵AH//ED
∴∠AHD+∠EDH=180°
∴4α+14a=180°
解得α=10°
∴∠BAH=4α=40°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过点F作FN//AB，过点E作EM//CD，利用平行线公理的推论可证得FN∥CD∥AB∥EM，利用平行线的性质可证得∠BAF=∠AFN，∠NFD=∠FDC，∠BAE+∠AEM=180°，∠MED+∠EDC=180°；再利用角平分线的定义可证得，，由此可证得∠AFD和 ∠AED之间的数量关系.
（2）利用已知条件设∠DAG=2a，∠FDG=7α，由此可表示出∠EDH，根据∠GAD=∠GAE-∠DAE，可证得∠GAD=∠BAH，由此可表示出∠BAH，利用平行线的性质可表示出∠AHD，根据∠AHD+∠EDH=180°，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到∠BAH的度数.
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